1、【名师解析】湖北省黄冈中学 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）【题文】1. 设集合 ， ，则 ( )|12Ax|2,0xByABA B C D0,2(,3)131,4【知识
2、点】集合及其运算 A1【答案解析】C A= ,B= 则 故选 C.1x14yA,【思路点拨】先分别求出集合 A,B 再求结果。【题文】2. 若 是第三象限角，且 ，则 （ ）tan3cos. . . . 103101010【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2【答案解析】C 是第三象限角，且 所以 cos =tan3310【思路点拨】根据同角三角关系，再根据角所在象限求出余弦值。【题文】3. 函数 的值域为（ ）3()log(21)xfA. B. C. D. (0,)0,(1,)1,【知识点】函数及其表示 B1【答案解析】A 2 x+11 恒成立，函数的定义域是 R，函数 y=lo
3、g3x 在定义域上是增函数，ylog 31=0，则原函数的值域是（0，+） 故选：A【思路点拨】先判断出真数大于 1 恒成立，再由以 3 为底对数函数是增函数，求出原函数的值域【题文】4. 已知向量 与 不共线，且 ，若 三点ij ,1BimjDnij,ABD共线，则实数 满足的条件是（ ）,mn. . . . 11nmn【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算 F2【答案解析】C 由 ，且 A、B 、D 三点共线，,ABijDij所以存在非零实数 ，使 = ，即 ，所以 ，所以ABD()imjnij1nmmn=1故答案为 C【思路点拨】因为 与 共起点 A，所以要使 A、B 、D 三点共线，
4、只需存在非零实数 ，使 = 成立即可，代入整理后可得 mn 的值ABD【题文】5. 函数 的零点所在的区间是（ ）1()lgfxA B C D 0,1,22,33,10【知识点】函数与方程 B9【答案解析】C f（2）=- +lg20f（3）=- +lg30f（2）f （3）011f（x）的零点点所在的区间是（ 2，3）故选 C【思路点拨】本题考查的知识点是函数零点，要想判断函数零点所在的区间，我们可以将四个答案中的区间一一代入进行判断，看是否满足 f（a） f（b）0，【题文】6. 若数列 满足 ， ，则称数列 为na10np*,nNp为 非 零 常 数 na“梦想数列” 。已知正项数列 为
5、“梦想数列” ，且 ，则 的最nb9123b 892b小值是（ ）A2 B4 C6 D8【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】B 依题意可得 ，则数列 为等比数列。又1nbqnb，则 。 ，当且仅当912350bb 502892892504即该数列为常数列时取等号.89【思路点拨】先判断数列，再根据所给定义求结果【题文】7. 已知函数 ，则 （ ）2(1)0)xxf1()fxdA B C D38124324432【知识点】定积分与微积分基本定理 B13【答案解析】B f(x)dx= （x+1） 2dx+ dx，01210x （x+1） 2dx= （x+1） 3 = ， dx
6、 表示以原点为圆心以 1 为为半径的011012x圆的面积的四分之一，故 dx = f(x)dx= （x+1）2x4102dx+ dx210x= + = ，故选：B3412【思路点拨】先根据条件可化为 f(x)dx= （x+1） 2dx+ dx，再根据定积10210x分以及定积分的几何意义，求出即可【题文】8下列四种说法中， 命题“存在 ”的否定是“对于任意 ”；2,0xR2,xR命题“ 且 为真”是“ 或 为真”的必要不充分条件；pqpq已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于 ；()f2(,)(4)f1已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影是 .3,4a,1)bab25说法正确的个数
7、是（ ）A1 B2 C3 D4【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2【答案解析】A 命题“ 存在 xR，x 2-x0 ”的否定是“对于任意 xR，x 2-x0 ”，故不正确；命题“p 且 q 为真” ，则命题 p、q 均为真，所以“p 或 q 为真” 反之“p 或 q 为真” ，则 p、q 不见得都真，所以不一定有“p 且 q 为真”所以命题“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件，故命题不正确；由幂函数 f（ x）=x 的图象经过点（ 2， ） ，所以 2 ，所以 ，所以12幂函数为 ，所以 ，所以命题正确；12()1(4)f向量 在向量 方向上的投影是 ， 是
