1、北京师范大学附属中学 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试卷( 解析版)一、选择题（10 小题，每小题 5 分，共 50 分请将答案填入第卷选择题的答案表中 ）1、若集合 ，集合 ,则 （ ）xyA2xyBBAA B C. D0,10,2、 下列有关命题的说法中错误的是 （ ） A对于命题 ： ，使得 ，则 均有PRx21:,pxR201xB “ ”是“ ”的充分不必要条件1x23C命题“若“ ”，则 ”的逆否命题为：“若 ，则0x2”03D若 为假命题，则 均为假命题pqqp,3、 曲线 在点 处的切线方程为（ ）31yx()A B C D30xy30xy30xy4、若 ，其中 t（0
2、，） ，则 t=( )0sin2costdA. B. C.D.35、已知 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）6,312ababA B C D 46、设 R，向量 且 ，则 ( ),xy(,)(,)(,4)xbycc/,=abA. B. C. D.10507、如图，在OAB 中，P 为线段 AB上的一点， x y ，OPAB且 2 ，则( )BAA、x ，y B、x ，y C、x ，y D、x ，y31321433418、函数 （其中 ）的图象如图()sin()f0,|2A所示，为了得到 的图像，则只要将 的图像（ ）g()fA向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度61C向左平移 个单位长
3、度 D向左平移 个单位长度29、如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h的速度由 A处出发，沿北偏东 60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达 B处时，发现北偏西 45方向有一艘船 C，若船 C位于 A的北偏东 30方向上，则缉私艇所在的 B处与船 C的距离是( ) kmA、5( ) B、5( ) C、10( ) D、10( ) 6262626210、若函数 满足 ，当 x0，1 时， ，若在区间(-1，1上，(fx1(ffx(fx有两个零点，则实数 m的取值范围是( )()gmA、0m B、0m C、 ml D、 m1131313二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11、若 ,
4、则 的值是 .2cosinsin12、若扇形的周长是 8cm，面积 4cm2，则扇形的圆心角为 rad.13、已知函数 在 上单调递增,在 上单调递减，()i)(06fx4()34(,2)3则 14、已知函数 满足 ，函数 关于点 对称，)(f )(xff )1(xfy)0,(，则 _.4)2(f20115、 设 函 数 的 定 义 域 为 D， 若 函 数 满 足 下 列 两 个 条 件 ， 则 称x)f在 定 义 域 D 上 是 闭 函 数 在 D 上 是 单 调 函 数 ； 存 在 区 间y (， 使 在 上 值 域 为 如 果 函 数 为 闭 函 数 ，,ab()f,ab,ab()21
5、fxk则 的 取 值 范 围 是 _k三、解答题（共 75分）16、已知 ， ，若 ，求：(sin,1)x1(cos,)2x()fxab（1 ） 的最小正周期及对称轴方程 . （2 ） 的单调递增区间.)f（3 ）当 时，函数 的值域.0,2()f17、在 ABC 中，内角 BC， ， 对边的边长分别是 abc， ， ，已知 2， 3C（1）若 的面积等于 3，求 ab， ；（2）若 siniBA，求 B 的面积18、某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为 60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为 600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃
6、料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为 05，其它费用为每小时 1250元（1）请把全程运输成本 （元）表示为速度 （海里/小时）的函数,并指明定义域；yx（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？19、已知函数 （其中 ） 设命题 ：()2)(fxxm2()2xgpx， 或 ；命题 ： ， R0fgq(1,0)0f若 是真命题，求 的取值范围pq20、 设函数 定义在 上， ，导函数()fx(0,)(1)0f1(),()().fxgfx （）求 的单调区间和最小值；g（）讨论 与 的大小关系；()1x（）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的取001()gx0x0x值范围；
7、若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1、C 【解析】因为 2, 0xAyRBxyx所以 ，故选 C.0BRx2、D 【解析】对于命题 ： ，使得 ，则 均有P21:,pxR2故 A 为 真 命 题 ； “ ”是“ ”的充分不必要条件故 B 为0x1xx3真 命 题 ；命题“若“ ”，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”203x x203故 C 为 真 命 题 ； 若 为 假 命 题 ， 则 存 在 至 少 一 个 假 命 题 ， 但 不 一 定pqqp, qp,均 为 假 命 题 ， 故 D 为 假 命 题 ； 3、B 【解析】 ， ， 曲线 在点 处的23,1xyy3|1xy31y()切线的
