1、吉林省东北师大附中 2015 届高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题（解析版）试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第 I 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1 ）集合 A=x|lo
2、g3（x-1）1,B=x| ,则124xAB(A)(1,2) (B)(1,4) (C)(-2,0) (D)(0,2)【知识点】交集及其运算A1 【答案解析】A 解析：A=x|log 3（x1）1=x| =x|1x4 ，B=x| 2 x1=x|0x2，A B=x|1x2=（1 ，2） 故选：A 【思路点拨】利用交集的性质和不等式的性质求解【题文】(2)命题 “对任意的 ，都有 ”的否定是R20（A）对任意的 ，都有 (B)存在 ，使x21xxR201x（C ）不存在 ，使 （D）存在 ，使0000【知识点】命题的否定A2 【答案解析】B 解析：由全称命题的否定方法得： “对任意的 xR，都有 2
3、x2x+10”的否定是“ 存在 x0R，使得 2x2x+10 成立故选 B【思路点拨】将量词改为“存在”，将结论否定当结论由此得到原命题的否定【题文】 （3）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为12xye2(4,)（A） （B） （C） (D)29ee2e【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁 B11 【答案解析】D 解析：曲线 y= ，y= ，切线过点（ 4，e 2）f（x）| x=4= e2，切线方程为：ye 2= e2（x4） ，令 y=0，得 x=2，与 x 轴的交点为：（2，0） ，令 x=0，y= e2，与 y 轴的交点为：（0， e2） ，曲线 y= 在点（4，
4、e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积 s= 2|e2|=e2，故选 D【思路点拨】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与 x 轴，与 y 轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积【题文】(4)下列函数中是偶函数且在 上单调递增的是(0,)（A） （B） （C） （D）2xylnyx2yx1yx【知识点】函数奇偶性的性质菁优网 B4 【答案解析】D 解析：A，y=2 x 定义域是x|x0，是偶函数，且在（0，+）上单调递减，则 A 不符合；B，函数 y=lnx 的定义域是（ 0，+ ） ，则是非奇非偶函数，B 不符合题意；C，函数 y=x2 的定义域是x|x 0，但在（0，+）单调递减，
5、C 不符合题意；D，y=|x|1 为偶函数，在（ 0，+）上单调递增，D 正确故选：D【思路点拨】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案【题文】 （5） “ ”是“ ”的1xx（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件菁优 A2 【答案解析】A 解析：由 得：当 a0 时，有 1 a，即 a1；当 a0 时，不等式恒成立所以 a1 或 a0，从而 a1 是 的充分不必要条件故应选：A【思路点拨】可以把不等式“ ”变形解出 a 的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边
6、同乘以分母 a 要分类讨论，分 a0，a0 两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法【题文】 （6）若 ，则下列不等式成立的是01b（A） （B） （C） （D）2 122logl2ba21ab【知识点】不等式的基本性质E1 【答案解析】C 解析：b= ，a= ，则 ab= ，b 2= ，故 A 不正确；a 2= ，ab= ，故 D不正确；log =2，log =1，故 B 不正确；0ba1，21，2 b2 a2，故选： C【思路点拨】取特殊值，确定 A，B，D 不正确，0 b a 1 ，21，利用指数函数的单调性，可得 C 正确【题文】 （7）如图，已知直线 l 和圆
7、C，当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转（转动角度不超过 90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 y 是时间 x 的函数，这个函数的图象大致是(A) (B) (C) (D)【知识点】直线与圆相交的性质H4 【答案解析】B 解析：观察可知面积 S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知 D 符合要求，故选 B【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。【题文】(8)定积分 的值为21xd(A) (B) (C) (D)3ln2343ln21【知识点】定积分B13 【
