1、2015 届普通高等学校招生全国统一考试湖北省黄梅一中新高三起点测试高三数学（理科）本试卷分为第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150 分.考试时间 120 分钟 祝考试顺利 注意事项：1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效3.填 空 题 和 解 答 题 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 答 在 答 题 卡 上 每 题 对 应 的 答 题 区 域 内 . 答 在 试 题 卷上 无 效 第卷（选择题 共 50 分
2、）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 方程 的一个根是（ A ）250xA. B. C. D.1i 12i2i2i2. 若集合 |2M， |Nxy，则 NM=（ D ）A N B C D |01x3.若函数 在 上是增函数，则2()4sini()cos2()4fx ,23的取值范围是 CA B C D(0,13(,1,)3,)44下列结论正确的是 CA若向量 ，则存在唯一的实数 使得 ；/ababB已知向量 为非零向量，则 “ 的夹角为钝角”的充要条件是 “ ”；, , 0abC “若 ，则 ”的否命题为31co
3、s2“若 ，则 ”；D若命题 ，则2:,10pxR2:,x5、已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面 ，使得 平分该几何体的体积，则可以作此种平面 （ ）A、恰好 1 个B、恰好 2 个C、至多 3 个D、至少 4 个6设 满足约束条件 若目标函数 的最大值是,xy60,2,xy(0,)zaxby12，则 的最小值为 294ab（ B ）A B C D132512127将 1234 四个数字随机填入右方 的方格中每个方格中恰填一数字但数字可重复使用 试问事件 方格的数字A大于 B方格的数字且 方格的数字大于 方格的数字的机率CD为（ B ） 。A B C D 16964
4、256492568.如题(10)图所示，点列 满足：nA， ，1|O11|2|iO均在坐标轴上 ，则向量iA*()ND122014AA B04(,)20162015(,)C D2120143(),5 3,9. 是双曲线 左准线上一点， 分别是其左、右焦点， 与双曲线右支交p2916xy12F、 2PF于点Q，且 ，则 的值为（D ）23PF1|QA. B. 4 C. D. 165 102517210设 为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述f0x1 fx11f3 2013关于 的极小值 试问下列（ C ）选项是正确的fA B C D 不存在 0120110第 II 卷（
5、非选择题，共 100 分）二、填空题(本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)(一)必考题(11 14 题):11甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻 ,则不同的排法种数为 36 12. 已知不等式 ，对满足 的一切实数 都成立，则实|1|2axyz221xyzxyz、 、数 的取值范围为 .a，4,13如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数 ，mn,满足 ，那么输出的 等于 。mnPmnA14.设集合 123421|.|,nMSiii为 的一个排列 ，记集合 中的12,.ni,.M元素个数为 ，例如 ；nCard11,Card，则（1 ） _
6、2,423_；（2） _n（1） ,（2）3,579（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑如果全选，则按第 15 题做答结果计分 ）15 （选修 4-1：几何证明选讲）如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为 O 上一点， ，DE 交 AB 于点AE AC F若 AB4，BP3，则 PF 16 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 ( cossin)a0 与曲线 Error!（ 为参数）有两个不同
7、的交点，则实数 a 的2取值范围为 15 160， )215 12三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）在锐角ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c已知 sin(AB) cosC（）若 a3 ，b ，求 c；2 10（）求 的取值范围acosC ccosAb解：（）由 sin(AB)cosC ，得 sin(AB)sin( C )2ABC 是锐角三角形，AB C ，即 ABC ， 2 2又 ABC， 由，得 B 4由余弦定理 b2c 2a 22 cacosB，得( )2c 2(3 )22 c3 cos ，1
