1、内蒙古赤峰市 2015 届高三（上）第一次统考数学试卷（理科）一、选择题（共 25 题，每题 2 分，共 50 分）1设集合 U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则 U（AB）=（ ）A 4 B 3，5 C 1， 2，4 D 2复数 的虚部是（ ）A i B i C D3已知两条不同直线 l1 和 l2 及平面 ，则直线 l1l2 的一个充分条件是（ ）A l1 且 l2 B l1 且 l2 C l1 且 l2 D l1 且 l24有一个正方体棱长为 1，点 A 为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点 P 到点 A 的距离大于 1 的概率为（ ）A 1
2、B C 1 D 15给出性质：最小正周期为 ；图象关于直线 x= 对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是（ ）A y=sin（2x+ ） B y=sin（2x+ ） C y=sin（2x ） D y=sin（x+）6已知命题 p：x0，x+ 2，命题 q：“x=2“x 25x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ）A p（ q） B q（p） C pq D p（q）7 （已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） AB 1 C D 38已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，（x 3，y 3）， （x
3、n，y n）若程序进行中输出的一个数对是（x，8） ，则相应的 x 值为（ ）A 80 B 81 C 79 D 789设 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A 2，5 B 1，5 C ，5 D ，210ABC 中，AB= ，AC=1， B=30，则 ABC 的面积等于（ ）AB C D11已知函数 y=f（x） （xR）满足 f（x）= f（x+1） ，且 x1，1时，f（x）=x 2，则y=f（x）与 y=log5x 的图象的交点个数为（ ）A 3 B 4 C 5 D 612过双曲线 =1（a 0，b0）的左焦点 F1（c ，0） （c0）作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，
4、直线 F1E 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为（ ）AB C D二填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分13 （5 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 的左焦点重合，则 p 的值为 _ 14 （5 分）曲线 y=xex+2x+1 在点（0，1）处的切线方程为 _ 15 （5 分）二项式（2 ） 6 展开式中常数项是 _ 16 （5 分）若向量 =（x 1，2） ， =（4，y）相互垂直，则 9x+3y 的最小值为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知等差数列a n的首项为 a，公差为 d，且方程 ax2
5、3x+2=0 的解为 1，d（1）求a n的通项公式及前 n 项和 Sn 公式；（2）求数列3 n1an的前 n 项和 Tn18 （12 分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予 0.96 折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为 36 人，其中有 12 位顾客自己带了购物袋，现从这 36 人中随机抽取 2 人（）求这 2 人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（）设这 2 人中享受折扣优惠的人数为 ，求 的分布列和数学期望19 （12 分）已知在四棱锥 PA
6、BCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E 、F 、G 分别是 PA、PB、BC 的中点（I）求证：EF平面 PAD；（II）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小20 （12 分）已知过点 F1（ 1，0）且斜率为 1 的直线 l1 与直线 l2：3x+3y+5=0 交于点 P（）求以 F1、F 2（1，0）为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程（）设点 Q 是椭圆 C 上除长轴两端点外的任意一点，试问在 x 轴上是否存在两定点A、B 使得直线 QA、QB 的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点
7、A、B 的坐标；若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =lnx bx（a0） （I） 若 b=2，且 y=f（x）存在单调递减区间，求 a 的取值范围；（II）若函数 y=f（x）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f（x 0）0四、选考题：满分 30 分，在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分） （2013 郑州二模）如图，已知 O 和M 相交于 A、B 两点，AD 为M 的直径，直线 BD 交 O 于点 C，点 G 为 BD 中点，连接 AG 分别交O、BD 于点 E、F 连接 C
