1、河北省唐山市 2015 届高三 9 月模拟考试数学（理）试题（WORD 版）说明：1本试卷分为第卷和第卷，第卷为选择题，第卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、已知集合 Mx |x1，Nx|2x 20，则 MN( )A.1， ) B.1， 2C
2、. 2，) D.(， 1，)2、复数 z 3i，则( )A.|z|2 B.z 的实部为 1C.z 的虚部为 i D.z 的共轭复数为 1i3、函数 f(x) x是( )A.偶函数，在(0，) 是增函数 B.奇函数，在(0 ，)是增函数C.偶函数，在(0，)是减函数 D.奇函数，在 (0，)是减函数4、抛物线 y2ax 2(a0)的焦点是 ( )A.( ，0) B.( 2a，0)或( ，0)C.(0， 18a) D.(0， 18)或(0 ， 18a)5、已知 sin(4x，则 sin2x 的值为( )A. 78B. 916C. 156D. 1566、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相
3、留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A. 13B. 23C. 2D.7、设向量 a，b 满足|a| |b| |ab|1，则|atb |(tR)的最小值为 ( )A. 2B. 2C.1 D.28、已知 a0，x，y 王 满足约束条件13()xya，且 z2xy 的最小值为 1，则 a( )A.1 B.2 C. 4D. 29、执行如图所示的程序框图，则输出的 a( )A.5 B. 54C. 1D. 4510、将函数 f(x)sinx (其中 0)的图象向右平移 2个单位长度，所得图象关于 6x对称，则 的最小值是( )A.6 B. 23C. 94D. 3411、已知 a0，且 a1，则函数
4、 f(x)a x( x1) 22a 的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( )A.5 B.12 C.20 D.8第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、 8(2)xy的展开式中 62xy的系数是_.14、实数 x，y 满足 x2y2，则 3x9 y 的最小值是_.15、已知双曲线 C：21xyab(a0，b0)的一条渐近线与直线 l： 30xy垂直，C 的一个焦点到l 的距离为 1，则 C 的方程为_.16、在ABC 中， 2AB，点 D 在边 BC 上， 2BDC， 1cos0A
5、， 25cos，则 ACBC_.三、解答题：本大题共 70 分，其中(17)(21)题为必考题，(22)，(23) ，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nkn(n1)n( kR)，公差 d 为 2.(1)求 an 与 k；(2)若数列b n满足 12b， 12nan(n2)，求 bn. 18(本小题满分 12 分)某大学外语系有 5 名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务 )。(1)求 5 名大学生中恰有 2 名
6、被分配到体操项目的概率；(2)设 X， Y 分别表示 5 名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列和数学期望 E().19(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点.(1)求证：A 1B平面 ADC1；(2)若 ABAC，ABAC1，AA 12，求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.20(本小题满分 12 分)椭圆 C：21xyab(ab0)的离心率为 35，P( m，0) 为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点斜率为 45的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m0 时， 412AB(1)求 C
7、的方程；(2)证明： 22|P为定值.21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2e xax2(aR)(1)讨论函数的单调性；(2)若 f(x)0 恒成立，证明： x1x 2 时， 121()()xfxfe请考生在第(22)，(23) ，(24) 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B，C，T，且与 AT 相切，交 AB 的延长线于点 D.(1)求证：AT 2BTAD；(2)E、F 是 BC 的三等分点，且 DEDF，求A.
