1、四川省成都市 2015 届高三摸底（零诊）考试数学文试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面. 试题重点考查：数列、三角、概率、导数、圆锥曲线、立体几何综合问题、程序框图、平面向量、基本不等式、函数等；考查学生解决实际问题的综合能力。是份非常好的试卷.第 I 卷（选择题，共 50 分）一、选择题本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
2、要求的。1已知向量 a=（5，-3） ，b =（-6 ，4 ） ，则 a+b=（A） （1，1） （B） （-1 ，-1） （C） （1，-1） （D） （-1，1）【知识点】向量的坐标运算【答案解析】D 解析：解：由向量的坐标运算得 a+b=（5 ，-3 ）+（-6，4）=（-1，1） ，所以选 D.【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算.2设全集 U=1，2，3，4，集合 S=l，3，T=4，则（ S） T 等于U（A）2， 4 （B）4 （C ） （D ）1,3,4【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：解：因为 S=2，4，所以（ S） T=
3、2，4 ，选 A.UU【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算，可先结合补集的含义求 S 在 U 中的补集，再结合并集的含义求 S 的补集与 T 的并集.3已知命题 p： R ，2 =5，则 p 为xx（A） R,2 =5 （B） R,2 5x（C） R，2 =5 （D） R，2 50x0x 00x【知识点】全称命题及其否定【答案解析】D 解析：解：结合全称命题的含义及其否定的格式：全称变特称，结论改否定，即可得 p 为 R，2 5，所以选 D. 0x0x【思路点拨】全称命题与特称命题的否定有固定格式，掌握其固定格式即可快速判断其否定. 4计算 21og63 +log64 的结果是 （A）l
4、og 62 （B）2 （C）log 63 （D）3【知识点】对数的运算【答案解析】B 解析：解：21og 63 +log64=1og69+log64=1og636=2，所以选 B.【思路点拨】在进行对数运算时，结合对数的运算法则，一般先把对数化成同底的系数相同的对数的和与差再进行运算，注意熟记常用的对数的运算性质.5已知实数 x，y 满足 ，则 z=4x+y 的最大值为02y（A）10 （B）8 （C）2 （D）0【知识点】简单的线性规划【答案解析】B 解析：解：作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形 AOB 对应的区域，平移直线 4x+y=0，经过点 B 时得最大值，将点 B 坐标(2
5、，0)代入目标函数得最大值为8，选 B.【思路点拨】对于线性规划问题，通常先作出其可行域，再对目标函数进行平行移动找出使其取得最大值的点，或者把各顶点坐标代入寻求最值点.6已知 a，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是（A）若 a bb ，则 a/ （B）若 a/ ，b ，则 ab（C ）若 a ，b ，则 ab （D）若 ab，b ，则 a 【知识点】线面平行的判定、线面垂直的性质【答案解析】C 解析：解：A 选项中直线 a 还可能在平面 内，所以错误，B 选项直线 a与 b 可能平行还可能异面，所以错误，C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以
6、选 C【思路点拨】在判断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理，应特别注意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行” ，在判断位置关系时能用定理判断的可直接用定理判断，不能直接用定理判断的可考虑用反例排除.7 PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可 A 肺颗粒物，般情况下PM2.5 浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数（单位： g/m3）则下列说法正确的是（A）这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等（B）这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大（C）这 10
7、 日内乙监测站读数的众数与中位散相等（D）这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数【答案解析】C 解析：解：因为甲、乙监测站读数的极差分别为 55，57 ，所以 A 选项错误，10 日内甲、乙监测站读数的中位数分别为 74，68 ，所以 B 选项错误，10 日内乙监测站读数的众数与中位数都是 68，所以 C 正确，而正确的选项只有一个，因此选 C.【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键，同时要理解中位数、众数、平均数各自的含义及求法.8已知函数 f（x）= 的图象与直线 y= -2 的两个相邻公共点之间3sincos(0)x的距离等于 x，
8、则 f（x ）的单调递减区间是（A） ,kz （B） ,kz2,6k ,36k（C） ,kz （D） ,kz42,3 52,12【知识点】函数 y=Asin(x+)的图象与性质【答案解析】A 解析：解：因为 ，则图象与直线 y= -2 的两个相邻2sin6fxx公共点之间的距离等于一个周期，所以 ，得 =2 ，由，得 ，所以其单322,6kxkZ263kxkZ调递减区间是 ,kz 选 A.,【思路点拨】注意该题中直线 y=2 的特殊性：2 正好为函数的最小值，所以其与函数的两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期. 9已知双曲线 （a0,b0 ）的一条渐近线与圆(x3) 2+y2=9 相交
