1、【名师解析】广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】第一部分选择题(共 40 分)【题文】一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1若集合 ，且 ，则集合 可能
2、是（ ）0|xAAB=A B C D 2,11,0R【知识点】交集的运算.A1【答案】 【解析】A 解析：因为 ，所以 B 是 A 的子集，所以集合 可能是1,2，B故选 A。【思路点拨】先由已知条件得到 B,再结合交集的定义即可。【题文】2下列说法正确的是（ ）A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“ 若 x21，则 x1”B命题“ x0， x2 x10” 的否定是“ x00， x x010”20C命题“若 x y，则 sin xsin y”的逆否命题为假命题D若“ ”为真命题，则 p， q 中至少有一个为真命题qp【知识点】命题真假的判断.A2【答案】 【解析】D 解析：命题“若 x21
3、，则 x1” 的否命题为 “若 ，则 x1”，故2A 错误；命题“ ”的否定是“ x0 0， x x01 0”，故 B 错误；2010x， 20 命题“若 x y，则 sin xsin y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故 C 错误；若“ ”为真命题，则 p， q 中至少有一个为真命题，故 D 正确；qp故选 D。【思路点拨】利用命题间的关系依次判断即可。【题文】3已知数列 为等差数列，公差 ， 为其前 n 项和.若 ，则na2dnS10S=（ ）1aA B C D8204【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质.D2【答案】 【解析】B 解析：因为 ，所以 ，即 ，代入 可10S1
4、0a10d2解得 =20，故选 B。1a【思路点拨】先利用 ，解出 ，再利用等差数列的通项公式可求出 。10S10a1a【题文】4将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） 【知识点】空间几何体的三视图.G2【答案】 【解析】B 解析 ：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD 1 在右侧的射影是正方形的对角线，B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线故选 B【思路点拨】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可【题文】5在 中，已知 ,则 的面积是（ AB30,4,3ACABC）
5、A B C 或 D 34883【知识点】正弦定理；三角形面积公式.C8【答案】 【解析】C 解析 ：根据正弦定理： ,即 ，解得siniAB04sin3iC或 ，则 或 ，所以 = 或 ，故选061209A312ABCS8C。【思路点拨】先利用正弦定理求出 C,再得到 A，然后利用三角形面积公式求出面积即可。【题文】6设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ 1xy)2,3( 01yaxa）A B C D2 22【知识点】导数的几何意义；两直线垂直的充要条件.B11 H2【答案】 【解析】D 解析：因为 ，所以 ，则曲线 在点1xy21yx1xy处的切线的斜率为 ，又因为切线与直线 垂直，所
6、以)2,3(32x0a，解得 ，故选 D。1aa【思路点拨】先对原函数求导，求出斜率，再结合两直线垂直的充要条件可求得 a 的值。【题文】7在 中，点 在 上，且 ，点 是 的中点，若ABC P2BPCQA， ，则 （ ）4,3P1,5QA B C D26,2,76,21【知识点】平面向量的线性运算.F1【答案】 【解析】B 解析：根据题意画出图形如下：QPCBA,即 ，解得 ，则 ，2PQCA2154,32,7PC36,21BPC故选 B。【思路点拨】先利用平行四边形法则求出向量 ，再利用 可得结果。【题文】8已知函数 )0(,1)(2xfx,把函数 的零点按从小)(f xfxg)(到大的顺
7、序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）A 2)1(naB na C )1(naD 2na 【知识点】根的存在性及根的个数判断；等差数列的通项公式B9 D2【答案】 【解析】B 解析：当 x（- ，0 时，由 g（x）=f（x）-x=2 x-1-x=0，得2x=x+1令 y=2x，y=x+1在同一个坐标系内作出两函数在区间（-，0 上的图象，由图象易知交点为（0，1） ，故得到函数的零点为 x=0当 x（0，1时，x-1（-1 ，0，f（x）=f （x-1）+1=2 x-1-1+1=2x-1，由 g（x）=f（x）-x=2 x-1-x=0，得 2x-1=x令 y=2x-1，y=x在同一个坐
8、标系内作出两函数在区间（0，1 上的图象，由图象易知交点为（1，1） ，故得到函数的零点为 x=1当 x（1，2时，x-1（0，1 ，f（x）=f（x-1）+1=2 x-1-1+1=2x-2+1，由 g（x）=f（x）-x=2 x-2+1-x=0，得 2x-2=x-1令 y=2x-2，y=x-1在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2上的图象，由图象易知交点为（2，1） ，故得到函数的零点为 x=2依此类推，当 x（2 ，3，x（3 ，4，x （n ，n+1时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1 ） ， （4 ，1） ， （n+1 ，1 ） ，得对应的零点分别为 x=3，x=4，x=n+1故
9、所有的零点从小到大依次排列为 0，1 ，2，n+1其对应的数列的通项公式为 an=n-1故选 B【思路点拨】根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解【题文】第二部分非选择题(共 110 分)【题文】二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（一）必做题（9 13 题）【题文】9已知复数 i1iab（其中 ,abR， i是虚数单位） ，则 ab的值为 【知识点】复数相等的条件.L4【答案】 【解析】2 解析： ii= ，所以 ，则 ，故答11,b2案为 2.【思路点拨】先利用复数相等的条件求出 ，再得到 ab
10、即可。,b【题文】10若 ，则常数 T 的值为_920dxT【知识点】定积分.B13【答案】 【解析】3 解析：因为 ，解得 ，故答案为 3.233001|9TTxd 3T【思路点拨】 先由题意得到 ,再解出 T 的值即可。319【题文】1 1 设 满足约束条件 ,则 的最大值是 ,xy201xy2zxy【知识点】简单线性规划E5【答案】 【解析】5 解析： 作出不等式组表示的平面区域，如图所示做直线 L：2x+y=0，然后把直线 L 向可行域平移，结合图象可知当直线 过点 A2zxy时，z 最大，由 可得 A（2，1），即当 x=2，y=1 时，z max=5xy0-=故答案为：5【思路点拨