8、和 的夹角，故ab 5cosabab错误.【思路点拨】命题“存在 xR ，x 2-x0”的否定是“对于任意 xR ，x 2-x0” ，故不正确；命题“p 且 q 为真” ，则命题 p、q 均为真，所以“p 或 q 为真” 反之“p 或 q 为真” ，则 p、q 不见得都真，所以不一定有“p 且 q 为真”所以命题“p 且 q 为真”是“p或 q 为真”的充分不必要条件，故命题不正确；由幂函数 f（x）=x 的图象经过点（2 ， ） ，所以 2 ，所以 ，所以幂函数为 ，所以1212()，所以命题正确；向量 在向量 方向上的投影是12(4)fab， 是 和 的夹角，故错误.25cosab【题文】
9、9. 定义在 上的函数 满足： ， ， 是R()fx()1()fxf06f()fx的导函数，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为( ) ()fx 5xefeA B 0,3,UC D1,U【知识点】导数的应用 B12【答案解析】A 由题意可知不等式为 ，50xxef设所 5 10xxxxxgefgffeffx 以函数 在定义域上单调递增，又因为 ，所以 的解集为0g0g【思路点拨】根据导数的单调性解不等式。【题文】10.已知函数 是定义域为 R的偶函数. 当 时，()yfx 0x若关于 的方程 ， 有且仅有25(016()xf 2()()0fxafb,aR6 个不同实数根，则实数 的取值
10、范围是（ ）aA B59(,)24 9(,1)4C. D(,1)52【知识点】函数与方程 B9【答案解析】C 依题意 在 和 上递增，在 和 上递减，()fx,2)(0,(,0)(2,)当 时，函数取得极大值 ；当 时，取得极小值 。要使关于 x的方程2x54， 有且只有 6 个不同实数根，设 ，则()()0fafb,aR()tf必有两个根 、 ，则有两种情况符合题意：（1） ，且 ，2t t2 1542(1,)t此时 ，则 ；（2） ， ，此时同理可得12t59(,)410,t2(,)t，综上可得 的范围是 .故选 C.9(,1)4aa59(,)(,1)24【思路点拨】根据导数的单调性求出根
11、的情况极大值极小值可得跟的情况。【题文】二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中相应的横线上 ）【题文】11.在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则通项公式na114a23.na【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】 12n设 ，带入 ，解得 ，则 ， .1naq134a2q1na*N【思路点拨】根据等差数列的性质列关系式，求出通项公式。【题文】12.已知函数 的图象如右图所示，则 ()sin)(0fx(2)f【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】- 依题意知 ， ，又过点 ，则令 ，232434(1,)342得 。故
12、 .4()sin)f【思路点拨】跟据图像确定周期，根据过 得到结果。(1,【题文】13.函数 的单调增区间是 .2()1ln)fxx【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案解析】 函数的定义域为 ，又 ，(0,)(1,)2()1xf则增区间为 .【思路点拨】先求定义域，再根据导数求单调区间。【题文】14.已知 中的内角为 ，重心为 ，若ABC,ABCG， 则 .2sin3sinsi0Gcos【知识点】解三角形 C8【答案解析】 设 为 角 所 对 的 边 ， 由 正 弦 定 理 得12,abc,ABC， 则230aGAB233()aGbcCGAB即 ，又因为 不共线，则 , 3cc,AB2=0
13、ac,即 所以 ， .3=0b2,ab,c23a21cosb【思路点拨】根据正弦定理求出边，根据余弦定理求出余弦值。【题文】15.定义函数 ，其中 表示不小于 的最小整数，如 ，()fxxx.5.当 ， 时，函数 的值域为 ，记集合 中元素的个数250,n*N()fnAn为 ，则 _na12na【知识点】数列求和 D4【答案解析】 易知：当 时，因为 ，所以 ，所以 ，10,1x1x1x所以 ；11,Aa当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以2n,2x22,4；2,34当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以,33x36,9x；31,78,96Aa当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以4n,4x4x4
14、12,x；,315,10当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以5,xx50,x，51,478,96,23,4,1Aa由此类推： ，所以 ，所以 ，所以1na()na21()nn122n【思路点拨】根据所给函数求出通项，然后利用裂项求和求出结果。【题文】三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16.（本小题满分 12 分）若二次函数 满足 ，且 .2() (,)fxabcR(1)(41fxfx(0)3f（1)求 的解析式；（2)若在区间 上，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.1,()6fxm【知识点】二次函数 B5【答案解析】(1) (2) 2(