9、于 A,B 两点，21xyab若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（A）8 （B） （C）3 （D）2 32【知识点】直线与圆的位置关系，双曲线的性质【答案解析】C 解析：解：因为|AB|=2，圆的半径为 3，所以圆心 (3， 0)到渐进线 y=的距离 ，得 ，bxa2231ba 22 38cabba， 所 以 e=则选 C.【思路点拨】一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于 a，b，c 的关系式，再求 即ca可；在直线与圆的位置关系中，当出现弦长问题时经常转化为圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离建立等量关系.10已知定义在 R 上的函数 f (x)的周期为 4，且当 x(-1，3 时，
10、f (x) =,则函数 g（x）=f（x）1og 6x 的零点个数为2,(1,)cos3x(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【知识点】函数的零点、函数的图象及函数的周期性的应用【答案解析】B 解析：解：函数 g（x）=f （x）1og 6x 的零点个数即 f（x）=1og 6x 的零点个数，也就是函数 y=f（x ）与 y=1og6x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图，因为当 x=6 时 =1，所以两个函数的图象有 5 个交点，选 Blo.【思路点拨】判断函数零点个数的方法有直接求零点和图象法，当直接求零点不方便时通常通过观察图象与 x 轴的交点个数，若直接做对应函数
11、的图象不方便时可转化为两个函数的图象交点个数进行判断.第卷（非选择题，共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分答案填在答题卡上。11已知 a ，则 。40,cos2sin()【知识点】诱导公式、同角三角函数基本关系式.【答案解析】 解析：解：因为 ，所以 .350,223sinsi1cos5【思路点拨】在三角求值中有诱导公式特征的应先用诱导公式化简，本题先化简再利用同角三角函数中的余弦和正弦的平方关系计算，注意开方时要结合角所在的象限确定开方的符号. 12 当 x1 时，函数 y=x+ 的最小值是_ 。1x【知识点】基本不等式【答案解析】3 解析：解：因为
12、x1，所以 x10，则函数 y=x+ =x1+ +11x1x+1=3，当且仅当 即 x=2 时等号成立，所以最小值为 3.12x【思路点拨】对于函数求最值问题，若具有基本不等式特征可考虑用基本不等式求最值，用基本不等式求最值应注意得到最值的三个要素：一正，二定，三相等.13如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是 。【知识点】由三视图求几何体的表面积.【答案解析】 解析：解：由几何体的三视图可知该几何体为一个倒放的直三棱261柱，则其侧面积为 ，又两个底面面积为 222=4，所264121以该几何体的表面积为 8【思路点拨】由三视图求几何体的表面积问题，可先结合三视图还原原几何体，再结合
13、几何体的特征计算.14 运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是_ 。【答案解析】 解析：解：该程序框图为循环结构，第一次执行循环体得45S= ，i=2，第二次执行循环体得 S= ，i=3，第三次执行循12 1123环体得 S= ，i=4，第四次执行循环体得 S= ，134 445此时满足判断框，跳出循环体，所以输出结果为 .45【思路点拨】对于循环结构的程序框图，可依次执行循环体，直到满足判断框，若需要循环的次数较多时，可结合数列知识进行解答.15 已知 y=ax (a0 且 a1)是定义在 R 上的单调递减函数，记 a 的所有可能取值构成集合A；P（x，y)是椭圆 =1 上一动点，点 P
14、1（x 1，y 1）与点 P 关于直线 y=x+1 对称，记2169y的所有可能取值构成集合 B。若随机地从集合 A，B 中分别抽出一个元素 ， ，14y 12则 的概率是_ 。12【知识点】几何概型、椭圆性质、直线与曲线位置关系的应用 【答案解析】 解析：解：若 直线 y=k 与曲线 恰有两个不同交点，联立方3414xyx程得 ，由=0 得 k=1，结合图形知若过点 的直222106kxxk 1,04线与抛物线 在 x 轴上方有 2 个不同交点，则有 0 k1 ，所以 A=k0 k 1 ；又2y点P1（x 1，y 1）关于直线 y=x+l 对称点坐标为 ，则 ，即 1,yx1,14yxB=1
15、，1，则总体为两个集合构成的矩形区域 ABCD，所求的事件为四边形 OBCD 对应的区域，因为矩形区域 ABCD 的面积为 2，三角形 AOD 的面积为 ，所以所求的概率为2.3214【思路点拨】一般由曲线交点个数问题求参数范围，可结合图象分析；熟记点关于形如直线y=x+m 对称点的规律可减少运算量，若所求事件的概率问题与两个连续变量有关，可归结为几何概型的面积问题解答.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤。16 （本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=3，S 7=49， n N*。（I）求数列 an的通项公式；
16、（）设 ，求数列b n的前 n 项和 Tn12()ab【知识点】等差数列与等比数列的通项公式与求和公式【答案解析】 （I ） ；（） .解析：解：（ I）设公差为 d，因为1n 12nT，解得 ，所以 ，即所求数列的通项1376492ad1ad121nadn公式为 ；*,nN（）由（I）得 ，所以12nnab1 1*,2nnqTN【思路点拨】在解答题中一般遇到等差数列与等比数列通常利用其通项公式与求和公式列出首项与公差或公比的方程组，通过解方程组求出首项与公差或公比再进行解答.17 （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知向量 m=（ab，ca）
