1、广东省汕头市金山中学 2015 届高三第一学期期中考试数学（理）理科数学 试题卷本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟.第卷 （选择题 共 40 分）一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 ， ，则 =（ ）021|xM21|xNMNA B C D),(), ),(2,12已知 角的终边均在第一象限，则“ ”是“ ”的（ ）siniA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数周期为 ，其图像的一条对称轴是 ，则此函数的解析式可以是（
2、 ）3xA B C Dsin26yxsin26ysin23yxsin26xy4设 a、 b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 0|ab成立的是（ ）A 2 B /ab C13 D ab5方程 的根存在的大致区间是（ ）ln10,xxA B C D0, 22,e3,46已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）,ab451a10bbA B C D222327已知函数 ，若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范,fxgxkfxgk围是（ ）A B C D10,21,21,22,8设向量 ),(1a， ),(1b，定义一种向量积： ),(),(),( 212121 babab已知向量 42m
3、， 06n，点 P 在 cosyx的图象上运动，点 Q 在 yfx的图象上运动，且满足OPQ（其中 O 为坐标原点） ，则 ()f在区间 3,6上的最大值是（ ）A2 B 2 C 2 D 4第卷 （非选择题 共 110 分）二、填空题：(本大题共小题，作答小题，每小题 5 分，共 30 分.)（一）必做题（913 题）9函数 的定义域为 。21()logfx10图中阴影部分的面积等于 11已知函数 在 是单调函数，则实数 的取值范围是 。314,log,axfxRa12如图，在矩形 中， 点 为 的中点，点 在边ABCD2BC， ， EBF上，若 ，则 的值是 CD2FEFA13已知函数 ,在
4、区间 内任取两个实数 ,且 ,2ln1fxax0,1pq若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 。1pqa（二）选做题（14、15 题，只能从中选做一题，两题都选只计算 14 题得分）14 （几何证明选讲选做题）如图，PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PO 交圆 O 于 B,C 两点，则 = 。3,1PABPA15 （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的极坐标为，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，则42,12xcosyin点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为 。三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80
5、 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16 （本小题满分 12 分）某同学用“五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入的)2,0()sin()( xAxf部分数据如下表： 132x373xx0 2)sin(A0 0 0第 12 题图第 14 题图第 10 题图（1）请写出上表的 、 、 ，并直接写出函数的解析式；1x23（2）将 的图象沿 轴向右平移 个单位得到函数()f的图象， 、 分别为函数 图象的最高点和最)gxPQ()gx低点（如图） ，求 的大小.O17 （本小题满分 12 分）设函数 .cos2)34cos()( xxf（1）求 的最大值，并写出使 取最大值时
6、 的集合；)(fx（2）已知 中，角 的对边分别为 若 ，求 的最小值。ABC, .,cba3(),2fBCbca18 （本小题满分 14 分）已知函数 2()(0)fxa， (lngx， ()fx图象与 轴异于原点的交点 处的切线为 1l，M(1g与 轴的交点 处的切线为 2，并且 1与 2l平行。N（1）求 f的值；（2）已知实数 ，求 的取值范围及函数 的最值。2tl,uxeyfut19 （本小题满分 14 分）已知数列 的前 项和为 ，且 。nanS24,nN（1）求数列 的通项公式；（2）数列 中，令 ， ，求 ；nb1,52nanT1232nbbT（3）设各项均不为零的数列 中，所
7、有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数。c01icinc令 （ 为正整数） ，求数列 的变号数nnac1n20 （本小题满分 14 分）如图，已知抛物线 的准线为 ，焦点为 ，圆2:0CypxlFM的圆心在 轴的正半轴上，圆 与 轴相切，过原点 作倾斜角xMyO为第 16 题图的直线 ，交直线 于点 ，交圆 于不同的两点 ，且 。3nlAM,OB2A（1）求圆 和抛物线 的方程；MC（2）若 为抛物线 上的动点，求 的最小值；PPF（3）过直线 上的动点 向圆 作切线，切点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点，并求该定点lQ,STST的坐标21 （本小题满分 14 分）已知函数 ， ，