15、)3fx2(1)由 得， . .(0)3fc()3fxab又 ， ，141x221)(3)41axbx即 ， ， . .2abxabf(2) 等价于 ，即 在 上恒成立，()6fm236xm273xm1,令 ，则 ， .273gxin()(1)g【思路点拨】利用待定系数法求出解析式，利用恒成立问题求出 m 的范围。【题文】17.（本小题满分 12 分）已知递增等比数列 的前 项和为 ， ，且 .nanS1a321S（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，且 的前 项和 ，求证： .nb*2()nnNnbnT2n【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】 （1）1na（2
16、）略（1）设公比为 q，由题意：q1, 1a，则 2q，23a， ，23s)(321则 解得： 或 （舍去） ，12n)( 1（2）1nnnba113.22.nT()nn又 在 上是单调递增的12nnT, 21Tnn【思路点拨】根据等比数列的性质求出通项公式，然后用公式求和，利用单调性证明。【题文】18 （本小题满分 12 分）已知向量 ， 3(si,)4ax(cos,1)bx(1)当 时，求 的值；/b2in(2)设函数 ，已知在 中，内角 的对边分别为()fABCBC、 、，c、 、若 ， ， ，求 （ ）的取值范围.3a6si3()4cos(2)6fx0,3x【知识点】解三角形 C8【答
17、案解析】(1) (2)112Af85（2） 262cos43xf2(1)cosinx解析：（1） 3/,cosin0,ta4ab22 2218cosinit5xxxx（2） ()sin()4fab+ 3由正弦定理得 2i,sini 4AAB可 得 所 以 或 3A 因为 ab，所以46cos4xf 2sin()x12, 0,3x12,2x,所以 216cos43Axf 【思路点拨】先化简求出（1）结果，再跟据正余弦定理求出 A 根据角范围求出结果【题文】19.（本小题满分 12 分）北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下
18、的某商品进行一次评估。该商品原每件售价为 25 元，年销售8 万件（1）据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元公司拟投入 万作为技x21(60)x改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用试问：当该商5品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与a总投入之和？并求出此时商品的每件定价【知识点】函数模型及其应用 B10【答案解析】
19、(1) 40(2) 30(1)设每件定价为 t 元，依题意得 t258，(8 t 251 0.2)整理得 t265t1 0000，解得 25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意知当 x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，16 15等价于 x25 时，a x 有解150x 16 15由于 x2 10，当且仅当 ，即 x30 时等号成立，所以 a10.2.150x 16 150x 16x 150x x6当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 3
20、0 元. 【思路点拨】根据等量关系求出关系式，再根据重要不等式求出最值。【题文】20.（本小题满分 13 分）已知函数 的导数为 ，且数列 满足69()lncos()2fxx()fxna. *136naN（1）若数列 是等差数列，求 的值；（2）当 时，求数列 的前 项和 ；n1a21annS（3）若对任意 都有 成立，求 的取值范围.*,14n1【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案解析】 （1） （2）略（3）577(,).2，则 ，故69()sinfx)46f143na（1）若数列 是等差数列，则na .,)1(1ndadnann 由 得 ，解得：43n11()43d 15
21、2,a（2）由 得 两式相减，得*1.nN217n 4n故数列 是首项为 ，公差为 4 的等差数列数列 是首项为 ，公差为 42a1a2na2的等差数列，由 所以2127,5,得2,1.na为 奇 数为 偶 数当 ，n为 奇 数 时 1,3.nna212341()()()nnSa 24573175() nn当 为偶数时， nnaaS321 212341 3()()()75(41)n n （3）由（2）知， 12,3naa为 奇 数为 偶 数当 为奇数时，n 1,25.nna由22114847.naa得令 223()87(),fn解得2max1(1),4.ffa77.22aa或当 为偶数时，n113,.nn由2221146843.naa得
