1、辽宁省丹东五校协作体 2015 届高三上学期期末考试数学试题（理科）时间：120 分钟 分值：150 分 命题、校对：宽甸一中高三数学组 一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）1.已知全集 ，集合 ， ，则( U )=01,234,6U， =0,123A=,45BA（ =B）.A3.B,5.C4,56， .D0,122.若 ，则 是 的 （ 1:,:pxqpq）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件. . .3.已知 ，且 ，则 （ 3cos253,2tan）.A43.B4.C4.D344.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是 （ k）3 4 5 6.A
2、.B. .5.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为 2，则该几何体体积为（ ）.A328.B32.C43.D43主视图 左视图俯视图（第 4 题图） （第 5 题图）6.设函数 ，且其图像关于 轴对11sin3cos222fxxy称，则函数 的一个单调递减区间是 （ yf）.A0,2.B,.C,24.D3,27.已知 ，则 展开式中， 的一次项系数为（ 01sinxad 91axx）.A631.B631.C638.D6388. 抛物线 与双曲线 有相同焦点 F，点 A 是两曲线交点，且2ypx21xyab 轴，则双曲线的离心率为 （ F）.A512.B21.C31.D219.
3、若曲线 与曲线 在它们的公共点 处具有公共切线，则yxelnyax,Pst实数 （ a）.A2.B12.C1.D210.已知定义在 上的奇函数 满足 ，若 ，Rfx2ffx12f，则实数 的取值范围为 （ 73afa）.A,12.B2,1.C31,2.D3,1,211.平面四边形 中， , , ,将其沿对角CDABC线 折成四面体 ,使平面 平面 ，若四面体B的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 A（ ）.A32.B3.C23.D212.过抛物线 的焦点作两条互相垂直的弦 ，则40yxpABC、（ 1ABCD.A2.4.12.14）二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13. 已知复数
4、， 是 z 的共轭复数，则 _.23(1)izz14. 已知 为由不等式组 ，所确定的平面区域上的动点，若点(,)Mxy02xy，则 的最大值为_.2,1AzOA15.已知点 为 的重心，过点 作直线与 ， 两边分别交于GBC GABC两点，且 ，则 _.,N,x,NyxR1xy16.在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，A , ,abcsinbacAB且 ，则 的面积是_.5,5bCBABC三、解答题：（共 6 小题，共 70 分）17. （12 分）已知数列 满足 , ，na0n13a.1122,nnaaN（1）求证： 是等差数列；n（2）证明： .22114naa18. （本小题满分 1
5、2 分）如图，在三棱柱 中，已知1ABC， ， ， .1ABC侧 面 1AB213(1)求证： ；平 面 1 12 32 主视图 俯视图 左视图(2)设 (01)，且平面 与 所1CE 1ABE1成的锐二面角的大小为 30，试求的值.19.（本小题满分 12 分）在一次考试中，5 名同学数学、物理成绩如下表所示：学生 A B C D E数学（x 分） 89 91 93 95 97物理（y 分） 87 89 89 92 93(1)根据表中数据，求物理分 对数学分 的回归方程：x(2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动，以 表X示选中的同学中物理成绩高于 90 分
6、的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 . （ 附：回归方程 中， ，EXybxa12()niiiiixy）aybx20.(本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，点 与点 关于原点xOyB1,A对称， 是动点，且直线 与 的斜率之积等于 .OPAPB3（1）求动点 的轨迹方程；（2）设直线 和 分别与直线 交于点 ，问：是否存在点 使得AB3x,MNP与 的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说 MN P明理由.21.（本小题满分 12 分） 设函数 ，其中 .1lnfxax0a（1）当 时，证明不等式 ；0xln1（2）设 的最小值为 ，证明 .fg0ga请考生在 22，23