11、】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域内直线在 y 轴上的截距最大值即可【题文】12已知 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56：3， 则2nxn【知识点】二项式系数的性质I3【答案】 【解析】10 解析：根据题意， 的展开式为2nx，3rnrr2r1n2TC(x)Cxr-+=又有其展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56：3，可得 ，42C563n=即 ，解可得 ，故答案为 10.()236n-=10n=【思路点拨】根据题意，首先写出 的展开式，进而根据其展开式中第 5 项的系2nx数与第 3 项的
12、系数比为 56：3，可得 ，化简并解可得 n 的值。42C563n=【题文】13如图，在平面直角坐标系 中，点 A 为椭圆 E ：xoy的左顶点，B、C 在椭圆上，若四边形 OABC 为平行四边形，且21(0)xyabaOAB30，则椭圆 E 的离心率等于 【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】 【解析】 解析：AO 是与 X 轴重合的，且四边形 OABC 为平行四边形，32BCOA，B、C 两点的纵坐标相等，B、C 的横坐标互为相反数，B、C 两点是关于 Y 轴对称的由题知：OA=a，四边形 OABC 为平行四边形，所以 BC=OA=a可设 代入椭圆方程解得：aay2-（ ， ） （ ， ）
13、3yb2=，设 D 为椭圆的右顶点，因为OAB=30，四边形 OABC 为平行四边形，所以COD=30对 C 点： ，解得：a=3b，根据： 得： ，3btan02=22acb+2ac9=+，故答案为： 28e,933【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和 OABC 为平行四边形，可以得出 B、C 两点是关于 Y轴对称，进而得到 BC=OA=a；设 ，从而求出|y|，然后由aaByC2-（ ， ） （ ， ）OAB=COD=30，利用 ，求得 a=3b，最后根据 得出离3btn0a=22acb=+心率【题文】 （二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题）【题文】14在极坐标系中, 曲线 与
14、 的公共点到极点的距离为cos1cs_【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式N3【答案】 【解析】 解析：由 得， ，代入 得251cos1cs1qr=-cos1，解得 或 （舍），()r-=r+52r-=所以曲线 与 的公共点到极点的距离为 ，cos1cs152+故答案为： 52+【思路点拨】联立 与 消掉 即可求得 ，即为答案cos1csqr【题文】15如图,已知圆中两条弦 与 相交于点 , 是 延长线上一点,且ABCDFEAB, ,若 与圆相切, 则线段 的长为 2DFC:24:EFA CE【知识点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明N1【答案】 【解析】 解析
15、： ，可设72 1:24:BEFAAF=4k，BF=2k，BE=k0由相交弦定理可得： ，DC=，解得 42k=12k= ,根据切割线定理可得：,1,AFBE7A，解得 故答案为 。2724CE2C72【思路点拨】利用相交弦定理和切割线定理即可得出【题文】三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】16（本小题满分 13 分）已知函数 1()sinco)s2fxxx（）用五点作图法列表，作出函数 在 上的图象简图(f,0（）若 ， ，求 的值3()265f2in)4【知识点】二倍角公式；函数 的图像及性质.C4 C5 C6 C7si(yAx【
16、答案】 【解析】 （）见解析；（） 17250解析：（） =()3sinco)sfxxx213sincosxx= = = 231sinco21i2i26（） 3()sin2()sin()cos.6625f40,.252247sin2icos,coss1.557i()(in)450【思路点拨】 （）先利用三角公式对原函数化简，然后列表再化出图像；（）先由原函数求出 ，再利用二倍角公式结合两角差的正弦公式即可。cos【题文】17 （本小题满分 14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ，51AC， 在底面 的射影是线段 的中点 4BC1ABCO（）证明：在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，
17、并求出 的长；1E1E（II）求二面角 的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定G5 G11【答案】 【解析】 （）见解析；（） 301解析：()证明连接 AO,再 中,作 于点 E,因为 ,所以AO1EA1/AB,1OEB因为 ,所以 ,所以 ,所以AC平 面 1B平 面 BCOE，又 得 .1平 面 21,5,AOA215A()如图,分别以 OA,OB, 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,1则 ,(10)A1(2,)(0,)(,02)BCA由 ,得点 E 的坐标是 ,15E45由()知平面 的一个法向量为 ()5O设平面 的法向量是 ,1ABC()nxyz
18、由 得 可取 ,10n20yz(21)所以 .3cos,OEn【思路点拨】()连接 AO，在AOA 1中，作 OEAA 1于点 E，则 E 为所求可以证出OEBB 1，BCOE 而得以证明在 RT 中，利用直角三角形射影定理得出 EO()A如图，分别以 OA，OB，OA 1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 A1B1C的法向量是 ，利用 夹角求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值(,)nxyz,OEn【题文】18 （本小题满分 14 分）袋中装着标有数学 1，2 ，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：（）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；（）随机变量 的概率分布和数学期望；【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差K4 K5 K6【答案】 【解析】 （） ；（） 321解析：() 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,一次取出的 3 个小球上有两个数字相同的事件记为 B，则事件 A 和 B 是对立事件。, 1)(308215CBP32)(1)(P
