1、1江苏省南京师范大学附属中学 2019 届高三 5 月模拟数学试题20195一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ）1已知集合 A ，B ，则 A B 1Zx， 02x答案：0，1考点：集合的运算解析：A x，A1，0，1B 2A B0，12已知复数 z(12i)(ai)，其中 i 是虚数单位若 z 的实部与虛部相等，则实数 a 的值为 答案：3考点：复数的运算解析：z(12i)(ai)a2(2 a1)i由 z 的实部与虛部相等得：a22a1，解得 a 的值为33某班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量
2、为 4 的样本，已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 答案：18考点：系统抽样方法解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的 4 个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为 5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为 1843 张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取 1 张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 答案： 1考点：古典概型解析：甲、乙两人同时各抽取 1 张奖券共有 6 种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2 种情况，所以 P 2635函数 的定义域为 2()log()fxx答案：0，1)考点：函数的定义域2解析：由题意得
3、： ，解得 0x1，所以函数的定义域为0，1) 1x6下图是一个算法流程图，则输出的 k 的值为 答案：3考点：算法初步解析：n 取值由 13631，与之对应的 k 为 0123，所以当 n 取 1 时，k 是 37若正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 2，点 P 为侧棱 AA1 上任意一点，则四棱锥PBCC1B1 的体积为 答案： 43考点：棱锥的体积解析：由于 AA1平面 BCC1B1，所以点 P 到平面 BCC1B1 的距离就是点 A1 到平面BCC1B1 的距离为 ，所以 VPBCC1B1 32348在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C： 上，且在第四象限内已10
4、yx知曲线 C 在点 P 处的切线为 ，则实数 b 的值为 yx答案：133考点：函数的切线解析： 310yx 2曲线 C 在点 P 处的切线为 2yxb 2310xP 在第四象限x2，求得 y9b922139已知函数 (0 )是定义在 R 上的奇函数，则()3sin(2)cos(2)fxx的值为 8f答案： 2考点：三角函数的图像与性质解析： ()3sin()cos(2)=sin(2)6fxxxx 是定义在 R 上的奇函数 ， Z，由 0 求得6k ，则()2sinfx()2sin()284f10如果函数 (m，n R 且 m2，n0)在区间 ，2上2(1mxx12单调递减，那么 mn 的最
5、大值为 答案：18考点：二次函数的性质解析：当 m2 时， ，要使 在区间 ，2上单调递减，则()28)1fxnx()fx12n8，此时 mn2n 无最大值，不符题意，舍去当 m2 时， 是开口向上的抛物线，对称轴为 x2()()f，要使 在区间 ，2上单调递减，则 2 ，即 0n122m ，x18所以 mnm(122m) 2m(6m) 18，当且仅当 m3 取“” ，所以26()mn 的最大值为 1811已知椭圆 与双曲线 (a0，b 0)有相同的焦点，其左、右焦点21xy21xy4分别为 F1、F 2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为 P，且 F1PF 1F2，则双曲线的离心率为 答案：
6、 +考点：圆锥曲线的定义、性质解析：由题意得：F 1PF 1F22，则 PF2 ，所以 2a2( )4 ，2则 a2 ，所以 e 1ca+12在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(0，5) ，点 B 是直线 l： 上位于第一12yx象限内的一点，已知以 AB 为直径的圆被直线 l 所截得的弦长为 ，则点 B 的坐标5为 答案：(6，3)考点：直线与圆解析：设点 B( ， )，则 AB ，求得点 A 到直线 l 的距离为 ，0x122201(5)x25又因为弦长为 ，所以 AB ，由 求得52201(5)x10，因为点 B 位于第一象限，所以 6（负值已舍去） ，故点 B204x100
