1、【名师解析】广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中考试数学（文）试题【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】第一部分选择题(共 50 分)【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1.已知集合 |13Mx， ，则
2、MN（ ）|21NxA.(2,1) B. (,) C.(,) D.(,3)【知识点】交集及其运算.A1【答案】 【解析】B 解析：因为集合 |1x， ，所以|21xMN(1,)，故选 B.【思路点拨】利用交集的运算直接计算即可。【题文】2. 31i（ ） A. 2iB. 2i C.12iD. 12i【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】 【解析】B 解析：因为 3i，故选 B。4iii【思路点拨】在原式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再计算即可。【题文】3若 aR，则 0是 10a的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要、充要条
3、件的判断.A2【答案】 【解析】A 解析：由 可推出 ，当 10a时，可得 或 ，所以 0a是 10的充分不必要条件，故选 A。0a1【思路点拨】对两个命题进行双向判断即可得到结果。【题文】4等比数列 n中， 4,则 26a等于（ ） A.4 B.8 C.16 D.32【知识点】等比数列的性质.D3【答案】 【解析】C 解析：由等比数列的性质可得： 26a= ，故选 C。41【思路点拨】由等比数列的性质可得结果。【题文】5. 在 AB中， 22abc，则 A的值为（ ） A 30B 60C 30或 15 D 0或 12【知识点】余弦定理.C8【答案】 【解析】B 解析：在 B中， 22abc，
4、则 A= 60，故选 B。221cosbcaA【思路点拨】直接使用余弦定理即可。【题文】6若向量 (1,2)B， (4,5)C则 （ ） A.(5,7) B. 3 C. 3 D.(5,7)【知识点】向量的坐标运算.F2【答案】 【解析】C 解析：因为 (4,5)A，所以 ,则4AC,故选 C。1,2,3BA【思路点拨】利用向量的坐标运算公式即可。【题文】7.正三棱柱 1BCA的底面边长为 2，侧棱长为 3， D为 BC中点，则三棱锥 1AD的体积为（ ） A.3B. 32 C. D. 2【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积G7【答案】 【解析】C 解析： 正三棱柱 1ABC的底面边长为 2，侧棱长
5、为 3，D 为 BC 中点，底面 B1DC1 的面积： ，A 到底面的距离就是底面正三角23形的高： 3三棱锥 AB1DC1 的体积为： 故选：C 【思路点拨】由题意求出底面 B1DC1 的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积【题文】8已知数列 na为等差数列，其前 n项和为 nS，若 420， 623S，则该等差数列的公差 d（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【知识点】等差数列的性质D2【答案】 【解析】B 解析：由题意， ， ，1234aa0+=3456a3+=作差可得 ，即 d=2故选：B8d16=【思路点拨】由题意， ， ，作差可得结论1234a03456【题文】9
6、已知椭圆 C： xyb（ a）的左、右焦点为 1F、 2，离心率为3，过 2F的直线 l交 于 A、 B两点. 若 1AB的周长为 43，则 C的方程为（ ）A 1xy B 23xyC 28D 14【知识点】椭圆的标准方程H5【答案】 【解析】A 解析： 椭圆离心率为 3， = ，a= c，ca3又F 1AB 周长为 4 ，4a=4 ，解得 a= ，c=1，b= ，3 2椭圆 C 的标准方程为：21xy；【思路点拨】由离心率为 3得 a= c，由 F1AB 周长为 4 可求得 a 值，进而求得 b3值.【题文】10. 奇函数 ()fx的定义域为 R，若 (2)fx为偶函数，且 (1)f，则(8
7、)9f（ ） A. 2B. 1 C. 0 D. 【知识点】函数的值；函数奇偶性的性质B4【答案】 【解析】D 解析： f （x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，设 g（x）=f（x+2） ，则 g（x）=g（x） ，即 f（x+2）=f（x+2） ，f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2） ，即 f（x+4）=f（x） ，f （x+8 ） =f（x+4+4）= f（x+4）=f（ x） ，则 f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，f （8）+f（9）=0+1=1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性的性质，得到 f（x+8）=f（x） ，即可得到结论【题文】第二部分非