8、斜率 ， 切线方程为 k04、C 【解析】 且 t（0，） ，00sin2cosin|sit txdt所以 .故选 C.sitt1t1235、A 【解析】向量 在 方向上的投影为 ，故选择 Aab2cos4ab6、C 【解析】 ; .2140cxx/102y则 ,所以 .故 C正确.2,1,3a 23ab7、A 【解析】由题可知 ，又 2 ，所以 OPBPAOPB3A ( ) ，所以 x ，y ，故选 A.OB323A1318、 A 【解析 】由图可知， ，故 ，由于 为274,T2T0,五点作图的第三点， ，解得 ，所以 ，将函数3233sinxf的图象向右平移 个单位长度 得 ，故答案()
9、fx6 gxy26sin为 A9、C【解析】由题意，知BAC603030，ABC304575，ACB180753075，ACAB40 20(km)由余弦定理，12得 BC2AC 2AB 22ACABcosBAC20 220 222020cos30800400 400(2 )，33BC 10 ( 1)10( )(km)400136210、A 【解析】 有两个零点，()2gxfmx即曲线 有两个交点.令 ，则 ，,yf1,0)(0,1)x所以 . 在同一坐标系中，画出1(),()(xf的图象（如图所示）：直线 过定点 ，,2f 2ym(,)所以， 满足 即 选 .m0,1()10,3A二、填空题（
10、每小题 5 分，共 25 分）11、 【解析】34由 ，得： 2cosin2113sincosincosin244412、2【解析】设扇形的圆心角为 ，半径为 ,则R82R13、 【 解析 】 解析：因为函数 在 上单调递增,在12()sin)(06fx4()3上单调递减，所以 ，所以4(,)3413f，经检验 时， 在 上单调,622kkZ12()fx40,)3递增,在 上单调递减.所以 .(,)14、 【解析】由于 ，4 6xff，xffxfxf 61故函数的周期为 12，把函数 的图象向右平移 1 个单位，得 ，因此y 1y的图象关于 对称，为奇函数，y0,，4212267204 fff
11、ff15、 三、解答题（共 75分）16、 【 解析 】 （1）， ，(sin,)ax1(cos,)2bx 3(sinco,)2abx23inisf x 1cos231(sincos)n()2 4xx所以函数 的最小正周期为 ，令 ，()f 2Tw2xkZ解得 ，所以函数 对称轴方程为)8kxZ()fx()8（2 ）因为 ，所以函数 的单调增区间为函数2(sin(4f()fx的单调减区间，令 ，即得sin)4yx322()4kkZ，所以函数 的单调增区间为5()88kxkZ()fx,（3 ）令 ，所以原式化为 ，52,4xt25()sin()4ftt当 ，所以 ，即得 ，5,t2sin1t2f
12、所以函数 在区间 的值域为 .()fx0,5,17、 【 解析 】 （）由余弦定理得， 24ab，又因为 ABC 的面积等于 3，所以1sin3C，得 4ab 联立方程组24ab，解得 2a， b（）由正弦定理，已知条件化为 ，联立方程组2ba，解得3，4所以 ABC 的面积12sinSbC 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式.18、 【 解析 】 （1）由题意得： ，即：260750(15.)3yxxx7503()yx（2）由（1）知， 令 ，解得 ,或 （舍去） 2753,y50当 时， ，当 时， ， 因此，函数 ，0y60x73yx在 处取得极小值，也是最小值故为使全程运输成本最
13、小，轮船应以 海里/小时50x的速度行驶19、 【 解析】因为 是真命题，则 和 都为真命题 法一：因为 是真命题，则 的解集的补集是pqpqp()0gx解集的子集； 是真命题，则 的解集与 的交集非空()f()0fx(1,0)若 ，则 又 ， 或 ，20xg1Rgxf 是 的解集的子集又由 （其中 ）,1,()f 2m2解得得 或 , 因此 当 时， ，问题转化为m(,)()0x，使得 ，即 的解集与 的交集非空即,()0fx10，则 ， 综合可知满足条件的 的取值范围是 (2)(011法二：当 时， ，因为 是真命题，则 ，1x)2xgp()f，即 ，当 时， ，因为 是真fx20xgq命
14、题，则 ,使 ， ，即 (0f()12fm综上所述， m20、 【解析】（）由题知 ， ， ，令 得 ，()lnfx1()lngx21()xg()0gx1当 时， ，故（0,1 ）是 的单调减区间，0,1x0()当 时， ，故 是 的单调增区间，,因此， 是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 () ()（） ，设 ，则 ，lngx1()(2lnhgxx2(1)xh当 时， ，即 ，当 时 ， ，1x()00,)(1,0()h因此， 在 内单调递减，当 时， ，即 ，h,xgx当 时， ，即 ()11()g（）满足条件的 不存在证明如下：0x证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，即对任意 ，0|x0x0x有 （*） 但对上述 ，取 时，有 ，这与（* ）左边02()IngI()1ge1()Ing不等式矛盾，因此，不存在 ，使 对任意 成立。00|()|x证法二 假设存在 ，使 对任意的 成立。x|gx由（）知， 的最小值为 。 又 ，而 时， 的值域为0()ge()11()gInxI1xIn，(0,) 时， 的值域为 ，从而可取一个 ，使 ，1x()x,110()g即 ，故 ，与假设矛盾。010|()|gxx 不存在 ，使 对任意 成立。|