7、的坐标为(6，3)13已知数列 的前 n 项和为 ， ， ，anS1a2，则满足 2019 3000 的正整数 m 的所有取22Nnnk， ， ， mS值为 答案：20，21考点：等差数列、等比数列前 n 项和解析：当 m 为奇数时， ，显然 是1122(1)()()2mmmSmS单调递增的，又 ， ， ，所以 m 取 21 符合19021930S230题意；当 m 为偶数时， ，又 ，2mS189， ，所以 m 取 20 符合题意综上所述，正整数 m20193S2305的所有取值为 20，2114已知等边三角形 ABC 的边长为 2， ，点 N、T 分别为线段 BC、CA 上的AMB动点，则
8、 取值的集合为 ABNTC答案： 6考点：平面向量的坐标运算解析：建立如图所示的平面直角坐标系则 A(0， )，B(1 ，0)，C(1，0)3由 得 M( ， )，设 N(n，0)，直线 AC 为： ，设AM2B33yxT(t， )3所以 ，NT(1,(,3)23tnttn，24BC0)5AM(1,3(,)3nn则 4NTCAN=2263tt二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 的终边与单位圆 O 交于点 A，且点 A
9、的纵坐标是 10（1）求 cos( )的值；34（2）若以 x 轴正半轴为始边的钝角 的终边与单位圆 O 交于点 B，且点 B 的横坐标6为 ，求 的值5解析：因为锐角 的终边与单位圆 O 交于点 A，且点 A 的纵坐标是 ，1010所以由任意角的三角函数的定义可知 sin .1010从而 cos .(3 分)1 sin231010(1) cos( )cos cos sin sin ( ) .(6 分)34 34 34 31010 22 1010 22 55(2) 因为钝角 的终边与单位圆 O 交于点 B，且点 B 的横坐标是 ，55所以 cos ，从而 sin .(8 分)55 1 cos2
10、 255于是 sin()sin cos cos sin ( ) .(10 分)1010 55 31010 255 22因为 为锐角， 为钝角，所以 ( ， )，(12 分 ) 2 32从而 .(14 分)3416 （本小题满分 14 分）如图，己知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AFl，M2是线段 EF 的中点（1）求证：AM平面 BDE；（2）求证：AM平面 BDF7解析：证明：(1) 设 ACBD O ，连结 OE， 四边形 ACEF 是矩形， EFAC，EFAC. O 是正方形 ABCD 对角线的交点，来源:学。科。网 O 是 AC 的中点又点 M 是 E
11、F 的中点， EM AO，EMAO. 四边形 AOEM 是平行四边形， AMOE.(4 分) OE 平面 BDE，AM 平面 BDE， AM平面 BDE.(7 分)(2) 正方形 ABCD， BDAC. 平面 ABCD平面 ACEFAC ，平面 ABCD平面 ACEF，BD 平面 ABCD， BD平面 ACEF.(9 分) AM 平面 ACEF， BDAM.(10 分) 正方形 ABCD，AD ， OA1.2由 (1)可知点 M，O 分别是 EF，AC 的中点，且四边形 ACEF 是矩形 AF1， 四边形 AOMF 是正方形，(11 分) AMOF.(12 分)又 AMBD ，且 OFBDO
12、，OF 平面 BDF，BD 平面 BDF， AM平面 BDF.(14 分)17 （本小题满分 14 分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 O 为圆心的半圆及直径 AB 围成在此区域内原有一个以 OA 为直径、C 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 COPQ，其中 P、Q 分別在半圆 O 与半圆 C 的圆弧上，且 PQ 与半圆 C 相切于点 Q己知 AB 长为 40 米，设BOP 为 2 （上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形 COPQ 的周长为 ，求 的表达式；()f()f（2）要使改建成的展示区 COPQ 的
13、面积最大，求 sin 的值8解析：解：(1) 连结 PC.由条件得 (0 ， ) 2在POC 中， OC10，OP 20，POC2，由余弦定理，得PC2OC 2OP 22OCOPcos(2)100(54cos 2)(2 分)因为 PQ 与半圆 C 相切于点 Q，所以 CQPQ ，所以 PQ2PC 2CQ 2400(1 cos 2)，所以 PQ20 cos .(4 分)2所以四边形 COPQ 的周长为 f()COOPPQQC 4020 cos ，2即 f() 4020 cos ，(0 ， )(7 分)2 2(没写定义域，扣 2 分)(2) 设四边形 COPQ 的面积为 S()，则S()S OCP
