1、内蒙古呼和浩特市 2015 届高三上学期期中考试数学理试卷（解析版）一、选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1设集合 A=x| 2 x4 ，B=x|x 21，则 AB=（ ）A x|x2 B x| x1 C x|1x2 D x|1x2分析： 利用并集的性质求解解答： 解：集合 A=x| 2x4=x|1x2，B=x|x21=x|1x1，AB=x|1x2故选：C点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用2已知 aR，i 是虚数单位，复数 z=a+i，若 z2 为纯虚数，则 z=（ ）A 1+i B 1+i C 1+i 或 1+i D 2i 或 2i分析：
2、 利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求解 a，则答案可求解答： 解：数 z=a+i，z2=（a+i） 2=a21+2ai，由 z2 为纯虚数，得 a=1z=1+i 或1+i故选：C点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3在各项均为正数的等比数列a n中，若 a2a4=9，则log a1+log a2+log a3+log a4+log a5 的值为（ ）A 6 B 5 C 6 D 5分析： 据等比数列的性质可知 a2a4=a32，再利用对数的性质即可得到答案解答： 解：各项均为正数的等比数列a n中，a 2a4=9，a3=3
3、，log a1+log a2+log a3+log a4+log a5=log （a 1a5）+log （a 2a4）+log a3=5log a3=5故选：D点评： 本题主要考查了等比数列的性质即若 m、n、p、q N*，且 m+n=p+q，则aman=apaq4下列说法正确的是（ ）A 函数 f（x）=a x+1（a0，且 a1）的图象恒过定点（0，1）B 函数 f（x）=x 3 在其定义域上是减函数C 函数 f（x）=2 值域为（0，+ ）D 函数 f（x）=|log 2x|在区间（1，+）上单调递增考点： 对数函数的单调性与特殊点专题： 函数的性质及应用分析： 由条件根据对数函数、指数
4、函数、幂函数的单调性和特殊点，判断各个选项是否正确，从而得出结论解答： 解：由于当 x=0 时，函数 f（x）=a x+1=2，故函数 f（x）=a x+1 的图象恒过定点（0，2） ，故 A 不正确由函数 f（x）=x 3 在的图象可得函数在（0，+）上单调递减，且 f（x）0，函数在（，0）上单调递减，且 f（x）0，故函数在其定义域内没有单调性，故 B 不正确由于函数 f（x）=2 中， 0，故函数 f（x） 20，即 f（x）1，故 f（x）=2 值域一定不是（0，+） ，故 C 不正确在区间（1，+）上，函数 f（x）=|log 2x|=log2x，故函数在区间（1，+）上单调递增，
5、故 D 正确，故选：D点评： 本题主要考查对数函数、指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题5设曲线 y=eaxln（x+1 ）在点（0，1）处的切线方程为 2xy+1=0，则 a=（ ）A 0 B 1 C 2 D 3考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线 y=eaxln（x+1 ）在点（0，1）处的切线方程为 2xy+1=0，建立等式关系，解之即可解答： 解：y=e axln（x+1） ，y=ae axx=0 时，切线的斜率为 a1曲线 y=eaxln（ x+1
6、）在点（0，1）处的切线方程为 2xy+1=0，a1=2，即 a=3故选：D点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题6执行如图所示的程序框图后，输出的值为 4，则 P 的取值范围是（ ）A （ ， B （ ， C （ ， D （ ， 考点： 循环结构专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的 S，n 的值，当输出 n 的值为 4 时，有 S= ，故可求 P 的取值范围解答： 解：执行程序框图，有n=1，S=0满足条件 SP，有 S= ，n=2；满足条件 SP，有 S= + = ，n=3；满足条件 SP，有 S= + + = ，n=
7、4；此时，不满足条件 SP ，有 S= ，输出 n 的值为 4故当 P 的取值在（ ， 时，不满足条件 P，退出循环，输出 n 的值为 4故选：A点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题7设 a= dx，则 sinxdx=（ ）A 2 B C 2 D 1考点： 定积分专题： 导数的综合应用分析： 由定积分的几何意义求出 a，然后代入所求其定积分解答： 解：因为 a= dx= =，所以则 sinxdx=cosx =（ 11）=2；故选 C点评： 本题考查了定积分的求法；已知的定积分是利用被积函数的几何意义求之，所求的定积分是找到被积函数的原函数解答的，属于基础题8已知向量 ， 的夹角为
