1、 收 稿 日 期 :2004 - 12 - 31 ;修 回 日 期 :2006 - 02 - 24作 者 简 介 :夏 清 华 (1963 ) ,男 ,湖 北 鄂 州 人 ,襄 樊 学 院 物 理 系 教 授 ,主 要 从 事 非 线 性 动 力 学 研 究 .弹 跳 球 运 动 的 理 论 分 析 与 数 值 研 究夏 清 华 ,张 建 华 ,杨 德 军(襄 樊 学 院 物 理 系 ,湖 北 襄 樊 441053)摘 要 :建 立 了 弹 跳 球 运 动 的 二 维 映 射 关 系 式 ,利 用 非 线 性 动 力 学 的 原 理 和 方 法 ,在 不 同 的 控 制 参 数 条 件 下 ,
2、研 究 了 系 统 二维 映 射 式 不 动 点 的 稳 定 性 ;数 值 模 拟 的 结 果 显 示 ,系 统 在 不 同 的 控 制 参 数 条 件 下 具 有 不 同 的 运 动 特 征 .关 键 词 :弹 跳 运 动 ;映 射 ;稳 定 性中 图 分 类 号 :O 313 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :100020712 (2006) 0620016204近 年 来 ,人 们 对 一 个 刚 性 小 球 在 作 周 期 性 振 动的 台 面 上 的 弹 跳 运 动 表 现 出 极 大 的 兴 趣 1 3 ,文 献3 还 给 出 了 一 个 电 子 实 验 电 路 ,模 拟
3、 了 这 样 一 个 简单 的 力 学 系 统 从 规 则 运 动 到 无 规 则 运 动 的 各 种 动 力学 行 为 . 本 文 通 过 建 立 弹 跳 球 运 动 的 二 维 映 射 关 系式 ,利 用 非 线 性 动 力 学 的 原 理 和 方 法 ,在 不 同 的 控 制参 数 条 件 下 ,研 究 了 系 统 二 维 映 射 式 不 动 点 的 稳 定性 . 数 值 模 拟 的 结 果 显 示 ,系 统 在 不 同 的 控 制 参 数 条件 下 具 有 不 同 的 运 动 特 征 .1 弹 跳 球 运 动 的 二 维 映 射 关 系 式一 个 小 球 自 由 落 向 一 振 动 台
4、 ,此 振 动 台 的 运 动规 律 为 x = asin t ,速 度 为 u ( t) = x = a cos t .设 小 球 与 振 动 台 第 n 次 相 碰 撞 的 时 刻 为 t n ,小 球 碰前 的 速 度 为 v1 ( t n) ,碰 后 的 速 度 为 v ( t n) . 由 于 振 动台 的 质 量 远 大 于 小 球 的 质 量 ,故 可 以 认 为 在 碰 撞 前后 振 动 台 的 速 度 不 变 ,均 为 u ( t n) . 若 恢 复 系 数 为K ,则 有K = u ( t n) - v ( t n)v1 ( t n) - u ( t n)(1)假 设 振
5、 动 台 振 幅 a 很 小 ,并 假 定 空 气 阻 力 可 忽略 不 计 ,在 此 情 况 下 ,小 球 与 振 动 台 第 n + 1 次 碰 撞前 的 速 度 v1 ( t n + 1) 同 小 球 与 振 动 台 第 n 次 相 碰 后的 速 度 v ( t n) 近 似 相 等 ,即 v1 ( t n + 1) v ( t n) ,根 据自 由 落 体 运 动 公 式 可 得v1 ( t n + 1) = v ( t n) = 12 g ( t n + 1 - t n)则 有 t n + 1 - t n = 2 v ( t n)g (2)令 x = t , y = 2 vg则 由
6、式 (1) 、 (2) 以 及 u ( t) = a cos t 可 得x n + 1 = t n + 1 = t n + 2 v ( t n)g = t n + 2 v ( t n)g = x n + y nyn + 1 = 2 v ( t n + 1)g = 2g - Kv1 ( t n + 1) +(1 + K) u ( t n + 1) = - 2 K v ( t n)g +2 a 2 (1 + K)g cos t n + 2v ( t n)g =- Kyn + 2 a2 (1 + K)g cos( x n + y n)令 = 2 a2 (1 + K)g 0则 有 :x n + 1 =