14、 S QCP 100( cos 2sin cos ) ，(0， )(10 分)2 2所以 S()100( sin 2cos 22sin 2)100(4sin 2 sin 2)，2 2(0， ) (12 分) 2令 S(t)0，得 sin .34 28列表：sin (0， )34 28 34 28( ，1)34 28S() 0 S() 增 最大值 减答：要使改建成的展示区 COPQ 的面积最大，sin 的值为 .(14 分)34 2818 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： (ab0)的左、右焦点分别为21xyF1，F 2，且点 F1，F 2 与椭圆 C 的上顶
15、点构成边长为 2 的等边三角形（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线 l 与椭圆 C 相切于点 P，且分别与直线 x 4 和直线 x1 相交于点9M、N试判断 是否为定值，并说明理由1F解析：解：(1) 依题意，2ca2，所以 c1，b ，3所以椭圆 C 的标准方程为 1.(4 分)x24 y23(2) 因为直线 l 分别与直线 x4 和直线 x1 相交，所以直线 l 一定存在斜率(6 分) 设直线 l：ykxm，由 得(4k 23)x 28kmx 4(m 23)0.y kx m，3x2 4y2 12， )由 (8km) 24(4k 23)4(m 23)0，得 4k23m 20 .(8 分)
16、把 x4 代入 ykxm，得 M(4，4km)，把 x1 代入 ykxm，得 N(1，km)，(10 分)所以 NF1| km|，MF1 ，(12 分)（ 4 1） 2 （ 4k m） 2 9 （ 4k m） 2由式，得 3m 24k 2 ，把式代入式，得 MF1 2|km|，4（ k m） 2 ，即 为定值 .(16 分)NF1MF1 |k m|2|k m| 12 NF1MF1 1219 （本小题满分 16 分）已知数列 满足 ( )，数列 的前 n 项和na1)212na b( )，且 ， 1)2nbSb（1）求数列 的通项公式；n（2）求数列 的通项公式；（3）设 ，记 是数列 的前 n
17、 项和，求正整数 m，使得对于任1nncabnTc意的 均有 NmT10解析：解：(1) a 12 2；(2 分)122 当 n2 时，a n 2 n.a1a2an 1ana1a2an 12n（ n 1）2 2（ n 1） n2 所以数列a n的通项公式为 an2 n(nN *)(4 分)(2) 由 Sn ，得 2Snn(b 1b n) ，n（ b1 bn）2所以 2Sn1 (n1)(b 1b n1 )(n2) .由，得 2bnb 1nb n(n1)b n1 ，n2，即 b1(n2)b n(n 1)b n1 0(n2) ，所以 b1(n 3)b n(n 2)b n1 0(n3) .由，得(n2
18、)b n2(n 2)b n1 (n2)b n2 0，n3，(6 分)因为 n3，所以 n20，上式同除以(n 2)，得bn2b n1 b n2 0，n3，即 bn1 b nb nb n1 b 2b 11，所以数列b n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 bnn，nN *.(8 分)(3) 因为 cn 1，(10 分)1an 1bnbn 1 12n 1n（ n 1） 1n（ n 1） n（ n 1）2n所以 c10，c 20，c 30，c 40，c 5T5T6所以对任意的 nN *，T 4T n.综上，m4.(16 分)(注：其他解法酌情给分)20 （本小题满分 16 分）设 a 为实数，
19、已知函数 ， ()xfae()lngx（1）当 a0 时，求函数 的单调区间；（2）设 b 为实数，若不等式 对任意的 a1 及任意的 x0 恒成立，2()fxb求 b 的取值范围；（3）若函数 (x0， R)有两个相异的零点，求 a 的取值范围()hxfg11解析：解：(1) 当 a0；当 x1 时，f(x)0，所以 aex2xb 对任意的 a1 及任意的 x0 恒成立由于 ex0，所以 ae xe x，所以 ex2xb 对任意的 x0 恒成立(4 分)设 (x)e x2x，x0 ，则 (x)e x2，所以函数 (x)在(0，ln 2) 上单调递减，在 (ln 2，)上单调递增，所以 (x)
20、min(ln 2)22ln 2，所以 b22ln 2.(6 分)(3) 由 h(x)axe xxln x，得 h(x)a(x1)e x1 ，其中1x （ x 1） （ axex 1）xx0. 若 a0 时，则 h(x)0，所以函数 h(x)在(0，) 上单调递增，所以函数 h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8 分) 若 a0.1a由第(2)小题知，当 x0 时， (x) e x2x22ln 20，所以 ex2x，所以 xex2x2，所以当 x0 时，函数 xex 的值域为(0，) 所以存在 x00，使得 ax0ex010，即 ax0ex01 ，且当 x0，所以函数 h(x)在(0，x 0)
