1、辽宁省沈阳二中 2015 届高三上学期 12 月月考数学文试题 （解析版）第卷 （60 分）【题文】一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）【题文】1已知 是实数集，集合, ,则R3|1MxN=2yx( )(RNCM.0,2A.2,B.(,2C.,3D【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】D 解析：因为 ， ，310xx或 03RMx，所以 ,则选 D.N=22yy2NC【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算.【题文】2.通过随机询问 110 性别不同的大学生是否爱好某项运动,得
2、到如下的列联表:男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50总计 60 50 110由22()(nadbcK,算得 27.8K 附表:参照附表,得到的正确结论是 （ ）A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【知识点】独立性检验的应用 I4【答案】 【解析】C 解析：因为 6.635，有 0.01=1%的机会错误，即有 99%以上的把握认为“ 爱好这27.8k
3、2(Pk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828项运动与性别有关”，故选 C.【思路点拨】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于 6.635，得到有 99%以上的把握认为“ 爱好这项运动与性别有关”【题文】3已知 ， ，则 2tan（ ）,0)3cos(A. B. 或 C. D. 3【知识点】三角函数的求值 C7【答案】 【解析】C 解析：因为 ，所以 或 ，得 ，2)3cos(34541=2或则 ，所以选 C.tan2【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键.【题文】4.已知两个不同的
4、平面 和两个不重合的直线 m、 n，有下列四个命题：、若 ； 若 ；/,mn， 则 ,/则若 ； 若 ./,则 /， 则其中正确命题的个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】平行关系与垂直关系 G4 G5【答案】 【解析】D 解析：若 ；由线面垂直的性质可知正确；若/,mn， 则；由平行平面的性质可知正确；若 ，则 n,又,则 ,/m，所以正确；若 .因为 m 与 n 还可以异面，n则 /,/mn， 则所以错误,综上可知选 D.【思路点拨】判断平行于垂直位置关系，可用已有的定理或性质直接判断，或用反例法进行排除.【题文】5下列说法中，正确的是（ ）A命题“若 ，则 ”的逆命题是真
5、命题2abaB命题“存在 ， 02x”的否定是：“任意 ， 02x”RxRxC命题“p 或 q”为真命题，则命题“p”和命题“q ”均为真命题D已知 ，则“ 1”是“ ”的充分不必要条件【知识点】命题 充分条件、必要条件 A2【答案】 【解析】B 解析：对于 A，当 m=0 时逆命题不成立；对于 B，又特称命题与全称命题的关系知显然成立；因为只有一个选项正确，所以选 B.【思路点拨】判断命题的真假可用反例法进行排除，也可直接利用已知结论或性质进行判断.【题文】6.点 在直线 上移动，则 的最小值是（ ）,ab23xy24abA.8 B. 6 C. D.43【知识点】基本不等式 E6【答案】 【
6、解析】C 解析：因为 ，当且仅当 a=2b 时等号成立，2232442ababab所以选 C .【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.【题文】7直线 l： 与曲线 相交于 A、B 两点，则直线 l2ykx210xy倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D.0,3,44,23,)(,42【知识点】直线与双曲线的位置关系 H8【答案】 【解析】B 解析：因为曲线 的渐近线方程为 y=x，若直线 l： 与210xy2ykx曲线 相交于 A、 B 两点，则 k-1 或 k1，而直线 l 的斜率存在，所以2，则选 B. 3,44【思路点拨】一般遇到直
7、线与双曲线的位置关系时，注意结合其渐近线解答.【题文】8. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 2886411正 视 图2 22侧 视 图俯 视 图【知识点】三视图 G2【答案】 【解析】A 解析：由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱，下面为一个长方体，所以其体积为，则选 A.214128【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析原几何体的特征，熟悉常见的几何体的三视图特征是解题的关键.【题文】9若不等式2x 22axa1 有唯一解,则 a 的取值为( )A BC.D 1555152【知识点】一元二次不等式与二次函数的关系 E3【答案】 【解析
8、】D 解析：若不等式2x 22axa1 有唯一解，则 x22axa=1 有相等实根，所以，解得 a= ,所以选 D.410a5【思路点拨】遇到一元二次不等式的解集问题，可结合其对应的二次函数的图象进行解答.【题文】10.已知向量 的夹角为OABur与时取得最小值，当 时，2,1,1,APtQtOBPur rur， 0t在 015t夹角 的取值范围为A. B. C. D.0,3,2,3,【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】C 解析：因为 ， ,2cosOAB 1PQOtBtOA，所以 ，则2544csPQtt 02cos54，得 ，所以 ，则选 C.1cos010223【思路点拨】把所
9、求向量用已知向量转化，再利用模的性质求出向量的模，利用最小值时对应的 的范围求夹角范围即可 .0t在【题文】11已知函数 的周期为 4，且当 时， ()fx1,3x21()mxfx其中 若方程 恰有 5 个实数解，则 的取值范围为 ( )1,3x， 0m3()fA B C D58， 157， 483， 473，【知识点】函数与方程 B9【答案】 【解析】B 解析：因为当 x(-1,1)时，将函数化为方程 ，为一个半椭圆，其图210yxm像如图所示，同时在坐标系中作出当 x(1,3)的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线 与第二个椭圆 相交，而与第三个半椭3xy2410yxm圆