8、答案解析】A 解析： dx= =ln2ln1+ = 故选：A【思路点拨】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案【题文】 （9）偶函数 的定义域为 R， ， 为奇函数，且 ，()fx()1)gxf(gx(3)=1g则 (2014)=f（A）0 （B）1 （C）-1 （D ）2014【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值B4 【答案解析】B 解析：g（ x）是奇函数，g（ x）=f（x1）= g（x）=f（x1） ；又 f（x）是偶函数，f（x+1）=f（x1） ，即 f（x1）=f（x+1） ，f（x）=f（x+2）=f（x+4）f（ x）是周期为 4 的周期函数；f（201
9、4） =f（2+5034）=f（2）=g（3）=1故选 B【思路点拨】根据 g（x）是奇函数及已知条件得到 f（x+1）=f（x1） ，即 f（x1 ）= f（x+1） ，所以 f（ x）=f（x+2）=f（x+4） ，所以函数 f（x）的周期是 4，所以 f（2014 ）=f（2+5034）=f（2 ） ，所以根据已知条件求 f（2 ）即可【题文】 （10）设函数 在 处有极值 10，则点 的坐标为323()=fxab=1(,)ab（A） （B） （C） 或 （D）不存在(3,)4,1(,)(4,)【知识点】函数在某点取得极值的条件B12 【答案解析】B 解析：对函数 f（x）求导得 f（x
10、）=3x 22axb，又在 x=1 时 f（x）有极值 10， ，解得 或 ，验证知，当 a=3，b= 3 时，在 x=1 无极值，故选 B【思路点拨】首先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1 时有极值 10 可得 解之即可求出 a 和 b 的值【题文】 （11）若-1,1 ,则实数 t 的取值范围是2|1xt（A）-1,0 （B） ,0 （C） （D） , (,222【知识点】集合的包含关系判断及应用A1 【答案解析】A 解析：令 f（x）=|x 2tx+t|， 1，1x|x 2tx+t|1，|f （1）|1，|f（1）| 1，即|1+2t| 1，解得：1t 0，实数 t 的取值范围是1，
11、0 ，故选：A【思路点拨】令 f（x）=|x 2tx+t|，依题意可得|f （1）|1，|f（1 ）|1，解之即可【题文】 （12）x 表示不超过 x 的最大整数，函数 ()fx 是周期为 1 的周期函数； 的定义域为 R； 函数 的值域为0，1） ； ()f ()f ()fx 是偶函数； 的单调增区间为 .上面结论中正确的个数是x()fx,1)(kN（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【知识点】函数解析式的求解及常用方法B1 【答案解析】C 解析：f（x）=|x| x，函数的定义域为 Rf（x+1）=|x+1|x+1=|x+1|x1=|x| x=f（x） ，f（x）=|x| x在 R 上为
12、周期是 1 的函数当 0x1 时， f（x）=|x| x=|x|0=|x|，函数x的值域为0，1） ，函数 y=|x|x为非奇非偶函数，函数 y=|x|x在区间（0，1）上为增函数，f（x）的单调增区间为（k ，k+1 ） （kN）故正确，故选：C【思路点拨】根据已知中x表示不超过 x 的最大整数，我们可以分别求出函数 y=|x|x的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的个结论，即可得到答案第 II 卷请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效，本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：
13、本大题 4 小题，每小题 5 分.【题文】 （13）设函数 若 ，则 a 的值为123,()=log(),xefa(1)2f_；【知识点】函数的值B1 【答案解析】-5 解析：数 f（x）= ，f（f（1） ）=2，f（1）=2e 11=2，f（f（1） ）=f（2）=log 3（4 a）=2，4a=9，解得 a=5故答案为：5【思路点拨】由已知得 f（1）=2e 11=2，从而 f（f （1 ） ）=f（2）=log 3（4a）=2 ，由此能求出 a 的值【题文】 （14）函数 恰好有两个零点，则 的值为_3()=fxmm【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数
14、的单调性菁优网版权所有 B12 【答案解析】2 或-2 解析： f（x）=x 33x+m，f （x）=3x 23，由 f（x）0，得 x1 或 x1，此时函数单调递增，由 f（x）0，得1x1，此时函数单调递减即当 x=1 时，函数 f（x）取得极大值，当 x=1 时，函数 f（x）取得极小值要使函数 f（x）=x 33x+a 只有两个零点，则满足极大值等于 0 或极小值等于 0，由极大值 f（ 1）= 1+3+m=m+2=0，解得 m=2；再由极小值 f（1）=1 3+m=m2=0，解得m=2综上实数 m 的取值范围：m=2 或 m=2，故答案为：2 或 2【思路点拨】若函数 f（x）恰好有
