1、2008年4月第45卷第2期四川大学学报(自然科学版)Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)Apr2008Vd45 No2文章编号：04906756(2008)02028704整体最优效率行为数学模型及其应用程小康(中国民航飞行学院教务处，广汉618307)摘 要：运用效率理论，给出了整体效率的定义，由此定义给出了整体最优效率行为决策函数，建立了在符合期望值与固定投入约束下的整体效率最优行为的数学模型，讨论了该模型的求解算法最后，给出一个简化算例阐述了整体效率最优行为在航空公司机队规划投资决策中应用的合理性关键词：效率；整体
2、最优效率；数学模型；投资决策中图分类号：TP3016 文献标识码：AMath model and application of general optimal efficiencyCI-WNG Xiao-Kang(Civil Aviation Flight University of China，Guanghan 618307，China)Abstract：This paper defines the general efficiency by the Efficiency Theory，and introduces the GOEB(General Optimal Efficiency Be
3、havior)decision function due to the general elficiency definition，it presents themathematical GOEB model which accords with the restriction of maximum expectation value and fixed investment，and discusses the relative algorithmFinally a predigested example is given out to expound the rationality of G
4、OEB in the investment decisionKey words：efficiency，general optimal efficiency，math model，investment decision1 引 言效率是物理学中经常用到的一个概念，是有效性的一种度量在生产中，效率最优可以节约资源，财力以及时间等等，效率的定义有相对于时间的效率(单位时间的产出)，有相对于投入的效率(单位投入的产出)随着不同学科对效率研究的引进，对于效率的度量方式有所变化，例如，在生态学中，Common-“er1将孤立系统效率的度量用周围环境的变化来度量，Roberts和Marcus-Roberts2
5、引入了整体效率的概念以及度量方法而国内文献很少触及对效率度量以及系统定义的研究我们则针对管理工程应用实践给出了整体效率的定义以及整体效率行为的数学模型，以及该模型的算法，期望将整体效率思想用于投资决策过程设有一个待选择的投资方案集合A，投资项iA有相应的投入L和产出Oi，其中各投资项的投入与产出是相互独立的利用传统的不确定决策或者风险性决策等决策方式总是期望从投资方案中选择出一些最佳投资方案，来达到最大的投资收益，但是在这个过程中往往忽视了投资效率因此，很难选择出策略集合X，使之满足整体最优效率GOE(General Optimal Efficiency)的需求追求投资方案效率最优的行为就是整
6、体最优效率行为GOEB(GeneraJ Optimal Efficiency Behavior)，由此收稿日期：20071210基金项目：国家自然科学基金(60472129)作者简介：程小康(1971一)，男，贵州人，副教授，研究方向为航空运输管理Email：melb00163m万方数据四川大学学报(自然科学版) 第45卷而得到的投资策略才能使用最少的投入获得更多的回报飞机是航空公司主要的生产性固定资产，在总投资一定的情况下，根据具体机型的适航性、经济性，科学规划机队，合理安排购置、租赁和维修计划，以提高飞机利用率，降低成本，提高企业的经济效益具有十分重要的意义2效率的定义在不同的研究条件下，
7、对效率的定义是不一样的，为了便于研究讨论，在此首先提出本文研究对效率的定义 定义1 对于一个过程或者是一项投资活动i，iA，假设其投入为丘，产出q，那么活动i的效率就是产出与投入的比值，即：n乞=丁tJi (1)巳2彳一 k1，上i3整体最优效率问题对于一系列的离散型投资活动，假设各项投资相互独立，那么基于定义1，给出整体效率的定义如下定义2 假定投资策略集合为X，X的整体效率就是X中所有独立投资活动的总体产出OiiEX与总体投入Ji的比值，即iEXo；e(X)=舟(2)厶iEX定义3 基于追求整体效率最大化的行为就是整体最优效率行为GOEB具体来说就是在待选择的方案集合A中，找到一个策略集合
