1、吉林省长春市十一中 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，重点考查学生的运算能力，思维能力，运算能力，分析问题解决问题的能力、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合，函数方程、复数、 、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、 、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、积分等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份很好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）【题文】.若集合 ， ，则 （ ）02xM1)(log2xNNMA |23x B |C | D |x【知识点】集合及其运算 A1
2、【答案解析】A 集合 M=x|x-20=x|x2，N=x|log 2（x-1）1=x|0x-12=x|1 x3，故 MN=x|2x3，故选 A【思路点拨】解对数不等式求出 N，再由两个集合的交集的定义求出 MN【题文】2.复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）123iA B C Di55i5151【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案解析】B = = = 所以虚部为 故选 B 123ii(2)1i2i【思路点拨】先化简成最简形式，然后确定虚部。【题文】3.已知 ，则（ ）0logl212121cabA Bbac 2abcC Dc c【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数 B6 B7【答案解
3、析】A ，则 ba1,由 得 0ac,1122loglba120c所以 ，故选 A.2bac【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小，再根据指数函数的单调性求出结果。【题文】4.已知 ，则 （ ）512sin)4(cos2A B C D543551【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2【答案解析】B sin2= ，cos 2（- ）= ( cos+ sin)2= （1+sin2 ）=1542，35故答案为 B【思路点拨】根据 cos2（- ）=( cos+ sin)2= （1+sin2），计算求得结421果【题文】5.函数 在区间 上的图象是连续不断的，且方程 在)(xfy)
4、,(0)(xf上仅有一个实根 ，则 的值（ ）)2,(01(fA大于 B小于00C等于 D与 的大小关系无法确定【知识点】函数与方程 B9【答案解析】D 由于函数 y=f（x）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0 在（-2，2 ）上仅有一个实根 x=0，可得图象：因此 f（-1）f（1 ）的值与 0 的大小关系不正确故选：D【思路点拨】根据函数 y=f（ x）在区间（-2，2 ）上的图象是连续不断的，且方程 f（x）=0 在（-2，2）上仅有一个实根 x=0，画出图象即可判断出【题文】6.设 是函数 图象上的点，则 的最小值为（ ）),(yxPlnyxA B C D322
5、l72ln3【知识点】导数的应用 B12【答案解析】A P（x，y）是函数 y= +lnx 图象上的点，x则 x+y=x+ +lnx=f（x），（x0 ）f（x）=1- + = ，22x12()1x令 f（x）0，解得 x1 ，此时函数 f（x）单调递增；令 f（x）0 ，解得 0x1，此时函数 f（x）单调递减且 f（1 ）=0当 x=1 时，函数 f（x）取得最小值，f（1）=3故选：A【思路点拨】P（x，y）是函数 y= +lnx 图象上的点，2x则 x+y=x+ +lnx=f（x），（x0）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出2【题文】7.在等比数列 中， 是 的等差中项，公比
6、满足如下条件： （na798,aqOAB为原点）中， ， ， 为锐角，则公比 等于（ ）O)1,(A),2(qOBAA B C D 或112【知识点】等差数列等比数列 D2 D3【答案解析】C 等比数列 an中，a 7 是 a8，a 9 的等差中项，2a 7=a8+a9，2=q+q 2，q=1 或 q=-2，OAB（O 为原点）中， =（1，1 ）， =（2，q），A 为锐角，OAB12+q 0，q=-2，故选：C【思路点拨】利用等比数列a n中，a 7 是 a8，a 9 的等差中项，求出 q=1 或 q=-2，根据OAB（O 为原点）中， =（1，1）， =（2，q ），A 为锐角，确定 q