15、两个不同的零点，等价为函数的极值为 0，建立方程即可得到结论【题文】 （15）函数 是定义在(0,4)上的减函数，且 ，则 a 的取值范()f 2()(faf围是_.【知识点】函数单调性的性质菁优网 B3 【答案解析】 （-1,0） （1,2 ） 解析：根据已知条件，原不等式变成 ，解得1 a0，或 1a2；a 的取值范围是（1，0）（1，2） 故答案为：（1，0）（1， 2） 【思路点拨】因为 f（x）是定义在（0，4 ）上的减函数，所以由 f（a 2a）f（2）得，解该不等式组即得 a 的取值范围【题文】 （16）已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，若对任意的()fx0x2()=f
16、x，不等式 恒成立，则实数 t 的取值范围是_.,2xt2()tfx【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质B4 【答案解析】 （ ） 解析：当 x0 时，f（x）=x 2,函数是奇函数，当 x0 时，f（x）= x2f（x）= ，f（x）在 R 上是单调递增函数，且满足 2f（x）=f（ x） ， 不等式 f（x+t） 2f（x）=f （ x）在t，t+2 恒成立，x+t x 在t，t+2恒成立，即： x（1+ ）t 在t，t+2恒成立，t+2（1+ ）t，解得：t ，故答案为： ，+） 【思路点拨】由当 x0 时，f（x）=x 2，函数是奇函数，可得当 x0 时，f （x）=x 2，从而
17、f（x）在 R 上是单调递增函数，且满足 2f（x ）=f（ x） ，再根据不等式 f（x+t ）2f（x）=f（ x）在t，t+2 恒成立，可得 x+t x 在t，t+2 恒成立，即可得出答案三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（17 ） （本小题满分 12 分）已知二次函数 ，不等式 的解集为2()=fxabc()2fx|13x（I）若方程 有两个相等的正根，求 的解析式；（II）若 的最大值为正数，求 a 的取值范围.()fx【知识点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；一元二次不等式的解法菁 B5 【答案解析】 （I ） ;（II） 或2163()5fx
18、x23a解析：（I）由题意得： ，方程 的两根为 1,30a()0f于是 的两根是 1,32()axbc根据韦达定理， ， ，24a342,3bac函数化为 ()()fxx方程 有两个相等实根60则 2(4)9axxa213A（舍）或15，6bc23()fxx（II） (4)aa0函数开口向下，只要与 x 轴有两交点，最大值即为正数 221610A 或3a【思路点拨】 （）由题意可得 ax2+（b+2）x+c0 的解集为x|1x3，可得，即 ，代入 ax2+bx+c=2a 整理，根据此方程的判别式=0，求得 a 的值，可得 b、c 的值，从而求得 f（x）的解析式（）由题意可得 ，由此求得 a
19、 的范围【题文】 （18） （本小题满分 12 分）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪水时要损失 10000元为保护设备，有以下 3 种方案： 方案 1：运走设备，搬运费为 3800 元 方案 2：建保护围墙，建设费为 2000 元但围墙只能防小洪水 方案 3：不采取措施 试比较哪一种方案好？【知识点】函数模型的选择与应用B10 【答案解析】第二种方案好解析：用 分别表示方案的损失123,x方案一：无论有无洪水， 1380x方案二：遇到大洪水时，损失 2000+60000=6
20、2000 元，没有大洪水时，损失 2000 元，即 260x方案三： 310于是： 18Ex2226(6)(0)6PPx333001310xx【思路点拨】用 Xi 表示方案 i（i=1，2，3 ）的损失，由题意即可得出：若采用第一中方案，采用第二种方案， 同样，采用第三种方案，18x60x有 再利用数学期望的计算公式即可得出360【题文】 （19） （本小题满分 12 分）在四棱锥 SABCD 中，SA 底面 ABCD，AD AB,ADBC，AD=1，AB =BC=2,1cos,5DB有大洪水时无大洪水时 有大洪水有小洪水无洪水（I）求直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值（II）求面 S
21、AB 与面 SCD 所成二面角的正弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角G11 【答案解析】 （） （）解析：（）设 SA=m，SA 2=DS2+DB22DSDBcos ，4+m 2=1+m2+52 ，解得 m=2，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 D（1，0，0） ，C（2，2，0） ，S（0，0，2） ，B（0，2 ，0） ，=（0， 2，2） ， =（1，2，0） ， =（1，0，2） ，设平面 SCD 的法向量为 =（ x，y，z ） ，则 ，令 z=1，则 =（2， 1，1） ，设直线 BS 与平面 SCD 所成角为 ，则 sin= = = （）SA底面 ABCD，ADAB，平面 SAB 的法向量为 =（1，0，0） ，cos = = ，平面 SAB 与面 SCD 所成的二面角的正弦值为 =