7、 x n + yn (mod 2 )y n + 1 = - Ky n + cos( x n + y n) (mod 2 ) (3)式 (3)即 为 弹 跳 球 运 动 的 二 维 映 射 关 系 式 .2 稳 定 性 分 析令 x n + 1 = x n , yn + 1 = y n ,得 式 (3) 的 两 个 不 动 点为 F1 2 ,0 , F2 32 ,0 ,则 不 动 点 F1的 雅 可 比 矩阵 为J 1 =5 xn + 15 xn5 xn + 15 yn5 yn + 15 xn5 yn + 15 yn 2 ,0= 1 1- - K - 故 J 1的 阵 迹 为 p1 = tr J
8、 1 = 1 - K - ,行 列 式 为 q1= det J 1 = - K.不 动 点 F2的 雅 可 比 矩 阵 为第 25 卷 第 6 期 大 学 物 理 Vol. 25 No. 62006 年 6 月 COLL EGE PHYSICS J une. 2006J 2 =5 xn + 15 xn5 xn + 15yn5yn + 15 xn5yn + 15yn 32 ,0= 1 1 - K +故 J 2的 阵 迹 为 p2 = tr J 2 = 1 - K + , 行 列 式 为q2 = det J 2 = - K.2. 1 稳 定 条 件 4 根 据 线 性 代 数 理 论 ,当 矩 阵
9、 J 的 本 征 值 1 , 2存 在 且 为 实 数 时 ,总 可 以 找 到 一 个 坐 标 变 换 ,使 J化 成 标 准 形 式 1 00 2在 新 坐 标 系 中 ,迭 代 方 程 的 映 象 将 化 为u n + 1 = 1 unv n + 1 = 2 v n当 - 1 1 时 ,不 动 点 失 稳 . 当 某 一 个 | 1 ,2| = 1 ,另 一 个 | 1 ,2| 0 ,所 以 | 2| 1 , 1 1 ,故不 动 点 F1 , F2均 失 稳 .2. 3 0 0 , 0 1 , 1 1 ,故 不 动 点 F1 , F2均 失 稳 .2. 4 数 值 模 拟 及 弹 跳 球
10、 运 动 情 况 分 析当 恢 复 系 数 K = 1 时 ,弹 跳 球 与 振 动 台 面 发 生 完全 弹 性 碰 撞 ,弹 跳 球 的 运 动 能 量 无 损 耗 ,式 (3) 为 保 面积 二 维 映 射 . 数 值 计 算 的 结 果 显 示 : 值 较 小 时 ,弹 跳球 的 速 度 v 呈 现 周 期 运 动 ,与 振 动 台 的 周 期 相 同 ,称 此运 动 为 周 期 1 运 动 (图 1 , y、 x 图 线 为 一 闭 合 曲 线 ,显 示周 期 1 运 动 ) ;当 逐 渐 增 大 到 某 一 值 (71. 123) 时 ,周期 1 运 动 分 裂 为 两 个 周 期
11、 运 动 ,其 中 一 个 稳 定 ,另 一 个不 稳 定 ,称 为 周 期 2 运 动 (图 2 , y、 x 图 线 为 两 个 闭 合 曲线 ,显 示 周 期 2 运 动 ) ;当 继 续 增 大 时 ,弹 跳 球 的 运 动继 续 分 裂 为 周 期 4 运 动 (图 3 , y、 x 图 线 为 四 个 闭 合 曲线 ,显 示 周 期 4 运 动 ) 、 周 期 8 运 动 、 ,如 此 分 裂 下去 ,最 后 小 球 的 运 动 将 不 再 具 有 明 显 的 周 期 性 (如 图 4所 示 , y、 x 图 线 不 再 是 闭 合 曲 线 ) .当 恢 复 系 数 0 K 1 时
12、 ,弹 跳 球 与 振 动 台 面 发生 弹 塑 性 碰 撞 ,每 碰 撞 一 次 ,均 要 损 失 一 定 的 能 量 ,弹 跳 球 应 作 减 幅 振 动 . 数 值 计 算 的 结 果 显 示 :当 K接 近 于 1 ( K = 0. 99) , 较 小 ( = 15) 时 ,如 图 5 所示 ,弹 跳 球 的 速 度 v 先 是 直 线 下 降 ,然 后 呈 一 螺 旋线 ,表 示 v 作 减 幅 振 荡 ,弹 跳 球 的 长 时 间 行 为 是 :速度 v 趋 于 某 一 值 ( y 3. 2) ;当 增 大 ( = 45) 时 ,弹 跳 球 仍 作 减 幅 振 动 , 速 度 v
13、趋 于 某 一 值 ( y 3. 2) , 如 图 6 所 示 . 当 K 值 减 小 ( K = 0. 97) 时 ,即 增大 弹 跳 球 碰 撞 能 量 损 耗 , 弹 跳 球 的 速 度 v 直 线下 降 , y 趋 于 某 一 值 ( y 3) ,如 图 7 所 示 ;当 增 大第 6 期 夏 清 华 等 :弹 跳 球 运 动 的 理 论 分 析 与 数 值 研 究 17 18 大 学 物 理 第 25 卷图 9 K = 0. 5 , = 15 时 的 相 图 图 10 K = 0. 5 , = 100 时 的 相 图( = 45) 时 , x 、 y 相 图 有 一 稳 定 的 结