7、 的值【题文】8.能够把椭圆 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 称842yx )(xf为椭圆 的“亲和函数 ”，下列函数 是椭圆 的“亲和函数” 的是（ ）CCA B23)(xf5()1xfnC Dcosinxe【知识点】单元综合 B14【答案解析】B f（x）=x 3+x2 不是奇函数，f （x）=x 3+x2 的图象不关于原点对称，f（x）=x 3+x2 不是椭圆的“ 亲和函数 ”；f（x）=ln 是奇函数，f （x）=ln 的图象关于原点对称，55f（x）=ln 是椭圆的“亲和函数” ；xf（x）=sinx+cosx 不是奇函数，f（x）=sinx+cosx 的图象不关于原点对称，
8、f（x）=sinx+cosx 不是椭圆的“ 亲和函数”；f（x）=e x+e-x 不是奇函数，f （x）=e x+e-x 的图象关于原点不对称，f（x）=e x+e-x 不是椭圆的“亲和函数” 故选：B 【思路点拨】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可【题文】9.若函数 的图象在 0x处的切线与圆 相)0,(1)(baexfx 12yx切，则 的最大值是（ ）baA B C D4222【知识点】导数的应用 B12【答案解析】D 求导数，可得 f(x)= eaxb令 x=0，则 f(0)=- 又 f（ 0）= - ，则切线方程为 y+ = x，即 ax+by+1=0a
9、b11ba切线与圆 x2+y2=1 相切 =1a 2+b2=1a 0，b 02（a 2+b2）（a+b） 22a +b a+b 的最大值是 ,故选 D【思路点拨】求导数，求出切线方程，利用切线与圆 x2+y2=1 相切，可得 a2+b2=1，利用基本不等式，可求 a+b 的最大值【题文】10.已知函数 是 上的偶函数，且在区间 是单调递增的，若)(xfyR)0,(， ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ） dxS21dS21dxeS213A B2()()fff321()()fSffSC D213 12【知识点】定积分与微积分基本定理 B13【答案解析】D 根据积分公式可知 S1= x3 = -
10、 = ，S 2=lnx =ln2，S 3=ex =e2-28711e，函数 y=f（x ）是 R 上的偶函数，且在区间（-，0）是单调递增， 在区间（0，+）是单调递减，e 2-e ln20，f（S 3）f （S 1） f（S 2），故选 D73【思路点拨】利用积分公式求出 S1，S 2，S 3 的大小，然后利用函数单调性和奇偶性的性质即可判断大小【题文】11.关于方程 的两个根 以下说法正确的是（ )lg(lo2x)(,21x）A B21x21C D021x【知识点】函数与方程 B9【答案解析】D 在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=lg（ x+1）的图象，如图：由图可知：0x 1
11、1，1 x 22，所以 1x 1+x22 故选 D【思路点拨】在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=lg（x+1）的图象，观察图象可得【题文】12. 已知双曲线 )0,(12bayx上一点 C，过双曲线中心的直线交双曲线于 BA,两点，记直线 BCA,的斜率分别为 21,k，当 |ln|l2121k最小时，双曲线离心率为（ ）A. B C. D.23【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案解析】B 设 A（x 1，y 1），C （x 2，y 2），由题意知点 A，B 为过原点的直线与双曲线 的交点，1ab由双曲线的对称性得 A，B 关于原点对称，B（-x 1，-y 1）， k1= ，k
12、 2= ，21yx1yxk 1k2= = ，121yx21点 A，C 都在双曲线上， ， ，两式相减，得： =0，21yab21yab221xyabk 1k2= 0， +ln|k1|+ln|k2|= +ln(k1k2)，2xy12k1对于函数 y= +lnx， (x 0)，由 y=- + =0，得 x=0（舍）或 x=2，xx2 时，y =- + 0，210x2 时，y =- + 0，x当 x=2 时，函数 y= +lnx（x0）取得最小值，当 +ln|k1|+ln|k2|最小时，k 1k2= =2，12kabe= = 故选：B2ab3【思路点拨】设 A（x 1，y 1），C （x 2，y 2