8、是常数)ln()(2xaxf0Ra（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；y1 ,f（2）若函数 图象上的点都在第一象限，试求常数 的取值范围；)(f a（3）证明： ，存在 ，使 Ra) ,(e()1fef汕头市金山中学 2014-2015 学年度第一学期高三期中考试理科数学 参考答案一、选择题（40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D A C B D B D二、填空题（30 分）（一）必做题（913 题）9 ； 10 ； 11 ； 12 ； 132,1)31,7215,（二）选做题（14、15 题，只能从中选做一题，两题都选只计算 14 题得分）14 ； 1530 52三
9、、解答题（80 分）第 20 题图16 （本小题满分 12 分）解：（1） ， ， 3 分321x4310x6 分()sin()f所 以（2）将 的图像沿 轴向右平移 个单位得到函数7 分xx23()3sin2gxx因为 、 分别为该图像的最高点和最低点，所以 8 分PQ1,)PQ所以 9 分,4,O10 分1211 分23cosP所以 12 分6法 2： 60,30=ooooPOxQOx可 以 得 所 以法 3：利用数量积公式 ， 。(2,)(,3)cs 2419P =30o所 以17 （本小题满分 12 分）解：（1） )2cos1()34sin234cos2(cos2)34cos()(
10、xxxxf 3 分1)(12incs2x的最大值为 4 分)(f要使 取最大值， x )(23,1)2cos( Zkxx故 的集合为 6 分Zk,6注：未写“ ”扣 1 分；结果未写成集合形式扣 1 分.如果两者都不符合也扣 1 分.k（2）由题意， ，即23)(2cos)( CBf 2)3cos(A化简得 8 分3cosA， ，只有 ， 9 分0Q， )35,(3A.在 中，由余弦定理， 10 分BC bcbca)(os222 由 知 ，即 ，11 分2cb1)(2cb当 时， 取最小值 12 分1.注：不讨论角的范围扣 1 分.18 （本小题满分 14 分）解：（1） ()yfx图象与 轴
11、异于原点的交点 (,0)Ma， (2fxa 1 分(ln1g图象与 x轴的交点 2N， 1g3 分由题意可得 12llk， 即 4 分1a， 5 分a (),fx， 2()f 6 分（2） lnu，当 ,xe时， ln10ux， 7 分 在 1,单调递增， 0,e 8 分22()ytt图象的对称轴 2t，抛物线开口向上 10 分由 t有 u，即函数在 上单调递增 11 分,e2min0|t12 分13 分2ax1yet综上：当 t时， ； 14 分2minyt22m1axyett19 （本小题满分 14 分）解：（1） ， 1 分24nS1S又当 时， 3 分5na所以 4 分1,n（2） ，
12、 ，5 分,52nbanb6 分231+T， 9 分4 1(-1)2nn 1()2nnT（3）解法一：由题设 10 分,52,cn 时， ，n0328341 nn 时，数列 递增12 分3c ，由 ，可知 ，即 时，有且只有 个变号数；04a502n54a31又 ，即 ，此处变号数有 个13 分3,5,21c 0,321cc 2综上，数列 共有 个变号数，即变号数为 。14 分nc33解法二：由题设 10 分2,541,n时，令 ；又2n 42927530790 nncn 或或， 时也有 13 分5,31c21c综上得：数列 共有 个变号数，即变号数为 。 14 分n320 （本小题满分 14
13、 分）21 （本小题满分 14 分）解：（1） 1 分)1(2)(/ xaxf， 2 分f)(/函数 的图象在点 处的切线为 ，fy,f )1(2)1(xay即 4 分)1(x（2） 时， ，因为 ，所以点 在第一象限，依题意，0a2f0x ,x5 分0)ln()(2xf 时，由对数函数性质知， 时， ， ，从而“ ，0a)1 ,0(x)0 ,(lnx)0 ,(lnxa0x”不成立 6 分)ln()(2xxf 时，由 得 ，设 ，)ln(2af )l1(2xa)ln1()2xgxxgl1)(3/，从而1)ln1(2xa， 01a8 分综上所述，常数 的取值范围 9 分a01a（3）直接计算知
14、10 分1)(eef设函数 11 分)(21)(/ eaxxfxfg，)(1)( eae )1(12eag当 或 时， ，2)a2 2)()()(1eaa0因为 的图象是一条连续不断的曲线，所以存在 ，使 ，即 ，使(xgy ,1(g) ,(e；12 分1)/eff当 时， 、 ，而且 、 之中至少一个为正，由均值不等式知，22)(a)1(g0e)1(ge，等号当且仅当 时成立，所以 有最小值)(exg ,2ax)(xg，且1)()(2122eaam，0)3(1)(2 eee此时存在 （ 或 ） ，使 。 13 分 ,)2 ,(a) ,(g综上所述， ，存在 ，使 14 分Ra ,1e1)(/eff)1 ,0( ) ,1(/g 0) 极小值
