1、【名师解析】黑龙江省哈六中 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题【试卷综析】全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查. 在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：（每题 5 分共 60 分）【题文】1.函数 2ln(1)34xy的定义域为（ ）A (4,1) B (,) C (1,) D (1,【知识点】 函数的表示方法 B1【答案
2、解析】C 解析：解：由题意可知 所以 C20,341xx正确.【思路点拨】根据函数有意义的条件求出定义域.【题文】2已知命题 ，命题 ,则（ ）xRxplg2,:0,:2xRqA命题 是假命题 B命题 是真命题qpC命题 是真命题 D命题 是假命题)()(【知识点】 命题 A2【答案解析】C 解析：解：由题意可知命题 P 为真命题，命题 q 是假命题，所以正确选项为 C.【思路点拨】根据每一个命题的真假再分析复合命题的真假.【题文】3已知 ，则 的值为（ ）31)2sin(aa2cosA B C D319797【知识点】 三角公式 C2【答案解析】D 解析：解：因为所以正确选项为 D.217s
3、incoscsos1239【思路点拨】根据三角函数的诱导公式可求出三角值，再代入求值.【题文】4 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则ABC, cba,15,0,6bA（ ）cosA B C D63632323【知识点】 正弦定理 C8【答案解析】A 解析：解：由正弦定理可知所以正确选项为 A.36sincossini 3abBabBA【思路点拨】由正弦定理可求值，要注意边与角的对应关系.【题文】5函数 其中（ ）的图象如图所示，为了得到()si()fxAx02A ， 的图象，则只需将 的图象（ ） ()sin2gxfA向右平移 个长度单位6B向右平移 个长度单位3C向左平移 个长度单位D向左平
4、衡 个长度单位【知识点】 三角函数的图像 C7【答案解析】A 解析：解：由题意可知 个周期为 ，1472234TA=1， ，所以 ，由图像的移动可知，将 向右平移 个长3sin23fxfx6度单位可得到 的图像.所以 A 为正解选项.()ig【思路点拨】根据三角函数的图像求出各量，再按图像的移动进行求解.【题文】6若 ，则向量 与 的夹角为（ ）aba2bA B C D636532【知识点】 向量的运算 F3【答案解析】C 解析：解：根据向量的计算可知，设 由题意,AbBab可设 的补角所以1,2aba1sin26ADB1273Oyx-1为 56【思路点拨】根据向量的运算可表示出向量.【题文】
5、7等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 ( )nanS6,835Sa9aA B C D8121624【知识点】 等差数列 D2【答案解析】C 解析：解：由 1332526382aSad954816ad【思路点拨】根据等差数列的概念可求出公差.【题文】8设 为等比数列 的前 项和，已知 ,则公比nSn3423,S( ).qA B C D3456【知识点】 等比数列 D3【答案解析】B 解析：解：由题意可知 所以 B 为正确选32343Saq项.【思路点拨】根据等比数列的性质可求出公比.【题文】9在 中，若 ，则 面积的最大值为（ ABC6,7ACB）A. B. C. D.24161283【知识点
6、】 向量的运算 F3【答案解析】C 解析：解：由题意可知27,coss,65025ABcCbAABCbcbcbc221149ino2S496549bc【思路点拨】根据向量的运算，再有基本不等式进行求解.【题文】10 等于（ ）2(1cos)xdA B C D22【知识点】 积分的运算.B13【答案解析】D 解析：解：由积分的定义可知 的原函数为 所以1cosxsinx所以正确选项为 D.2 2(1cos)sinxdx 【思路点拨】可根据函数求出原函数，再利用积分的概念进行运算.【题文】11已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设()fx(,)(,0， ， ，则 的大小关系是( )4(l
7、og7)af12log3b1.62cf,abcA. B. C. D.cbaabc【知识点】 函数的性质 B3,B4【答案解析】B 解析：解：由题意可知函数在 为减函数，且0,，因为 ，所以11222log3log3lfff 1642log7l3cba【思路点拨】根据函数的单调性与奇偶性可对函数进行分析，再进行大小判断.【题文】12.已知函数 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）()xfeab()0fxaA. B. C. D.e2e2e【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值 B11【答案解析】D 解析：解：f（x）=e xa，若 a=0，则 f（x）=e xb 的最小值为 f（）=b0，得 b0，
8、此时 ab=0；若 a0，则 f（x）0，函数单调增，此时 f（）=，不可能恒有 f（x）0若 a0，则得极小值点 x=lna，由 f（lna）=aalnab0，得 ba（1lna）aba 2（1lna）=g（a）现求 g（a）的最大值：由 g（a）=2a（1lna）a=a（12lna）=0，得极大值点 a=g（ ）=所以 ab 的最大值为 ，故选：D【思路点拨】先求出函数的导数，再分别讨论 a=0，a0，a0 的情况，从而得出 ab 的最大值.二、填空题（每题 5 分共 20 分）【题文】13 内接于以 为圆心，半径为 的圆，且 ，则ABCP10543PCBA的边 的长度为 .【知识点】 向