8、0 2 24即 c26c8 0，解得 c2 ，或 c4当 c2 时，b 2c 2a 2( )22 2(3 )240 ，10 2b 2c 2a 2，此时 A 为钝角，与已知矛盾， c 2 故 c46 分（）由（） ，知 B ，AC ，即 C A4 34 34 sin(2A )acosC ccosAb sinAcosC cosAsinCsinB 2 34ABC 是锐角三角形， A ， 2A ，4 2 4 34 4 sin(2A ) ，1 134 acosC ccosAb故 的取值范围为( 1，1) 12 分acosC ccosAb18.（本小题满分 12 分）在数列 na中， ，并且对于任意 nN
9、 *，都有121nna（1）证明数列 1na为等差数列，并求 na的通项公式；（2）设数列 1的前 n 项和为 T，求使得 的最小正整数 n.201318.解：(1) 1a，因为 12na，所以 na， 数列 n是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 2an，从而 6 分来源:学.科.网na(2) 因为 121)2(1 n 所以 132nnaaT 125n12n， 由， 得， 最小正整数 n为 77.031n2T3019(本小题满分 12 分)如题(20)图，四边形 ABCD、BCFE、CDGF 都是边长为 1 的正方形，M 为棱 AE 上任意一点(I)若 M 为 AE 的中点，求证：AE面
10、MBC；(II)若 M 不为 AE 的中点，设二面角 BMCA的大小为 ，直线 BE 与平面 BMC 所成的角为 ，求 的值。 sin()4co20. （本题满分 12 分）中国蓝球职业联赛（CBA）的总决赛采用七局四胜制，当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入 万元，以后每场比赛票3a房收入比上一场增加 万元，当两队决出胜负后，求：a（1 ）组织者至少可以获得多少票房收入？（2 ）决出胜负所需比赛场次的均值.20. 解析:（1）设 n 为比赛的场数， 为第 n 场比赛的票房收入，a则 （2 分）253,naaS， 组织者至少可以获得票房收入是： 万
11、元44518Sa（2 ） （理）当 表示决出胜负的比赛场数，则 的取值为 4，5 ，6， 7， （5 分）（6 分） （7 分）142()(8PC 1324()()PC（8 分）13625()()（9 分）76P的概率分布列为：4 5 6 7181451516， （11 分）15467.812581E所以决出胜负的比赛场次的均值为 6 场. （ 12 分）21 （本题满分 13 分）如图，已知抛物线 的焦点在抛物线21:Cxpy上，点 是抛物线 上的动点221:CyxP1（）求抛物线 的方程及其准线方程；1（）过点 作抛物线 的两条切线， 、 分别为两个2CMN切点，设点 到直线 的距离为 ，
12、求 的最小值PMNd20 解：（ ） 的焦点为 ，1)2,0(pF2 分所以 ， 0p4 分故 的方程为 ，其准线方程为 1Cyx2 1y6 分（）设 ， ， ， ),2(tP)12,(xM)2,(xN则 的方程： ，1y所以 ，即 212xt 04212tx同理， ： ， 8 分PN2y2t的方程： ，M)(1()1( 121xxx即 )(2)1(2y由 ，得 ， 10 分0421txtx421212ttx所以直线 的方程为 12 分MNttyOxyPMN1C2（第 20 题）OxyPMN1C2（第 20 题）于是 2241)(41| tttd令 ，则 （当 时取等号） )(2sts 369
13、sds所以， 的最小值为 13 分d322 （本小题满分 14 分）设函数 .()ln(1),ln(1)xfagxbx（1）若函数 在 处有极值，求函数 的最大值；()fx0f（2）是否存在实数 ，使得关于 的不等式 在 上恒成立？若存在，bx()0x,求出 的取值范围；若不存在，说明理由；证明：不等式 .211ln,2nk22 （本小题满分 14 分）（1）由已知得： ，且函数 在 处有极值2()afxx ()fx0 ，即 21(0)0f1()ln(1),fx 22()1xfx当 时， ， 单调递增；,0()0f()f当 时， ， 单调递减；xx函数 的最大值为 ()f()f（2）由已知得：
14、 1gxb(i)若 ，则 时，1b0,()0x 在 上为减函数，()ln)gxbx, 在 上恒成立；()g,(ii)若 ，则 时，0b,x10xb 在 上为增函数，()ln1)gb0 ，不能使 在 上恒成立；()ln1)(0)gxbxg()0gx,(iii)若 ，则 时， ，01b 1b当 时， ， 在 上为增函数，,1xb()0gx()ln)gxx0,1此时 ，()lng不能使 在 上恒成立；0x,综上所述， 的取值范围是 b1,x由以上得： ln()(0)1取 得：xn令 ，21lkn则 ， .x 122211l 0n nx n因此 .11n又 ，12lllnlk kk 故112 221 1l lnnnkkk nx k 11221nnnkkk证法二：首先证明 l11nknk的图像与xy1 满 足所 围 成 的 面 积 Sxy,01.小于以 为高，以 1 为长的矩形面积之和.32n，2.大于以 为高，以 1 为长的矩形面积之和,FE DCBAn-i nyxO则 即1.211.32 ndxn 1lnkkn故 nk1ll.21ln nkkknnnkn l2112l 11 时不等式显然成立1n故 2ln,k