8、选择题 (共 100 分)【题文】二填空题：本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置【题文】11.双曲线 C的两个焦点为 (2,0)， (,)，一个顶点为 (1,0)，则 C的方程为 【知识点】双曲线的标准方程H6【答案】 【解析】 解析：双曲线 C 的两个焦点为 (2,0)， (,)，21xy一个顶点是 (1,0)，c= ，a=1，b=1，C 的方程为 21xy故答案为： 2xy【思路点拨】利用双曲线 C 的两个焦点为 (2,0)， (,)，一个顶点是 (,0)，可得c= ，a=1，进而求出 b，即可得出双曲线的方程2【题文】12.曲线 53xye在点
9、 (0,)处的切线方程为 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】 【解析】 解析： ， ，2x53xyfe（ ） 5xfe（ ）则 ，即 在点 (0,)处的切线斜率 ，05fe（ ） f k则对应的切线方程为 ，即 ，5yx （ ） 20y故答案为： 2x【思路点拨】求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程【题文】13.若实数 x， y满足2401xy，则 xy的最大值为 【知识点】简单的线性规划.E5【答案】 【解析】3 解析：画出线性约束条件满足的线性区域如下图：A设 z= xy，由 z 表示的几何意义可知：当直线经过 A(2，1)时，有最大值，最大值为 3，故答案
10、为 3.【思路点拨】先画出平面区域，再结合 z 表示的几何意义可得结果。【题文】 （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）【题文】14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点 (5,)3A、2(8,)3B，则 |AB 【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】 【解析】7 解析：AOB= ， ，32258cos493ABAB=7故答案为： 7【思路点拨】利用余弦定理即可得出【题文】15 （几何证明选讲选做题）如图， 是圆 O的直径， C是圆 O的切线，切点为 B， OC平行于弦 AD，若 3OB， 5C，则 D 【知识点】与圆有关的比例线段N1【答案】 【解析】4 解析：
11、AB 是圆 O 的直径，BC 是圆 O 的切线，OBBC在 RtOBC 中， 24BCADOC，A=BOC ， ADO= COD A= ADO，BOC=DOC又OB=OD， OC 为公共边BOCDOCCD=CB=4【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得 BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得 CD=CB即可得出【题文】16 （本小题满分 12 分）设平面向量 (cos,in)ax， 31(,)2b，函数()1fxab（1）求函数 ()fx的值域和函数的单调递增区间； （2）当 95,且 263时，求 2sin()3的值.【知识点】平面向量数量积的运算；函数 y=Asin（x+）的
12、图象变换C4 F2【答案】 【解析】 （1） （2） 2,6k45解析：依题意 .2 分31()cosinsi13fxxx（1 ） 函数 的值域是 ；.4 分f0,2令 ，解得 .7 分23kxk5266kxk所以函数 的单调增区间为 。.8 分()f2,z（2 ） 由 得 ，9sin135f4sin35因为 ，所以 ，得 .10 分263cos.12 分24sinsin2sin3335【思路点拨】 （1）根据数量积的坐标运算，求出函数 f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数 f（x）的值域和函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可【题文】17. （本小题满
13、分 12 分）在某次体检中，有 6 位同学的平均体重为 65公斤，用nx表示编号为 （ n1,2，6）的同学的体重，且前 5 位同学的体重如下：编号 1 2 3 4 5体重 nx60 66 62 60 62（1）求第 6 位同学的体重 6x及这 6 位同学体重的标准差 s；（2） 从 前 5 位 同 学 中 随 机 地 选 2 位 同 学 ， 求 恰 有 1 位 同 学 的 体 重 在 区 间 58,6中 的 概 率 【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差K2 K6【答案】 【解析】 （1） 7s;（2） 5解析：（ 1） 由 题 意 得660+5x， 故 680x 2 分6