8、120，且| |=1，| |=2，则向量 在向量 + 上的投影是（ ）A B C D 3考点： 数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向量及应用分析： 利用求模运算得到向量| |，| + |，进而得到向量 与 + 的数量积，得到向量夹角余弦，根据投影定义可得答案解答： 解：由已知，向量| |2=| |2+| |22 =1+4+2=7，| + |2=| |2+| |2+2 =1+42=3，则 cos ， + = = = ，向量 在向量 + 上的投影是| |cos ， + = （ ）= ；故选 A点评： 本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题9函数 f（x）=
9、4sin（ x ）sin （x+ ） （0）的最小正周期为 ，且 sin= ，则f（）=（ ）AB C D 考点： 由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）= 2cos2x，再根据周期性求得 ，可得 f（x）= 2cos2x，再根据 sin= ，利用二倍角的余弦公式求得 f（ ）= 2cos2 的值解答： 解：f（x）=4sin （ x ）sin （x+ ）=4sin （ x ）cos （ x+ ）=4sin（x ）cos（ x ）=2sin（2 x ）=2cos2x，且函数 f（x）的最小正周期为 =，求
10、得 =1，故 f（x）=2cos2x又 sin= ，则 f（）= 2cos2=2（1 2sin2 ）=4sin 22= ，故选：B点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，属于中档题10变量 x，y 满足约束条件 时，x2y+m 0 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ）A 0，+） B 1，+） C （，3 D （ ，0考点： 简单线性规划专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用分析： 由题意作出其平面区域，x2y+m 0 表示了直线上方的部分，故由 解得，x=4，y=2；代入即可解答： 解：由题意作出其平面区域，x2y+m0 表示了直线上方的部分，故由 解
11、得，x=4，y=2；则 422+m0，则 m0故选 D点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题11已知函数 f（x）=sinx+acosx 的图象关于直线 x= 对称，且方程 f（x）=m 在0， ）上恰有两个不同的实数根，则实数 m 取值范围是（ ）A 0，1 B 1，2 C ，2） D 1， 考点： 由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 由题意可得可得 =sin +acos ，求得 a 的值，可得 f（x）=2sin（x+ ） 再根据函数 y=f（x）的图象和直线 y=m 在0， ）上有两个交点，求得m 的范围解答： 解：由函
12、数 f（x）=sinx+acosx 的图象关于直线 x= 对称，可得 x= 时，函数取得最大值或最小值，故有 =sin +acos ，求得 a= ，f（ x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ） 在0， ）上，x+ ， ） ，f （x） （1，2 再根据方程 f（x）=m 在0， ）上恰有两个不同的实数根，可得函数 y=f（x）的图象和直线 y=m 在0， ）上有两个交点，故 m2，故选：C点评： 本题主要考查三角函数的图象的对称性，两角和的正弦公式，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题12已知函数 f（x）=ax 3+bx22（a0）有且仅有两个不同的零点 x1，x 2，则（ ）A当
13、 a0 时，x 1+x20，x 1x20 B 当 a0 时，x 1+x20，x 1x20C当 a0 时，x 1+x2 0，x 1x20 D 当 a0 时，x 1+x20，x 1x20考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 求导数可得 x=0，或 x= 时，函数取得极值，要满足题意需 f（ ）=0，可得 a，b 的关系，当 a0 时，x 1+x2 的正负不确定，不合题意；当 a0，可得x1x20，x 1+x20，进而可得答案解答： 解：原函数的导函数为 f（x）=3ax 2+2bx=x（3ax+2b ） ，令 f（x）=0，可解得 x=0，或 x= ，故当 x=0，或 x
14、= 时，函数取得极值，又 f（0）=20，所以要使函数 f（x）=ax 3+bx22（a0）有且仅有两个不同的零点，则必有 f（ ）=a +b 2=0，解得 ，且 b0，即函数的一根为 x1= ，（1）如下图，若 a0，可知 x1= 0，且为函数的极大值点，x=x 2 处为函数图象与x 轴的交点，此时函数有 2 个零点： ，x 20，显然有 x1x20，但 x1+x2 的正负不确定，故可排除C，D；（2）如图 2，若 a0，必有 x1= 0，此时必有 x1x20，x 1= 的对称点为x= ，则 f（ ）=a +b 2= 2= =80，则必有 x2 ，即 x2 0 ，即 x1+x20故选 B点评
