1、课时提升练(七十四) 证明不等式的基本方法一、选择题1设 ta2b，sab 21，则 s 与 t 的大小关系是( )Ast Bs tC st Ds2 ，x 4x 2x只需比较 1x 与 的大小，11 x1x 0，11 x 1 x2 11 x x21 x1x .因此 c 最大11 x 11 x【答案】 C6(2012湖北高考 )设 a，b，c，x，y，z 是正数，且a2b 2c 2 10，x 2 y2z 240，axbycz 20，则 ( )a b cx y zA. B. C. D.14 13 12 34【解析】 由题意可得 x2y 2z 22ax 2by2cz ，与 a2b 2c 210 相加
2、可得 (xa) 2(yb) 2(zc )210，所以不妨令Error!Error!.则 xy z2(abc)，即 .a b cx y z 12【答案】 C二、填空题7(2014南昌模拟 )若实数 a，b，c 满足 a2b 2c 24，则3a4b5c 的最大值为 _【解析】 由柯西不等式得(3a4b5c)2( a2b 2 c2)(91625)200，所以10 3a4b5c 10 ，所以 3a4b5c 的最大值为 10 .2 2 2【答案】 10 28以下三个命题：若|ab| 1，则|a| |b| 1；若a，bR，则|ab|2| a|ab|；若| x| 2，|y |3，则 ，其|xy| 23中正确
3、命题的序号是_【解析】 |a| b|ab|1，所以| a| b|1；|ab| |ab|(ab)(ab)|2a| ，所以|ab| 2| a|ab|；|x|2，|y|3，所以 ，1|y| 13因此 .|x|y| 23均正确【答案】 9若 x0 ，则函数 f(x)3x 的最小值为_4x2【解析】 x0，f(x)3x x x4x2 32 32 4x23 3 ，332x32x4x2 39等号成立的条件为 x32 4x2x ，2393x 时，f(x )的最小值为 3 .2393 39【答案】 3 39三、解答题10(2014 贵州六校联盟) 设 a、b、c 均为正实数，求证： .1a 1b 1c 1ab
4、1bc 1ac 2b c 2c a 2a b【证明】 a，b，c 均为正实数， 当 ab 时等号成立1a 1b 2ab 4a b 当 bc 时等号成立1b 1c 2bc 4b c 当 ac 时等号成立1a 1c 2ac 4a c三个不等式相加即得 当且仅当2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 4a b 4b c 4a cabc 时等号成立即 .1a 1b 1c 1ab 1bc 1ac 2a b 2b c 2a c11(2014 辽宁高考)设函数 f(x)2|x1|x1，g(x )16x 28x1.记 f(x)1 的解集为 M，g( x)4 的解集为 N.(1)求 M；(2)当 xMN 时，
5、证明：x 2f(x)xf(x )2 .14【解】 (1)f(x)Error!当 x1 时，由 f(x)3x31 得 x ，故 1x ；43 43当 x1 时，由 f(x)1x1 得 x0，故 0x1.所以 f(x)1 的解集为 Mx|0x 43(2)证明：由 g(x)16x 28x 14 得 16 24，(x 14)解得 x .14 34因此 N ，x| 14 x 34故 M N .x|0 x 34当 xMN 时，f(x )1x，于是 x2f(x)x f(x)2 xf(x)xf(x)x f(x)x(1x) 2 .14 (x 12) 1412(2014 东北三省联考) 已知 a，b，cR，a 2b 2c 21.(1)求证： |abc | ；3(2)若不等式|x 1| |x1| (abc )2 对一切实数 a，b，c 恒成立，求实数 x 的取值范围【解】 (1)由柯西不等式得，( abc)2(1 21 2 12)(a2b 2c 2)3， abc ，所以 abc 的取值范围是 ，3 3 3，3即|abc| .3(2)同理， (abc) 2 (a2b 2c 2)3，12 12 12若不等式|x1|x1|(abc) 2对一切实数 a，b，c 恒成立，则|x 1|x 1|3，解集为 .( ， 32 32， )