7、，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， 内接于圆 ， 平分 交圆 于点 ，过点 作圆 的切ABC OADBCODBO线交直线 于点 . DE（1）求证： ；（2）求证： . ACBDEO23 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程已知曲线 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正1C2cosinxy x半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .2C2sin(1)写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；1(2)已知点 、 的极坐
8、标分别为 和 ，直线 与曲线 相1M21,2,012M2C交于 两点，射线 与曲线 相交于点 ，射线 与曲线 相交于,PQOP1CAOQ1点 ，求 的值.B221AB24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 . fxa（1）当 时，解不等式 ；21fx（2）若 的解集为 ， ，求证： .1fx0,20,amn24mn20142015 学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试数学试题（理科）参考答案及评分标准一、 选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.D二、 填空题：13. 14. 4 15. 3 16. 1 1
9、53三、 解答题：17.证明：（1） 112nnaa2是以 3 为首项，2 为公差的等差数列.12nan6 分（2）由（1）知： 8 分31na12na，2214nan114nn221na123114n. 12 分14n18. 解：（1）因为侧面 , 侧面 ，AB1C11BC故 , 2 分1在 中, 由余弦定理得：1BC 112,322 21cos2cos3BC ，所以 故 ,所以 , 4 分13=21 1BC而 ,BCAA平 面6 分（2）由（1）可知， 两两垂直.以 为原点， 所在直线为1,B1,BAC轴建立空间直角坐标系. ,xyz则 1(0,)(,0)(,3)BA， (,0)C, 1(
10、,3). 所以 1C,所以 E, ,0E 则 1(,)(,)EB. 设平面 的法向量为 ，1AB,yznx则由 1nA,得 10,即-30xyz（，令 3z，则3(,)22xyn是平面 的一个法1ABE向量. AB侧面 1C, (0,1)BA是平面 的一个法向量，1BE22233cos,1()()(nBA .两边平方并化简得 2-5+3=0，所以 =1 或 （舍去）312 分19.解：（1） ， 891597x2 分7230y，252221440iix51 312430iiiy.30.7,2054babx所以，物理分 对数学分 的回归方程为 ; 6 分y.720.5yx（2）随机变量 的所有可
11、能取值为 0,1,2X; ; 924106CP1243CP2416CPX分故 的分布列为XX0 1 2P63612 分12E20.解：（1）点 的轨迹方程为 5241xyx分（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为 ，P0,y,MN3,yMN则直线 的方程为 ，A01x直线 的方程为 .BP0y令 ，得 ，3x004323,y11MNxxy于是 的面积 ，PN 200221PMyxS8 分直线 的方程为 ， ，AB0xyAB点 到直线 的距离 ，P2d于是 的面积 ， 10 分 PABS 01xy当 时，得 ，PABS MN 202031xy又 ，所以 ，解得 ，0xy2035x因为 ，所以
12、，20409y故存在点 使得 与 的面积相等，PAB PMN此时点 的坐标为 12 分53,21.证明：（1）设 ，ln1,(0)xx则 ，221当 时， ， 在 上是增函数； 2 分0x0x ,当 时， ，即 ，ln10x成立， 4 分ln11x同理可证 ，x所以， . 6 分lx（2）由已知得函数 的定义域为 ，fx1,且 ，令 得10axf0,fx1.a8 分当 时， ，函数 在 上单调递减；,xaff,当 时， ，函数 在 上单调递增.1,0fxfx1,a所以， 的最小值 ，fx 1lngaf10 分将 代入 ，1xaln1x得 即 ；la1lna所以 ，即11ln0a0g12 分22
13、. （1）BE 为圆 O 的切线EBD=BAD 2 分又AD 平分BAC BAD=CAD EBD =CAD 4 分又CBD =CAD EBD=CBD 5 分（2）在EBD 和EAB 中，E= E ，EBD =EABEBDEAB 7 分 BEDAAB BE=AEBD 9 分又AD 平分BAC BD= DC EDOACB故 ABBE=AEDC 10 分23.解：（1）曲线 的普通方程为 ，1C214xy化成极坐标方程为 3 分22cosin曲线 的直角坐标方程为 5 分221xy（2）在直角坐标系下， ， ，0,M2,0线段 是圆 的一条直径PQ22xy由 得9OPOQAB是椭圆 上的两点，,AB214xy在极坐标下，设 12,B分别代入 中，2211cosin4有 和2211csi22cossin14221osin,4222sinc则 即 . 10 分215154OAB24. 解：（1）当 a=2 时，不等式为 ，21x不等式的解集为 ； 5 分17,（2） 即 ，解得 ，而 解集是 ，fxa1xa1fx0,2，解得 a=1,所以10a10,2mn