13、），由双曲线的对称性得 B（-x 1，-y 1），从而得到 k1k2= = ，21112利用点差法能推导出 +ln|k1|+ln|k2|= +ln(k1k2)，121再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率【题文】二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）【题文】13.函数 的图像在点 处的切线方程为 ，则)(xfy)1(,fM21xy.)1(f【知识点】导数的应用 B12【答案解析】3 切线方程是 y= x+1，则直线的斜率 k= ，212根据导数的几何意义得：f（1）= ,f(1)= 故答案为：3.5【思路点拨】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出 f（1 ）即可【
14、题文】14.设 ，函数 的值域为 ，若 ，则 的取值范0ttxxf,log2)(1M4t围是 . 【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数 B6 B7【答案解析】 y2 函数 可得 0y2 t，或 y ， 6txxf,log2)(1 12log值域为：y|0y2 t，或 y 12l域为 M，若 4M，2 t4，且 4，可解得： y212log 6【思路点拨】根据函数 f（x） = ，可得 0y2 t，或 y ，12logx 12log由值域为 M，4 M，可得：2 t4，且 4，即可解出 t 的范围12l【题文】15. 在等比数列 中，若 ，则na,8150987a89.109871a【知识点
15、】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】- =（ ）+（ ）=5378910a710a891a71089a= =- 故答案为-71089a53【思路点拨】先把 进行分组求和，再利用等比中项的性质可知78910aaa7a10=a8a9，最后把 a7+a8+a9+a10= ，a 8a9=- 代入答案可得5【题文】16.某学生对函数 的性质进行研究，得出如下的结论：xfcos2)(函数 在 上单调递增，在 上单调递减；)(xf0,0点 是函数 图象的一个对称中心；,2)(xfy函数 图象关于直线 对称；)(f存在常数 ，使 对一切实数 均成立0Mxf)(x其中正确的结论是_ .(填写所有你
16、认为正确结论的序号)【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性 B3 B4 【答案解析】 f（x）=2xcosx 为奇函数，则函数 f（ x）在-，0，0 ，上单调性相同，所以错由于 f（0）=0，f（）=-2 ，所以错再由 f（0）=0，f（2 ）=4，所以错 |f（ x）|=|2xcosx|=|2x|cosx|2|x|，令 M=2，则|f（x）|M|x| 对一切实数 x 均成立，所以对故答案为：【思路点拨】由函数是奇函数可得函数 f（x）在- ，0，0， 上单调性相同，所以错；通过给变量取特殊值，举反例可得不正确；令 M=2，则 |f（x）|M|x|对一切实数 x 均成立，所以对【题
17、文】三、解答题（本大题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18-22 各 12 分，共 70 分）【题文】17.（本小题满分 10 分）在 ABC中，边 a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边，且满足：cos(3)osb.（1 ）求 ；（2 ）若 ， 42b，求边 a， c的值.【知识点】解三角形 C8【答案解析】 （1） （2） ，或 36cc（1）在ABC 中，bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，化为：3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=s
18、in（B+C ）=sinA 在ABC 中，sinA0，故 cosB= 13（2）由 =4，b=4 ，可得，accosB=4，即 ac=12BCA2再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2-2accosB=a2+c2- ，即 a2+c2=40，3c由求得 a=2，c=6； 或者 a=6，c=2综上可得， ，或 6c【思路点拨】 （1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得 cosB 的值（2）由 =4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边 a，c 的BCA值【题文】18.（本小题满分 12 分）设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有