14、位同学体重的标准差 222222(5)()()(0)(5)(6)7s 4 分所以第 6 位同学的体重 680x，这 6 位同学体重的标准差 7s 5 分（2）从前 5 位 同 学 中 随 机 地 选 2 位 同 学 的 基 本 事 件 为 (6,)， (0,2)， (,0)，(0,)， (,)， (,)， (,)， 2， ， 6， 共 10种 8 分其 中 恰 有 1 位 同 学 的 体 重 在 区 间 (58,6)中 的 基 本 事 件 有 (60,)， (,2)， (,)，(60,2)， 共 4 种 10 分所以恰 有 1 位 同 学 的 体 重 在 区 间 (,)中 的 概 率 4210
15、5P 12 分【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出 x6 和 s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率【题文】18.（本小题满分 14 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 1ABCD中，E、 F分别为 1D、 B的中点（1 ）求证： /平面 1AC；（2 ）求证： 1E；（3 ）求三棱锥 1CBFV的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G4 G7【答案】 【解析】 （1）见解析；（2）见解析；（3）1解析：（1）连结 BD，在 1中， E、 F分别为 1D， B的中点，则 EF 为中位线2 分1/EF而 面 1AC， 面 1ABC/面 B4 分（2）等腰直角三角
16、形 BCD 中，F 为 BD 中点DF5 分正方体 1ACB1面， ABCD面F7 分综合，且 111,D面BC面，而 EB面，F19 分（3）由（2）可知 1D平 面1CEB平 面即 CF 为高 ， 2CFB10 分32F， 221()62111()3D 2EBE 即 190FB 23211FBESFB12 分111BEFCBEFBEFVSC= 12314 分【思路点拨】 （1）欲证 EF 平面 ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面 ABC1D1 内一直线平行即可，连接 BD1，在DD 1B 中，E、F 分别为 D1D，DB的中点，则 EFD 1B，而 D1B平面
17、 ABC1D1，EF平面 ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出 CF平面 BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CFB 1E 即可；（ 3）由题意，可先证明出 CF平面 BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面B 1EF 的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积【题文】19. （本小题满分 14 分）设数列 na前 项和为 nS，满足 2123nSan, *N.（1）求 2的值；（2）求数列 n的通项公式.（3）证明：对一切正整数 ，有 1274naa .【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合D2 D3 D5【答案】 【解析】 （1）4（2）
18、 n（3）见解析解析：（1） a， 24a（2） n时， 31nSn322()(1)()(1)n n21 3naa()()n1n， 21数列 na是首项为 ，公差为 的等差数列1()n 2a（3）法一： 174a，2n时， 2221211111733424naannn 法二： 1742n时， 2222212111331naann ( )31717)(2424nn【思路点拨】 （1）利用已知 a1=1， 213Sn，nN *令 n=1 即可求出；（2）利用 an=SnSn1（n2）即可得到 1()()na，可化为 1na，再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2） ，通过放缩法即可证明【
19、题文】20 （本小题满分 14 分）设抛物线 C的方程为 24xy， 0,Mx为直线 l：(0)ym上任意一点，过点 M作抛物线 的两条切线 A， B，切点分别为 A,B.（1）当 M的坐标为 (,1)时，求过 ,AB三点的圆的方程，并判断直线 l与此圆的位置关系； （2）求证：直线 AB恒过定点 (0,)m；【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系H4 H8【答案】 【解析】 （1）此圆与直线 :1ly相切；（2）见解析解析：(1)当 M的坐标为 (0,)时，设过 M点的切线方程为 1ykx，代入 24y，整理得 24xk，令 ()，解得 1k，代入方程得 2x，故得 (,)2,AB， 2 分因为 M到 B的中点 0的距离为 ，