9、量的运算 F1【答案解析】 解析：解：由题意可得图像 可知2易知 AB= 1,5PBACPDAPB2【思路点拨】作出反向量，根据勾股定理可知 ，可求 AB【题文】14.已知数列 中， ，且数列 为等差数列，则 .na732,1a1na5a【知识点】 等差数列 D2【答案解析】 解析：由题意可得75 5735311742,21ddaaa【思路点拨】根据等差数列的概念可进行运算.【题文】15在 中， ，点 在边 上， ，ABC2DBC2D， ，则 .310cosDAC25cosCABC【知识点】 解三角形 C8【答案解析】 解析：由三角函数的关系可知352coscsADBCADBDAC，设 由正弦
10、定理可知 ，所以45135x5x再由余弦定理可知,x，所以22cos 15,35ACBxACB35【思路点拨】由正余弦定理可直接求解边与角之间的关系.【题文】16给出下列四个命题： 中， 是 成立的充要条件； ABCsiniAB当 时，有 ；01x且 1l2x已知 是等差数列 的前 n 项和，若 ，则 ；nSa75S93S若函数 为 上的奇函数，则函数 的图象一定关于点 成)23(xfyR)(xfy)0,23(F中心对称其中所有正确命题的序号为 【知识点】 充要条件；不等式；等差数列；函数的性质.A2,B4,D2,E1【答案解析】 解析：由题意可知，在三角形中， 是 成立的充要ABsini条件
11、；当 时 有可能是负值，所以不一定大于等于 2；等差数列 的前01x且 lnx nan 项和，若 ，则 而75S75670Sa；若函数 为934689933a S)23(xfy上的奇函数，则函数 的图象一定关于点 成中心对称所以只有R)(xfy(,0)2F正确.【思路点拨】根据每一个问题进行分析可得到结果，对基础知识熟习是解题关键.三、解答题 【题文】17在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，ABC, ,abc52osA.3AB（1）求 的面积；（4 分）（2）若 、 的值. （6 分）ca， 求 sinB【知识点】 向量的运算；余弦定理.C8,F3【答案解析】(1)2(2) 解析：（1）
12、,25253cos()1A而 3cos,ABCAb又 ， ， -4 分(0,)4in54sin52.2Sc（2） 而 ，bc1， 2os0aA.a又 ， -sinibAB45in2si .b-6 分【思路点拨】根据向量的运算求出两边的乘积，再用正弦与余弦定理可求出三角值.【题文】18已知函数 的最大值为 （12()23sin()cos()sin24fxxxa1分）（）求常数 的值；（4 分）a（）求函数 的单调递增区间；（2 分）()fx（）若将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间6()gx()gx上的最大值和最小值 （6 分）0,2【知识点】 三角函数的化简求值运算 C
13、7【答案解析】 （I）-1(II) (III) 当 时，Zkk,12,532x， 取最大值23sinxxg3当 时， ， 取最小值-3.-23x132sinxxg解析：（1） axaf 2sinco3sini132sinax， -4 分（2）由 ，解得kxk232，所以函数的单调递增区间 -115 Zkk,12,5-2 分（3） 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，xf6xg32sin32sin6xfg5,3,20xx当 时， ， 取最大值23sinxxg13当 时， ， 取最小值-3.-6 分23x1i【思路点拨】根据已知条件对三角函数进行化简求值，求单调性，周期，最值问题，都要把
14、函数化成一个三角函数的形式再进行运算.【题文】19. 已知数列 与 ，若 且对任意正整数 满足 数列nab13an12,na的前 项和 nb2nS（1）求数列 的通项公式；（5 分）,（2）求数列 的前 项和 （7 分）1nb.nT【知识点】 数列的通项公式；数列的求和公式.D2,D3,D4【答案解析】(1) (2) 解析：解：4,(1)2nb16120520(3)nnT（1）由题意知数列 是公差为 2 的等差数列 又因为 所以 -2 分a13an当 时， ； n14bS当 时， 2221121nnn对 不成立1=4所以，数列 的通项公式 -3 分nb4,()2n1b（2） 时，1120T时，
15、n11()()323nbnn所以 16120579120520(3)n nT n 仍然适合上式1综上， -7 分1620(3)nn【思路点拨】根据题意可求出通式公式，再根据数列的特点对数列进行求和.【题文】20已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半C4cosx轴建立平面直角坐标系，设直线 的参数方程为 （ 为参数） l3521xty（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程；（4 分）Cl（2）设 曲 线 与 直 线 相 交 于 两 点 ， 以 为 一 条 边 作 曲 线 的 内 接 矩 形 ， 求 该 矩 形l,PQC的 面 积 （ 8 分 ）【知识点】 参数方程 N
16、3【答案解析】(1) (2) 解析：解：（1）对于 ：350xy237SdPC由 ，得 ，进而 2 分4cos24cos4xy对于 ：由 （ 为参数） ，得 ，即 4 分l35,21xty1(5)3yx350y（2）由（1）可知 为圆，圆心为 ，半径为 2，弦心距 ， 6C(2,0)2321d分弦长 ， 8 分23()7PQ因此以 为边的圆 的内接矩形面积 -C237SdPQ12 分【思路点拨】根据参数方程与普通方程的关系可求出结果，再利用点到直线的距离进行求值.【题文】21已知单调递增的等比数列 na满足： ,且 是 , 的等2348a32a4差中项.（）求数列 na的通项公式；（6 分）（）若 , ,求 . （6 分）12logb nnbbS321S【知识点】 等差等比数列的通项公式；数列求和.D2,D3,D4【答案解析】(I) =2n (II) 11nn 解析：（）设等比数列 na的首项为a1a，公比为 ，q依题意，有 2（ ）= + ,代入 , 得 =8,3242348a3a + =20431208aq解之得 或 123qa1又 n单调递增， =2, =2, =2n -6 分q1（） 12lognnnb, 3.2ns