14、点 ,弹 跳 球 的 速度 v 作 减 幅 振 荡 ,最 后 趋 于 一 定 值 ( y 3. 2) ,如 图 8所 示 . 当 K 值 继 续 减 小 ( K = 0. 5) 时 ,弹 跳 球 与 振 动台 面 每 碰 撞 一 次 ,就 损 失 较 大 能 量 ,当 较 小 时 , y迅 速 趋 于 零 ,如 图 9 所 示 ;当 增 大 ( = 100) 时 ,发现 无 论 初 值 取 何 值 , x 、 y 相 图 形 状 都 相 同 ,说 明 它是 一 个 奇 怪 吸 引 子 ,弹 跳 球 的 速 度 v 作 貌 似 随 机 的变 化 ,如 图 10 所 示 .3 结 论我 们 分 别
15、 研 究 了 参 数 K、 取 不 同 值 时 ,弹 跳球 每 次 碰 撞 后 的 速 度 变 化 情 况 ,给 出 了 运 动 相 图 . 我们 发 现 :弹 跳 球 的 运 动 随 参 数 K、 的 取 值 不 同 而具 有 不 同 的 运 动 特 征 . 无 论 是 K = 1 ,还 是 0 K 1 ,弹 跳 球 运 动 的 二 维 映 射 的 两 个 不 动 点 均 是 不 稳 定的 . 这 表 明 :相 位 因 子 分 别 为 2 和 32 ,小 球 碰 撞 的 速度 为 零 的 两 种 状 态 是 不 稳 定 的 ,即 小 球 不 会 永 远 停留 在 台 面 上 ;在 K = 1
16、 时 , 碰 撞 无 能 量 损 耗 , 速 度 作周 期 性 变 化 ,当 振 动 台 的 运 动 频 率 逐 渐 增 大 时 ,弹 跳球 的 速 度 出 现 倍 周 期 分 叉 ;当 0 K 1 时 ,弹 跳 球与 振 动 台 面 发 生 弹 塑 性 碰 撞 ,每 碰 撞 一 次 ,均 要 损 失一 定 的 能 量 ,当 K 接 近 于 1 ( K = 0. 99 或 0. 97) 时 ,弹 跳 球 速 度 作 减 幅 振 动 ,最 终 趋 于 一 定 值 ;当 K =0. 5 时 ,弹 跳 球 碰 撞 后 能 量 损 耗 较 大 ,在 较 小 时 ,弹 跳 球 速 度 迅 速 趋 于 零
17、 ,在 较 大 时 ,弹 跳 球 的 速度 v 作 貌 似 随 机 的 变 化 .参 考 文 献 :1 Tufillaro N B , Albano A M. Chaotic dynamics of abouncing ballJ . Am J Phys , 1986 ,54 :939 944.2 Mebta luck J M. Novel temporal behavior of a nonlineardynamical system : The completely inelastic bouncing ballJ . Phys Rev Lett , 1990 ,65 :393 395.3
18、 汪 克 义 ,吴 朝 晖 ,等 . 弹 跳 运 动 中 混 沌 现 象 的 电 子 模 拟J . 大 学 物 理 ,1998 ,17 (8) :31 41.4 何 大 韧 ,汪 秉 宏 ,等 . 非 线 性 动 力 学 引 论 M . 西 安 :陕西 科 学 技 术 出 版 社 ,2001. 30 32.Study on the movement of bouncing ballXIA Qing2hua ,ZHAN G Jian2hua , YAN G De2jun(Department of Physics , Xiangfan University , Xiangfan , Hubei
19、441053 , China)Abstract :Stability of the 22D mapping is studied by using the principles and methods of nonlinear dynamicsin different control parameter. Numerical results show that systems have variant properties in different controlparameter.Key words :bouncing ; map ; stability第 6 期 夏 清 华 等 :弹 跳 球 运 动 的 理 论 分 析 与 数 值 研 究 19
