1、北京市海淀区 2015 届高三上学期期中练习数学理试题（WORD 版） 2014.11本试卷共 4页，150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合 ， ，则 （ ）1|AxR|12BxR AB（A） ,)（B） (,)（C） (,（D） 1,)（2）已知向量 ， . 若 ，则 （ ）(2,a3xb3abx（A） 6（B） 5（C） 4（D） 3（3）若等比数列 满足 ，且公比 ，则 （ ）n132q35a（
2、A） 10（B） （C） 0（D） 25（4）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）si(2)3yxsinyx（A）向左平移 个单位（B）向左平移 个单位6（C）向右平移 个单位3（D）向右平移 个单位（5）设 ， ， ，则（ ）13()2a2logb2l3c（A） c（B） ab（C） acb（D） cba（6） 设 ，则“ 且 ”是“ ”的（ ）,abR01（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知函数 若关于 的方程 有三个不相 等的实,0().xf x()1)fax学 优数根，则实数 的取值范围是（ ） a（A） 1,)
3、2（B） (0,)（C） (0,1)（D） 1(0,)2（8）设等差数列 的前 项和为na.在同一个坐标系中，nS及 的部分图象()af()ng如图所示，则（ ）-0.4.80.7O 87an(S) n（A）当 时， 取得最大值4nnS（B）当 时， 取得最大值3nnS（C）当 时， 取得最小值（D）当 时， 取得最小值二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）设复数 ，则 _ i1zz（10） 已知函数 的图象关于 轴对称，则实数 的值是 .2xayya（11） _.(sin)dx（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度 （单位： ）Cmg
4、/L随时间 （单位： ）的变化关系为 ，则经过 _ 后池水中药品的浓度达到最大. th204tCh（13）如图所示，在ABC 中， 为 边上的一点， 且 .若 ，DB2BD(,)ABnDR则 ._mn（14 ）已知函数 （ 是常数，()sin()fxAx,A 0,A）的最小正周期为 ,设集合 直线 为曲线Ml 在()yfx点 处的切线， .若集合 中有且只有0(,)xf0,)x两条直线互相垂直，则 = ； = .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15） （本小题满分 13 分）已知函数 .()sin()3fxx（）求 的值；2DCB A（）求 的单
5、调递增区间.()fx（16） （本小题满分 13 分）已知 是各项均为正数的等比数列， ，且 成等差数列.na12a132,a（）求 的通项公式；（）求数列 的前 项和 .nnS（17） （本小题满分 13 分）如图所示，在四边形 中， ，且 .ABCD2B31,cosADCB（）求 的面积；（）若 ，求 的长.23B（18） （本小题满分 14 分）已知函数 .1ln2)(2xaxf（）若 ,求函数 的单调递减区间；1()f（）若 ，求函数 在区间 上的最大值； 0x,)（）若 在区间 上恒成立，求 的最大值.)(xf),a（19） （本小题满分 13 分）已知数列 的前 项和 .na(1)
6、,23)nnS（）求 的值；1（）求证： ；1(2)()()nna（）判断数列 是否为等差数列，并说明理由.a（20） （本小题满分 14 分）设函数 ， 为曲线 在点 处的切线.21()563fxxL:()Cyfx1,)2DCBA（）求 L 的方程； （）当 时，证明：除切点 之外，曲线 C 在直线 L 的下方；15x1(,)2（）设 ，且满足 ，求 的最大值123,R13x123()()fxffx海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2 ）D （3）C （4）B （5）B （6 ）A （7）
7、D （8）A二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分）（9） （10） （11） 200（12） （13） （14）2；21三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解：（） . 3 分1()sin()2232f（） xx 5 分si(icossin).1313iniicosin()223xxx 9 分函数 的单调递增区间为 ，siyx,()kkZ由 ， 11 分22()3kkZ 得 .56x 所以 的单调递增区间为 . 13 分()f 5,2()6kkZ（16） （共 13 分）解：（）因为 成等差数列，
8、132,a所以 . 2 分设数列 的公比为 ，由 可得 ， n(0)q12a21q 4 分即 .21q解得： 或 （舍）. 5 分所以 . 7 分1()2nna（）由（）得： . n所以 8 分23112n nS9 分231123nn . 13 分()()(1)12nn（17） （共 13 分）解：（）因为 ， ，2DB3cos所以 . 3 分1cos因为 ，(0,)所以 . 5 分2sin1cos3D因为 ，,AC所以 的面积 . 112sin32SACD 7 分（）在 中， .ACD22cos12D所以 . 9 分3因为 ， ， 11 分2BsiniABC所以 .sii()i2sinco2
9、3sinAB所以 . 13 分4AB（18） （共 14 分）解：（）当 时， .1a2()ln1fxx， . 2 分22()fx0令 .2(1)f因为 ，0x所以 . 3 分1所以 函数 的单调递减区间是 . 4 分()f (1,)（） , .xaxaf )(2 0令 ，由 ，解得 ， （舍去）. 5 分()0f12xa 当 ，即 时，在区间 上 ，函数 是减函数.1aa,)(0fx()fx所以 函数 在区间 上的最大值为 ； 7 分()fx,)1 当 ，即 时， 在 上变化时， 的变化情况如下表x1,(),fxx()aa,)a+()f+ 0-0 ln1-所以 函数 在区间 上的最大值为 .
10、()fx1,)()lfa 10 分综上所述：当 时，函数 在区间 上的最大值为 ；0a()fx1,)(1)0f当 时，函数 在区间 上的最大值为 .1a()fx1, (lnfa（）由（）可知：当 时， 在区间 上恒成立；0)(xf ), 11 分当 时，由于 在区间 上是增函数，1a)(xf,1a所以 ,即在区间 上存在 使得 .0)(f )xa()0fx 13 分综上所述， 的最大值为 . 14 分a1（19） （共 13 分）（）解：由题意知： ，即 .12aS12a解得： . 2 分1a（）证明：因为 ，(1),23)nnaS所以 （ ）. 4 分1()2n因为 （ ）. 6 分1na所
11、以 ，即 .1()nna1(2)()(2)nnaa 7 分（）数列 是等差数列.理由如下： 8 分na又 （ ） ，由（）可得：22()1nS3（ ）. 9 分12nn12()()naa3所以 ，1na即 . 11 分12()()()0nnna因为 ，3所以 ，即 （ ）. 120nna12nna3所以 数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列. 13 分2（20） （共 14 分）解：（） .22106()53)xfx所以 .14f所以 L 的方程为 ，即 3 分1()2yx124yx（）要证除切点 之外，曲线 C 在直线 L 的下方，只需证明 ，(,) 1(,)(,)5x恒成立.2115
12、6324xx因为 ，0所以 只需证明 ， 恒成立即可(,)(,)532170xx 5 分设 321()517 ().5gxxx则 .7 令 ，解得 ， . 6 分()0gx1x215当 在 上变化时， 的变化情况如下表,5(),gxx(, 7(,)15-71(,)5-)g+ 0- 0+( 0所以 ， 恒成立. 8 分1(,)(,)5x32710xx（） （）当 且 时，12,x3由（）可知： ，11()56242f x， . 22()5634fxxx 3 331()5624f xx三式相加，得 .12312()()8fffx因为 ，123x所以 ，且当 时取等号 11 分3()()4fffx 1231x（）当 中至少有一个大于等于 时，123,x5不妨设 ，则 ，5 2 2211885163()0xx)因为 ， ，2 2863()5x 233516(x所以 123()014fffx综上所述，当 时 取到最大值 . 14 分23()()fxffx14