8、X，使得策略集合X的GOE最大定义01变量五，毛=1表示对i进行投资；zi=0表示不对i投资整体最优效率行为决策函数可以表述为：22z,of一“舢5麓iEX(3)然而，对A要考虑的主要问题不仅有如何投资项目来达到预定的总产出，还要考虑在投资约束限制下如何最有效率的完成这些任务，这就是GoEB的关键所以，如果定义E为期望投资产出，则必须满足zloiE，定义s为最高投资额，则iEX必须满足zjtS，GOEB问题的数学规划模型为如下形式的描述tOirllax e(A)=乓一乙z3iiEAst XiOiEiEzi五siEAzi取1或0GOEB模型就是为了找出一个策略集合X，使得用已有的资源最有效率的完
9、成任务，并且满足期望要求通常在求解GOEB模型的过程中假定最高投资额S为固定值，期望投资产出E是可以改变的，伴随着期望投资产出E的改变，策略集合X也可能会改变因此，运用整体效率最优行为可以很好的描述在期望投资产出E变化的情况下效率的变化情况，对于兼顾效率和效益的投资策略很有用，决策者可以在整体效率与整体效益之间权衡4问题的算法仔细考虑GoEB问题的数学规划模型可以发现，该模型其实是背包问题的一个变种，GOEB问题的复杂性在于目标函数的非线性，它是NPhard组合优化问题求解的关键是能够找到具有多项式时间的算法对于如GOEB模型的非线性01规划问题，我们认为可以考虑全枚举法和启发式算法求解首先可
10、以考虑全枚举算法，该算法对于小规模的问题可以遍历搜索空间，找到最优解，但是NPhard问题求解难度是指数形式增长的，对大规模的问题全枚举法很不适用其次，可以采用带有启发性质的贪婪算法GA(Greedy Algorithm)求解该问题，贪婪算法的核心思想是找到一种贪婪策略引理l 如果拿b_zz亟，那么、 “l z nb。bl 1t【i五J。i=1所以，利用引理1中描述的分数性质，N122考虑如下的贪婪策略：每一步选择乞最大者，同时检验约束条件，直到刚好满足约束条件为止，这是一个方便的启发式算法，但是这种策略也不能保证得到最优解，有时候甚至找到可行解都很困难坠厶“一铆眈一眈糕万方数据第2期 程小康
11、：整体最优效率行为数学模型及其应用 289图1 GOEB贪婪算法流程图Fig1 Flowchart of greedy algorithm for GOBE遗传算法【4JGenA(Genetic Algorithm)由美国John Holland教授提出，它是模拟生物进化过程中优胜劣汰规则，使用群体内部染色体信息交换机制的一类随机的优化与搜索方法，其主要特点是群体搜索策略、群体中个体之间的信息交换和搜索不依赖于梯度信息、具有良好的并行性、在处理大规模系统时有很好的通用性，因此它尤其适用于处理传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，可广泛应用于组合优化，机器学习，自适应控制，规划设计和人工生命领
12、域，大规模GoEB也可以用遗传算法求解但是遗传算法在实际的应用中也表现出一些不足和局限性，例如迭代次数多、收敛速度慢以及早熟等现象所以，对于一些特殊问题，需要开发特殊的混合遗传算法，这些算法就是给基本遗传算法上增加一些专门的知识，有助于引导算法的搜索方向，改善遗传算法的搜索性能对于上述模型，将贪婪策略引入遗传算法的解码过程，得到一种混合遗传算法，可以大大提高求解大规模该问题的求解效果，具体步骤人下：(1)染色体的编码采用二进制咒维解矢量X作为解空间的编码，编码长度为1，如：1100011表示z1=1，z2=1，z。一l=1，z。=1，即对第1，2，21和刀进行投资(2)染色体的解码该混合遗传算
13、法的解码过程是GA与GenA解码过程相融合的过程对于所有z；=1的项目形成一个全1的it维解空间Q，按照效率ei由大到小排列(ei相等的项目不分先后)，形成一个队列q(1)q(2)q(m)，其中q(J)Q；利用贪婪算法进行解码变换，如果。(綦fq(j)Oq(j)E且。簇f帕)L()T，则q(j)对应于解空间x中的某个i值，置该曩=1转向第步取q(J+1)检验，否则转第步；强制Q中剩下zi=0这样就得到一个基于GA的二进制解码串(3)产生初始种群，设种群大小为M，M中每个个体都是由串长为托的随机产生的二进制串组成染色体的基因码(4)适应度函数的确定由于每个个体使用贪婪算法解码已保证了无效染色体不