19、 ，其中 为na*NnnnS4)3(1n数列 的前 项和.（1 ）求证数列 是等差数列；n（2 ）若数列 的前 项和为 求 。142nanT【知识点】数列求和 D4【答案解析】 （1）略（2 ） （1）对任意 nN *，都有（a n-1）（a n+3）=4S n，即 4Sn= +2an-3当 n2时，4a n=4（S n-Sn-1）=( +2an-3)-( +2an-1-3)= +2an- -2an-1， 1化为（a n+an-1）（a n-an-1-2）=0，对任意 nN *，a n0a n+an-10a n-an-1=2数列a n是等差数列，公差为 2（2）由（1），a 1=3，d=2 ，
20、a n=3+2（n-1）=2n+1 -1=(2n+1)2-1=4n（n+1）， = = ，nN *；241n()1T n=1- =【思路点拨】 （1）由已知利用“ 当 n2时，a n=Sn-Sn-1”即可求得 an 与 an-1 的关系，进而证明数列a n是等差数列（2）利用（1）可得 = = ，nN *，再利用“裂项求和”即可241na()1得【题文】19.(本小题满分 12 分 )如图，四棱锥 PABCD中，底面 AB是直角梯形，CD平面 ， / ， P， ,OE分别为,A的中点， 2OC.（1 ）求证： BE；（2 ）求二面角 PC的余弦值.【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系 G
21、4 G5【答案解析】 （）略（2） 427（）证明：设 BDOC=F，连接 EF，E、F 分别是 PC、OC 的中点，则 EFPO， CD平面 PAD，CD平面 ABCD，平面 ABCD平面 PAD，又 PA=PD，O 为 AD 的中点，则 POAD，平面 ABCD平面 PAFD=AD，PO 平面 ABCD，EF平面 ABCD，又 AB平面 ABCD，AB EF， 在ABD 中，AB 2+BD2=AD2，AB BD，又 EFBD=F，AB平面 BED，又 DE平面 BED，ABDE （）解：在平面 ABCD 内过点 A 作 AHCO 交 CO 的延长线于 H，连接 HE，AE，PO 平面 AB
22、CD，POC 平面 ABCD，平面 POC平面 ABCD=AH，AH平面 POC，PC平面 POC，AH PC在APC 中，AP=AC ，E 是 PC 中点，AE PC，PC平面 AHE，则 PCHE AEH 是二面角 A-PC-O 的平面角 设 PO=AD=2BC=2CD=2，而 AE2=AC2-EC2，AE= ，AH= ，则 sinAEH= ，147二面角 A-PC-O 的余弦值为 42【思路点拨】 （）设 BDOC=F，连接 EF，由已知条件推导出 EFPO，平面 ABCD平面 PAD，PO平面 ABCD，从而得到 EF平面 ABCD，进而得到 ABEF ，再由ABBD ，能证明 AB平
23、面 BED，由此得到 ABDE（）在平面 ABCD 内过点 A 作 AHCO 交 CO 的延长线于 H，连接 HE，AE ，由已知条件推导出AEH 是二面角 A-PC-O 的平面角由此能求出二面角 A-PC-O 的余弦值【题文】20.（本小题满分 12 分）已知函数 在 处取得极值 ， 为常数，cbxeaxf313)( 172cbcba,（1）试确定 的值；,（2）当 时，讨论函数 的单调区间；4x)(xf（3）若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围012cc【知识点】导数的应用 B12【答案解析】 （1）a=3，b=-4（2）-4，1上是减函数，在（ 1，+）上是增函数（3）c0 或 c
24、3（1）f（ x）=3ax 2ex-1+ax3ex-1+3bx2，f（x）=ax 3ex-1+bx3+c 在 x=1 处取得极值 2b+c+7， 即 解得 a=3，b=-4()07fbc407abc（2）由（1）得 f（x）=3x 3ex-1-4x3+c，f（x）=9x 2ex-1+3x3ex-1-12x2=3x2（3+x）e x-1-4，当-4x1 时， f（x）0 ，当 x1 时，f （x）0 ，函数 f（x）在-4，1上是减函数，在（1，+）上是增函数（3）由（2）可知，当 x=1 时，f （x） min=-1+c，若存在 x0，使得不等式 f（x）c 2-2c-1 成立，则有， -1+cc2-2c-1，解得 c0或c3【思路点拨】 （1）利用导数与函数极值的关系列出方程组即可求出 a，b 的值；（2）由（1）得 f（x）=3x 3ex-1-4x3+c，f（x）=9x 2ex-1+3x3ex-1-12x2=3x2（3+x）e x-1-4，利用导数即可求得函数的单调区间；