8、E（1）求证：AG EF=CEGD；（2）求证： 23 （10 分） （已知曲线 C 的极坐标方程为 =4cos，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积24 （10 分）已知函数 f（x） =|x2|，g（x）= |x+3|+m（1）解关于 x 的不等式 f（x ）+a10（aR） ；（2）若函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，求 m 的取值范围三、解答题：解答
9、应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 解：（1）方程 ax23x+2=0 的两根为 1，d利用韦达定理得 ，解得 a=1，d=2由此知 an=1+2（n 1）=2n 1， （6 分）（2）令 ，则 ， （8 分）两式相减，得 （10 分）=22（n1）3 n （12 分）18 解析：（）设“两人都享受折扣优惠”为事件 A， “两人都不享受折扣优惠” 为事件B，则 ， 因为事件 A，B 互斥，所以 故这 2 人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 （）据题意， 的可能取值为 0，1，2其中 ， 所以 的分布列是： 0 1 2p所以 19 解：（I）证明：平面 PAD平面 ABCD，ABAD
10、 ，AB平面 PAD， （4 分）E、 F 为 PA、PB 的中点，EFAB，EF平面 PAD； （6 分）（II）解：过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，平面 PAD平面 ABCD，则 PO平面 ABCD取 AO 中点 M，连 OG，EO， EM，EFABOG，OG 即为面 EFG 与面 ABCD 的交线（8 分）又 EMOP，则 EM平面 ABCD且 OGAO，故 OGEOEOM 即为所求 （11 分）在 RTEOM 中，EM= OM=1tanEOM= ，故 EOM=60平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 60 （14 分）20 解：（I）直线 l1 的方程为 y=x+
11、1，与直线 l2：3x+3y+5=0 联立可解得，x= ，y= ，则 P（ ， ） ，则|PF 1|+|PF2|= + =2 ，则 a= ，c=1，b=1；则椭圆 C 的方程为 （II）假设存在两定点为 A（ s，0） ，B （t，0） ，使得对于椭圆上任意一点 Q（ x，y） （除长轴两端点）都有 kQtkQs=k（k 为定值） ，即 =k，将 y2=1 代入并整理得（k+ ）x2 k（s+t ）x+kst 1=0（*）由题意， （*）式对任意 x（ ， ）恒成立，所以 k+ =0，k（s+t ）=0 ，kst1=0；解得 k= ，s= ，t= ；或 k= ，s= ，t= ；所以有且只有两定
12、点（ ，0） ， （ ，0） ，使得 kQtkQs 为定值 21 解：（I）当 b=2 时，f（x）=lnx 2x（x 0） ，则因为函数 y=f（x）存在单调递减区间，所以 f（x）0 有解又因为 x0 时，则 ax2+2x10 有 x0 的解当 a0 时， y=ax2+2x1 为开口向上的抛物线，ax 2+2x10 总有 x0 的解；当 a0 时， y=ax2+2x1 为开口向下的抛物线，若 ax2+2x10 总有 x0 的解；则需=4+4a 0，且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根此时，1a0综上所述，a 的取值范围为（ 1，0） （0，+） （II） 设点 A，B 的坐标分别是（
13、x1，0） ， （x 2，0） ，0 x1x 2，则点 AB 的中点横坐标为f（ x2）f（x 1）=lnx 2lnx1 =0lnx2lnx1=f（x 0）= = 设 ，则 y= = ，t1令 r（t）= ，则因为 t1 时，r（t）0，所以 r（t ）在1 ，+）上单调递减故 r（t）r （ 1）=0而 0故 f（x 0）022 证明：（1）连接 AB，AC，AD 为 M 的直径，ABD=90，AC 为O 的直径，CEF= AGD，DFG=CFE，ECF= GDF，G 为弧 BD 中点， DAG=GDF，ECB=BAG，DAG= ECF，CEFAGD， ，AGEF=CEGD（2）由（1）知D
14、AG= GDF，G=G，DFGAGD，DG2=AGGF，由（1）知 ， 23 解：（1）对于 C：由 =4cos，得 2=4cos，进而 x2+y2=4x；对于 l：由 （t 为参数） ，得 ，即 （5 分）（2）由（1）可知 C 为圆，且圆心为（ 2，0） ，半径为 2，则弦心距 ，弦长 ，因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 （10 分）24 解：（）不等式 f（x）+a10 即为|x 2|+a1 0，当 a=1 时，解集为 x2，即（ ，2） （2，+） ；当 a1 时，解集为全体实数 R；当 a1 时，解集为（，a+1） （3 a，+） （）f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，即为|x2| |x+3|+m 对任意实数 x 恒成立，即|x 2|+|x+3|m 恒成立， （7 分）又由不等式的性质，对任意实数 x 恒有|x 2|+|x+3|（x 2）（x+3）|=5 ，于是得 m5，故 m 的取值范围是（，5）