14、产生，目标函数是一个正数，所以，在此可以直接采用目标函数作为适应度函数即F(X)=e(A)来对个体进行评价(5)遗传操作遗传操作主要就是选择(selection)、交叉(crossover)和变异(mutation)(a)选择 首先计算每个个体的适应度，个体选择概率使用按比例的适应度分配，某个个体适应度为ef，则i被选中的概率Pd为：Pd=ei2色；然后使用轮盘赌选择法选择交配个体(b)交叉 采用单点交叉算子，交叉概率为Pc，具体操作是在个体中随机设定一个交叉点忌，k的范围是1_，N一1，以k点为分界把两个父个体的部分结构加以替换重组而生成新个体(C)变异 变异本身是一种局部随机搜索，与选择、
15、交叉算子结合在一起保证了遗传算法的有效性染色体变异采用二进制变异的方式变异概率为P。使其变异后的适应度至少大于或等于其原适应度，否则重新选择变异位进行变异，设定一个重复次数，若适应度值在这个次数内没有提高，则变异失败(6)算法终止条件给定终止代数T，当遗传算法运行到指定的代数就停止运行，并将当前群体中的最优化个体作为所求问题的最优解输出(7)确定遗传算法的运行参数群体大小M一般选取20100；终止进化代数丁一般选取100500；交叉概率Pc一般选取04099；变异概率巳一般选取0000101万方数据290 四川大学学报(自然科学版) 第45卷5 GOEB的应用设某航空公司有一包括购置、租赁和维
16、修飞机的待选择的生产方案集合，各个项目的投入、产出以及效率如表1所示，试确定应用怎样的生产方案策略，才能使公司生产更有效率基于GOEB模型求解该问题的遗传算法解和基于贪婪策略对于不同情况下的解如表2和表3所示表1投资方案集合Tab1 Investment schem scheme set表2相同投入。不同期望产出情况下的解Tab2 Solutions with the Salne investments and different production expections可以看出，对于相同投入约束小于215下，GenA的计算结果明显优于GA的计算结果当期望产出为760时，采用GenA的整体效
17、率比GA高出1121；而当期望产出为800时高出799；而当期望产出为1200时高出799；通过多次取期望产出可以找到最优效率的投资行为如果把该问题表述为背包问题，模型为：max Carl=27iOiSt zfJi215iA27f=0，1得到的最优解为：1100011，产出为1400，投入为215，此时的效率为6516结语计算表明，背包问题对于问题的求解注重于追求利益，而忽视了效率，因此不能使整体效率最优而GOEB则避免了这种盲目的投资。可以应用于资源分配、投资决策、装载等问题的建模对于离散性投资决策，采用GOEB模型、遗传算法求解能得到较好的结果，对于航空公司在做机队投资规划决策时，具有重要
18、参考作用参考文献：1CommonerThe poverty of power(energy and the盼rlOlllic crisis)MNew York：Knopf。1976Roberts F S，Marcus-Roberts HEfficiency of energyuse in obtaining foxt II：AnimalsMNew York：Springer-Verlag，1984Lucas W F生命科学模型M北京：国防科技大学出版社，1996陈国良，王煦法，庄镇泉，等遗传算法及其应用M北京：人民邮电出版社，2001刘洋解O1背包问题的遗传算法及其改进J天津师范大学学报，20
19、03，23(3)：69周明，孙树栋遗传算法原理及应用M北京：国防工业出版社，1999责任编辑：伍少梅1J11J眩b!b万方数据整体最优效率行为数学模型及其应用作者： 程小康， CHENG Xiao-Kang作者单位： 中国民航飞行学院教务处,广汉,618307刊名： 四川大学学报（自然科学版）英文刊名： JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)： 2008,45(2)被引用次数： 1次参考文献(6条)1.周明;孙树栋 遗传算法原理及应用 19992.刘洋 解0-1背包问题的遗传算法及其改进期刊论文-天津师范大学学报（自然科学版） 2003(03)3.陈国良;王煦法;庄镇泉 遗传算法及其应用 20014.Lucas W F 生命科学模型 19965.Roberts F S;Marcus-Roberts H Efficiency of energy use in obtaining foot :Animals 19846.Commoner The poverty of power (energy and the eco-nomic crisis) 1976引证文献(1条)1.曾承晓.陈光玖.张斌 基于石油供应单因素风险因子数学模型研究期刊论文-技术经济与管理研究 2009(4)本文链接：http:/
