1、安徽省铜陵市第五中学 2015 届高三上学期第二次月考数学（理）试题1、选择题(每小题 5 分，共 50 分）1.已知 ,aiR为纯虚数，则 a的值为( )A1 B1 C 2D 22. 32()fxa,若 ()4f,则 的值等于( ) A 9B 36C 31D 3103 1(2)0xed等于( )A1 B 1eC eD 1e4.设函数 ()fx在 R上可导,其导函数 ()fx,且函数 ()fx在 2处取得极小值,则函数y的图象可能是 ( ) 53 位老师和 3 位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总 数为 ( )A720 B144C 36 D126工人月工资（元）依劳动生产率
2、（千元）变化的回归方程为 xy906，下列判断正确的是（ ）A劳动生产率为 1000 元时，工资为 150 元 B劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150 元C劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 90 元 D劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元7.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 的是( )C74C86C1510AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP( X4)8.若 )sincofxx，则 ()f等于( )A B s C sinco D 2sin9.在吸烟与患肺
3、病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）A.若 K2的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸 烟的人中必有 99 人患有肺病;B.从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他 有 99%的可能患有肺病; C.若从统计量中求出有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5% 的可能性使得推判 出现错误;D.以上三种说法都不正确.10.设某批产品合格率为 ，不合格率为 ，现对该产品进行测试，设第 次首次测到正品，则 34 14P( 3)等于( )AC 32( )2( ) BC 32( )2( )1
4、4 34 34 14C( )2( ) D( )2( )14 34 34 14二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有 1 人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有_种12.函数 1ln()xf在（1，1）处的切线方程是_.13.设离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 13 16 12则 P (1X3)_.14已知连续型随机变量 x 的分布函数为： 21 ax0 )(xf其 他则 )23(xP_15.若(xa) 8a 0a 1xa 2x2a 8x8，且 a556 ，则 a0a 1a 2a 8
5、_.三、解答题（共 75 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（12 分）某机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机测量了 20 人，得到如下数据身高（厘米） 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166脚长（码） 48 38 40 43 44 37 40 39 46 39身高（厘米） 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170脚长（码） 43 41 40 43 40 44 38 42 39 41（1）若“身高大于 175 厘米”的为“高个” ， “身高小于等于 175 厘米”的为“非高个” ；“
6、脚长大于42 码”的为“大脚” ， “脚长小于等于 42 码”的为“非大脚” ，请根据上表数据完成下面的 22 列联表。（2）根据（1）中的 22 列联表，若按 99%可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系。17.(12 分）男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有 1 名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员18.（12 分）已知 n(nN )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 101.(x 2x2)(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 x 的项；32(3)求展开式中系数最大的