21、上单调递增，在(x 0，) 上单调递减因为函数有两个零点 x1，x 2，所以 h(x)maxh(x 0)ax 0ex0 x0ln x 01x 0ln x 0 0 .设 (x)1xln x，x0，则 (x)1 0，所以函数 (x)在(0，) 上单调递1x增由于 (1)0，所以当 x1 时，(x)0 ，所以式中的 x01.又由式，得 x0ex0 .1a由第(1)小题可知，当 ae，1a即 a( ，0)(11 分)1e当 a( ，0)时，1e(i) 由于 h( ) ( 1)e，1a 1a 1a 1a 1a12设 F(t)e t tln t，te，由于 te 时，ln t2t，所以设 F(t)1 时，
22、 x 0ex0x0，且 h( )h(x0)0)与直线 cos( )1 相切，求 4a 的值解析：解：将圆 2asin 化成普通方程为 x2y 22ay ，整理得 x2(y a) 2a 2.(3分)将直线 cos( )1 化成普通方程为 xy 0.(6 分 ) 4 2因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 a，(9 分)|a 2|2解得 a2 .(10 分)213C. (选修 45：不等式选讲)求函数 y 的最大值1 x 3x 2解析：解：因为( )2( )21 x 3x 2 3 3x13 3x 2 1(33x3x2)( 1) ，(3 分)13 203所以 y .(5 分)1 x 3x 22
23、153当且仅当 ，即 x ，1 时等号成立 (8 分)3 3x13 3x 21 712 23所以 y 的最大值为 .(10 分)2153【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABC BAD 90，ADAP4， ABBC2，点 M 为 PC 的中点(1) 求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值；(2) 点 N 在线段 AD 上，且 AN，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，求45 的值解析：解：(1) 因为 PA平面 ABCD，且 AB，AD 平面
24、ABCD，所以 PAAB ， PAAD.因为BAD90，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则由 AD2AB2BC4，PA4，可得 A(0，0，0) ，B(2 ，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4 ，0) ，P(0，0，4) 因为点 M 为 PC 的中点，所以 M(1，1，2) 所以 (1 ，1，2)， (0 ，0，4)，(2 分)BM AP 所以 cos ， ，(4 分)AP BM AP BM |AP |BM | 0（ 1） 01 4246 6314所以异面直线 AP，BM 所成角的余弦值为 .(5 分)63(2)
25、因为 AN，所以 N(0， ，0)(0 4) ，则 (1，1，2)，MN (0 ，2，0)， (2，0，4)BC PB 设平面 PBC 的法向量为 m(x，y，z) ，则 即mBC 0，mPD 0， ) 2y 0，2x 4z 0.)令 x2，解得 y0，z1，所以 m(2 ，0，1)是平面 PBC 的一个法向量(7 分)因为直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，45所以|cos ，m| ，解得 10，4 ，MN |MN m|MN |m| | 2 2|5 （ 1） 25 45所以 的值为 1.(10 分)23. 在平面直角坐标系 xOy 中，有一个微型智能机器人(大小不计) 只能沿着坐
26、标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进 1 个单位长度，例如：该机器人在点(1，0) 处时，下一步可行进到(2，0)、(0 ，0) 、(1，1)、(1 ，1)这四个点中的任一位置记该机器人从坐标原点 O 出发、行进 n 步后落在 y 轴上的不同走法的种数为 L(n)(1) 求 L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求 L(n)的表达式解析：解：(1) L(1) 2，(1 分)L(2)6 ，(2 分)L(3)20.(3 分)(2) 设 m 为沿 x 轴正方向走的步数(每一步长度为 1 )，则反方向也需要走 m 步才能回到 y 轴上，所以 m0，1，2 ， (其中 为不超过 的最大整数)，n2 n2 n2总共走 n 步，首先任选 m 步沿 x 轴正方向走，再在剩下的 nm 步中选 m 步沿 x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下) ，即 C C 2n2m ，mn mn m15