15、： 本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及三次函数的图象以及分类讨论的思想，属中档题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知数列a n为等差数列，且 a1=1，S 5=25，则a n的通项公式 an= 2n1 考点： 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的前 n 项和公式、性质求出 a3 的值，再由通项公式求出公差 d 和 an解答： 解：因为数列a n为等差数列， S5=25，所以 =25，则 a3=5，又 a1=1，所以公差 d= =2，所以 an=a1+（n1）d=2n1，故答案为：2n1点评： 本题考查了等差数
16、列的前 n 项和公式、性质，以及通项公式的灵活应用，属于基础题14已知函数 f（x）=a 2x2a+1若命题“x（0，1） ，f （x）0” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 （ ，1）（1， +） 考点： 全称命题专题： 简易逻辑分析： 利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是真命题，求出 a 的范围解答： 解：函数 f（x）=a 2x2a+1，命题“x（0，1） ，f（x）0” 是假命题，原命题的否定是：“ 存在实数 x（0，1） ，使 f（x）=0”是真命题，f（ 1）f（0）0，即（a 22a+1） （2a+1）0；（ a1） 2（2a 1）0，解得 a ，且 a1；实数 a 的
17、取值范围是（ ，1）（1，+ ） 故答案为：（ ，1）（1， +） 点评： 本题考查了命题的否定的应用问题，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到正确的结论，是基础题15如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则 的最大值是 2 考点： 向量在几何中的应用专题： 转化思想分析： 令OAD=，由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上，可得出 B，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答： 解：如图令OAD= ，由于 AD=1 故 0A=cos，
18、OD=sin，如图BAX= ，AB=1 ，故 xB=cos+cos（ ）=cos+sin ，y B=sin（ ）=cos故 =（cos+sin，cos ）同理可求得 C（sin，cos+sin） ，即 =（sin，cos +sin） ， =（cos+sin，cos ）（sin ，cos +sin）=1+sin2 ，的最大值是 2故答案是 2点评： 本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标16定义在（0， ）上的函数 f（x）满足 f（x）sinx f（x）cosx0，设 a= f（ ） ，b= f（ ） ，
19、c=2f（ ） ，则 a，b，c 的大小关系是 cba 考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 计算题；导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析： 设 g（x）= ，利用导数判断出 g（x）单调性，根据函数的单调性即可得到大小解答： 解：由于 f（x）sinxf（x）cosx0，则设 g（x）= ，则有 g（x）0，则 g（x）在（0， ）上递增，a= f（ ） = ，b= f（ ）= ， c=2f（ ）= 由于 0 ，即有 g（ ）g（ ）g（ ） ，则有 cba故答案为：cba 点评： 本题考查函数的导数的运用：求单调性，考查单调性的运用：比较大小，注意运用导数的运算法则是解题的关键三、解
20、答题17 （12 分）已知函数 f（x） = x3 ax2+x+2（）若 f（x）在 R 上单调递增，求 a 的取值范围；（）设 f（x）的导函数为 f（x） 若（ ， ）使 f（sin）=f （cos ）成立求a 的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 计算题；导数的综合应用；三角函数的求值分析： （）求出导数，再由二次函数的图象和性质，只要令判别式不大于 0，即可得到；（） 由于 f（x）=2x 2ax+1 关于 x= 对称，再由条件可得 ，运用三角函数的两角正弦公式和正弦函数的性质，即可得到范围解答： 解：（） f（x）=2x 2ax+1，由于 f（x）在 R 上单调递增，则 f（x）0 在 R 上恒成立，则有0，即 a280，解得2 ；（） 由于 f（x）=2x 2ax+1 关于 x= 对称，又 ，sincos ，（ ， ）使 f（sin ）=f（cos ）成立，则 ，即 a=2（sin+cos）=2 ，由于 ，则 ，则 ，