7、项和二项式系数最大的项19. （12 分）(2011皖南八校联考) 某电视台为了宣传安徽沿江城市经济崛起的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动对 1848 岁的人群随机抽取 n 人回答问题“沿江城市带包括哪几个城市” ，统计数据结果如下表：组数 分组 回答正确的人数 占本组的频率第 1 组 18,28) 240 x高个 非高个 合计大脚非大脚 来源: 12合计 20第 2 组 28,38) 300 0.6第 3 组 38,48 a 0.4(1)分别求出 n，a，x 的值；(2)若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率，规定年龄在38,48 内回答正确的得奖金200 元，年龄在18,
8、28)内回答正确的得奖金 100 元主持人随机请一家庭的两个成员 (父亲 46 岁，孩子 21岁)回答问题，求该家庭获得奖金 的分布列及数学期望(两个回答问题正确与否相互独立)20、 (13 分) 已知数列 na的前 项和 2nnSa，(1) 计算数列的前 4 项；(2) 猜想 n并运用数学归纳法证明21. (13 分) 已知函数 xaxfln1)(, R.()若 1a,求曲线 y在点 )(f处的切线方程;()若对任意的 ,ex,都有 2xe恒成立,求实数 a的取值范围.(注: e为自然对数的底数.)理科数学参考答案（2）假设 H成立：脚的大小与身高之间没有关系K2的观测值 20(51)8.0
9、6473k 2(6.35)0.1Pk，又 8.8026.635 我们有 99%把握认为脚的大小与身高之间有关系17. （本题 12 分）(1)解法一 (直接法)“至少 1 名女运动员”包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男由分类加法计数原理可得有C C C C C C C C 246 种选法14 46 24 36 34 26 4 16解法二 (间接法)“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” 从 10 人中任选 5 人，有 C 种选法，其中全是男运动员的选法有 C 种510 56所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 C C 246 种选法51
10、0 56(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有 C 种选法不选女队长时，必选男队 49长，共有 C 种选法其中不含女运动员的选法有 C 种，所以不选女队长时共 48 45有 C C 种选法48 45所以既有队长又有女运动员的选法共有 C C C 191 种选法49 48 4518 （本题 12 分） 由题意知，第五项系数为 C (2) 4，4n第三项的系数为 C (2) 2， 2n则有 ，C4n 24C2n 22 101化简得 n25n240，解得 n8 或 n3(舍去)(1)令 x1 得各项系数的和为(12) 81.(2)通项公式 Tk1 C ( )8k kC (2) kx 2k，k8 x
11、 ( 2x2) k8 8 k2令 2k ，则 k1，8 k2 32故展开式中含 x 的项为 T216x .32 32(3)设展开式中的第 k 项，第 k1 项，第 k2 项的系数绝对值分别为C 2k1 ，C 2k，C 2k1 ，k 18 k8 k 18若第 k1 项的系数绝对值最大，则Error!，解得 5k 6.又 T6的系数为负， 系数最大的项为 T71 792x 11 .由 n8 知第 5 项二项式系数最大，此时 T51 120x 6 .19. （本题 13 分）(1)由频率表中第 2 组数据可知，第 2 组总人数为 500 ，再结合频率分布直方图可知3000.6n 1000，所以 a1
12、0000.02100.480，5000.0510x 0.8.24010000.0310(2)由题意知 可能的取值为 0,100,200,300，父亲回答正确的概率为 0.4，孩子回答正确的概率为 0.8，且 P( 0)0.60.20.12， P(100)0.60.80.48， P(200)0.40.20.08，P( 300)0.40.80.32，所以该家庭获得奖金 的分布列为 0 100 200 300P 0.12 0.48 0.08 0.32故 E00.121000.482000.083000.32160.20. （本题 13 分）解：（1）由 112a， ，由 2a，得 3由 1233，得
13、 74由 12344aa，得 158(2) 猜想 1n下面用数学归纳法证明猜想正确：（1 ） n时，左边 1a，右边12n，猜想成立（2 ）假设当 k时，猜想成立，就是 1ka，此时 122kkkSa则当 1n时，由 12()kkS，得 ()kSaa，12kkS 11()21kk这就是说，当 n时，等式也成立由（1） （2 ）可知， 12na对 N均成立21.（本题 13 分） 解:() 当 a时, 1()lnfxx,则 21()fx 故 (1)f, ()2f 所以曲线 xy在点 )1(,f处的切线方程为 21yx即为 0y; ()由题, 22(),axf e令 21gx,注意 ()yg的图像
14、过点(0,-1),且开口向上,从而有 (1) ()01g()0axex当 即 时 ， 在 上 , ()f单调递增, 所以有21()fea得 0ae; (2)当 21ge即 e时, 1,g()0,()xxf在 上 单调递减, 所以有maxin()(1)2ffeea得 1e,故只有 1ae符合; (3)当 (1)0ge， 即 0e时,记函数 2()1gxa的零点为 (1,)te, 此时,函数 ()fx在 ,t上单调递减,在 ,te上单调递增, 所以, min1212()()lnefftate12lntate因为 ,te是函数 2gx的零点,所以 t, 故有 1()lntte 令 )htt, (1),则 21()ln0htt 所以函数 ()y在 上单调递减,故 )e恒成立, 此时, 10ea; 综上所述,实数 的取值范围是 1,e