8、23(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C： 2sincosa(a0)，过点 P(2，4)的直线 l 的参数方程为24xty(t 为参数)，l 与 C分别交于 M，N.(1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN|，| PN|成等比数列，求 a 的值.24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设函数 (|fxxm(m0)(1)证明：f(x)4 ；(2)若 f（ 2） 5，求 m 的取值范围。唐山市 20142015 学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案所以 b
9、n n4n . 11 分2(1 4n)9 23 2(3n 1)4n 19明显，n1 时，也成立综上所述，b n 12 分2(3n 1)4n 19（18）（本小题满分 12 分）解： （）设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为 Ai，（i0，1，2，3，4，5），则 P(A2) 4 分CC25 516（） 的所有可能取值是 1，3，5P(1)P( A2 A3)P(A 2)P(A 3) ；CC25 CC25 58P(3)P( A1 A4)P (A 1)P(A 4) ；CC25 CC25 516P(5)P( A1 A4) P(A 0)P(A 5) CC25 C25 116则随机变量 的
10、分布列为 1 3 5P58 516 11610 分则 的数学期望 E()1 3 5 58 516 116 158 12 分（19）（本小题满分 12 分）解：（）连接 A1C，交 AC1 于点 E，则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点连接 DE，则 DEA 1BA1B1C1ABCDExyz因为 DE平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1 4 分（）建立如图所示空间直角坐标系 Axyz则 A(0，0，0) ， B(1，0，0)， C(0，1，0) ，C1(0，1，2) D( ，0) ， 1212( ，0) ， (0，1，2)6 分AD 1212 AC1 设平面 ADC1 的法向量 m(x
11、，y ，z )，则不妨取 m(2，2， 1) 9 分12x 12y 0，y 2z 0，)易得平面 ABA1 的一个法向量 n (0，1，0) 10 分AC cos ，mn|m|n| 23平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值是 12 分53（20） （本小题满分 12 分）解：（）因为离心率为 ，所以 35 ba 45当 m0 时，l 的方程为 y x，45代入 并整理得 x2 2 分x2a2 y2b2 1 a22设 A(x0，y 0)，则 B(x 0，y 0)， x y x PA PB 02 02 412502 4125 a22又因为 ，所以 a225，b 216，PA PB 41
12、2椭圆 C 的方程为 5 分x225 y216 1（）l 的方程为 x ym，代入 并整理得 25y220my 8(m 225) 054 x225 y216 1设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|PA| 2(x 1m) 2y y ，同理|PB| 2 y 8 分12411612 41162则|PA| 2|PB| 2 ( y y ) (y1y 2)22y 1y24116 12 2 4116 ( )2 414116 4m5 16(m2 25)25所以，|PA| 2|PB |2 是定值 12 分（21）（本小题满分 12 分）解：（）f (x)2e xa若 a0，则 f(x)0，f (x
13、)在( ，)上单调递增；若 a0，则当 x ( ，ln )时，f (x)0，f (x)单调递减；a2当 x (ln ， )时，f (x)0，f (x)单调递增 4 分a2（）证明：由（）知若 a0，f (x)在(，) 上单调递增，又 f(0)0，故 f(x)0 不恒成立若 a0，则由 f(x)0f (0)知 0 应为极小值点，即 ln 0，a2所以 a2，且 ex1x，当且仅当 x0 时，取“” 7 分当 x1x 2 时，f (x2)f (x1)2(e x2e x1)2(x 2x 1)2e x1(ex2 x11)2 (x 2x 1)2e x1(x2x 1)2(x 2x 1)2(e x11) (
14、 x2x 1)，所以 2(e x11) 12 分f(x2) f(x1)x2 x1注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲解：（）证明：因为ATCB ，ATBTCB，所以AATB，所以 ABBT.又 AT 2AB AD，所以 AT 2BTAD 4 分（）取 BC 中点 M，连接 DM，TM由（）知 TCTB，所以 TMBC因为 DEDF ，M 为 EF 的中点，所以 DMBC所以 O，D，T 三点共线，DT 为O 的直径所以ABTDBT90 .所以AATB45. 10 分（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（
15、）曲线 C 的直角坐标方程为 y22ax（a0）；直线 l 的普通方程为 xy20 4 分（）将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得t22(4 a) t8(4a) 0 （*）28a(4 a)0设点 M，N 分别对应参数 t1， t2，恰为上述方程的根则|PM|t 1|， |PN|t 2|， |MN|t 1t 2|由题设得(t 1t 2)2|t 1t2|，即(t 1t 2)24t 1t2|t 1t2|由（*）得 t1t 22(4a) ， t1t28(4 a)0，则有2(4a) 25(4 a)0，得 a1，或 a4因为 a0，所以 a1 10 分（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲MFEDABTC解：（）由 m0，有 f(x) |x |xm |4m | (x )xm | m4，4m 4m当且仅当 m，即 m2 时取“”所以 f(x)4 4 分4m（）f (2) |2 | |2m |4m当 2，即 m2 时，f (2) m 4，由 f(2)5，得 m 4m 4m 1 172当 2，即 0m2 时，f (2) m，由 f(2)5，0 m14m 4m综上，m 的取值范围是(0，1) ( ， ) 10 分1 172