17、，n=（a+b，c）且 mn=0。（I）求角 B 的大小；（）求函数 f（A）=sin 的值域。6【知识点】向量的数量积的坐标运算，余弦定理、三角函数的值域【答案解析】 （I ） ；（） 解析：解：由 mn=0 得 ，由余弦定31,222acb理得 ，又因为 B 为三角形内角，所以 ；2cosacbB 3B（）由（I）得 ，所以 ，20,3AC51,sin,662AA则所求函数的值域为 .1,【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用，在三角函数给定区间求值域问题，通常先由所给角的范围得辅角范围，再利用三角函数的单调性确定值域.18 （本小题满分 12 分）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游
18、戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200 的样本统计数据如下表： （I）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（）在 A，B C，D，E，F 六名学生中，但有 A，B 两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。【知识点】抽样方法、古典概型【答案解析】 （I ）7650 名；（） 35解析：解：（I ）42500 =7650(名)；3620（）从这六名学生随机抽去两名的基本事件有：A，B ，A ，C，A，D，A，E，A，F ，B，C， B，D ，B ，E，
19、B，F ，C ，D，C，E，C，F，D，E，D ，F ，E ，F共15 个，设事件 G 表示至少有一位学生认为作业多，符合要求的事件有A ，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D ，B，E，B，F共 9 个，所以，所以至少有一名学生认为作业多的概率为 .9315P 35【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型，若总体个数有限为古典概型，利用古典概型计算公式计算，若总体个数无限为几何概型，利用几何概型计算公式计算.19 （本小题满分 12 分）如图，已知O 的直径 AB=3，点 C 为O 上异于 A， B 的一点，VC平面 ABC，且 VC=2，点 M 为线段 VB 的中点。（I）求
20、证： BC平面 VAC；（）若 AC=l，求直线 AM 与平面 VAC 所成角的大小。【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角【答案解析】 （I ）略；（） 4解析：解：（I ）证明：因为 VC平面 ABC， ，所以 VCBC，又因为点 CBC平 面 A为圆 O 上一点，且 AB 为直径，所以 ACBC ，又因为 VC，AC 平面VAC，VCAC=C，所以 BC平面 VAC.（）如图，取 VC 的中点 N，连接 MN， AN，则 MNBC，由（I）得 BC平面 VAC，所以 MN平面VAC，则MAN 为直线 AM 与平面 VAC 所成的角.因为 MN=，所以222131, 1BCAN
21、CtanMAN=1，则MAN= ，所以直线 AM 与平面 VAC 所成角的大小为 .44【思路点拨】在证明直线与平面垂直时，一般结合直线与平面垂直的判定定理，只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解，当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系，借助于平面的法向量解答.20 （本小题满分 13 分）已知椭圆 F： （ab0 ）经过 D（2，0 ） ，E （1 ， ）两点。21xyab32（I）求椭圆 F 的方程；（）若直线 ：y=kx+m 与 F 交于不同两点 A，B，点 G 是线段 AB 中点,点 O 为坐标原点，l设射线 OG 交
22、F 于点 Q，且 2.O证明：4m 2=4k2+1；求AOB 的面积。【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算【答案解析】 （I ） ；（）略， .214xy32解析：解：（I ）由题意得 ，所以所求的椭圆方程为 ；21314aab解 得 214xy（）令 ，由12,AxyB，所以222,484040kmkxm得，所以222212 12 2810 84 4k kmx xmk k 即，由中点坐标公式得12122281414kmyx，根据 ，得 ，将其代入椭圆224,kGOQG22,km方程，有 .化简得 22114kk214由得 m0，且 ，222128mkmxk在AOB
23、 中， ，由得 ，所以AOB12SmxA234AOBmS的面积是 .32【思路点拨】已知轨迹类型求轨迹方程，可用待定系数法求解，在遇到直线与圆锥曲线位置关系问题时，经常把问题转化为坐标关系，通过联立方程借助于韦达定理、中点坐标公式及弦长公式寻求等量关系，若遇到向量关系，先看有无直接的几何条件特征进行转化，否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关系解答.21 （本小题满分 14 分，巳知函数 f（x）= ax2b x1nx，其中 a，bR。13（I）当 a=3， b=-1 时，求函数 f（x）的最小值；（）若曲线 y=f（x ）在点（e，f(e） ）处的切线方程为 2x3ye=0（e=2.
24、71828为自然对数的底数） ，求 a，b 的值；（）当 a0，且 a 为常数时，若函数 h（x ）=xf（x）+1nx 对任意的 x1x24，总有成立，试用 a 表示出 b 的取值范围；12()hx【知识点】导数的综合应用【答案解析】 （I ） （） （）当 时 ，当3ln41,e106a,ba时， 16a,28ba解析：解：因为 ，所以ln,0,fxx，令 ，所以 f(x)在 上21fx1,2fx得 或 102，单调递减，在 上单调递增，则 f(x)在 处取得最小值为 ；2， 3ln4f（）因为 ，又因为切点(e，f(e)在1212 ,333fxabfeabxe所 以直线 2x3ye=0 上，所以切点为 ，所以 ，联立解,2ef得 .1,abe（）由题意，对于任意 ，总有 成立，令124x120hxhx