10、 无公共点时，方程恰有 5 个实数解，将 代入2810xm 3xy得 ，令 ，则24y222917130x290tmt由 ，得 t15,所以 ，又21850txt845tt215m0，得 ，同样由 与第三个椭圆 无交点，33xy2810yx0，得 ，综上可知 ，所以选 B.715,7m【思路点拨】一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题，通常利用数形结合进行解答.【题文】12.函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ()|()xafeR1,0a（ ）A B. C D1,a,1,ae,1【知识点】函数的单调性 B3【答案】 【解析】A 解析：令 ，所以当 a0 时，函数 在2,xxx
11、aeyeyxaye上单调递减，在 上单调递增，若函数在所给区间上单调递增，1,ln2a1ln.2则 ，得 0a1，当 a=0 时 显然满足题意，当 a0 时，函数lxfe在 R 上单调递增，由 得 ，则函数 在xaye0xaelnxaxaye上单调递减，在 上单调递增，则有 ，得-,lnln,l01a0，综上可知实数 a 的范围是 .1【思路点拨】含绝对值的函数的单调性，可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性，也可直接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答.第卷 （90 分） 【题文】二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.【题文】13.已知 F 是抛物线 2yx的焦点,
12、A,B 为抛物线上的两点 ,且|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 _ 【知识点】抛物线及其几何性质 H7【答案】 【解析】 54解析：因为抛物线的准线为 ，由抛物线的定义及梯形的中位线的性质可得 M 到抛14x物线的准线的距离为 ，所以到 y 轴的距离为 .3231524【思路点拨】在圆锥曲线中遇到曲线上的点与焦点的距离时通常利用其定义进行转化.【题文】14在数列 中， 记 是数列 的前 n 项和，则na12,().nnansa10s【知识点】数列求和 D4【答案】 【解析】1300 解析：当 n 为奇数时，有 ，当 n 为偶数时有 ，所以该数列奇数21na21
13、na项城等差数列，偶数项为摆动数列，所以前 100 项中偶数项和为 25，奇数项和为，则 .50491752105730S【思路点拨】可通过观察当 n 取奇数与 n 取偶数时递推公式特征，发现数列特征达到求和目标.【题文】15.已知正三棱锥 -PABC,点 ,都在半径为 的球面上,若 ,PABC两两相互垂直,则球心到截面 的距离为_.【知识点】球的截面性质 G8【答案】 【解析】 3解析：由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体，因为球的直径为 ，所以正方体的棱23长为 2，则 PA=PB=PC=2，AB=BC=AC= , ，设 P 到截面22334ABCSABC的距离为 d，则有 ，解得 ，所以
14、球心到截面113dd的距离为 .2【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，若直接解答不方便时，可通过补形法转化为球内接正方体或长方体的关系进行解答.【题文】16在 中， 的内心，若ABC16,7,cos,5BAOBC是，则动点 的轨迹所覆盖的面积为 .OPxy01xy其 中 P【知识点】向量的运算 解三角形 C8 F1【答案】 【解析】 163解析：若 ， ，动点 P 的轨迹为以 OA，OB 为邻OPxAyB01,xy其 中边的平行四边形 ADBO 的内部（含边界） ，又 ，由余弦定理可解167,cos5ACBA得 AB=5，又 ，所以 ，设三角形2sin1cos526S内切圆半径为 r，则有
15、 ，所以动点 的轨迹所覆盖的面积2667,3rP为 1210523AB.【思路点拨】理解向量的加法运算是解答本题的关键，由向量的加法可知满足， ，动点 P 的轨迹为以 OA，OB 为邻边的平行OPxAyB01,xy其 中四边形 ADBO 的内部（含边界） ，再求面积即可.【题文】三、 解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【题文】17.（本小题满分 10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，且 .,abc221bac（I）求 的值；2sincos（II）若 面积的最大值.b， 求【知识点】三角函数的性质 解三角形 C3 C8【答
16、案】 【解析】 （I ） ；（II）1453解析：（I）在 ABC 中，由余弦定理可知， ，由题意知22cosacbaB， ；又在ABC 中 A+B+C=,221acbac1os4B 222 21cos1sinsincsocs 4AC（II）b=2 ，由 可得 ， ，1aba424a83a， ， ，ABC 面1cos4B5sin41851sin23ABCSc积的最大值为 .3【思路点拨】熟悉余弦定理特征是求角 B 的关键，当已知三角形内角时注意利用含夹角的面积公式进行解答.【题文】18. （本小题满分 12 分）从某学校的 80名男生中随机抽取 50名测量身高,被测学生身高全部介于 15cm
17、和 9cm之间, 将测量结果按如下方式分成八组:第一组 1, 60),第二组 16, 5),第八组 19, ,右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4人.()求第七组的频率;()估计该校的 80名男生的身高的中位数以及身高在 180cm以上(含 1cm)的人数;()若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生, 记他们的身高分别为 ,xy,事件 E 5xy,事件 F15xy,求 ()PEF.率率 (cm)率率/率率1951901851801751701651600.060.040.0160.008O 155 身高(cm)频率/组
18、距距【知识点】频率分布直方图 概率 I2 K2【答案】 【解析】()0.06; ()144 人； () 715解析：() 第六组的频率为 40.85,所以第七组的频率为 10.85(.02162.6)0.; ()身高在第一组155,160) 的频率为 .54, 身高在第二组160,165) 的频率为 08, 身高在第三组165,170) 的频率为 .4.2, 身高在第四组170,175) 的频率为 5, 由于 0.48.203., 0.8.052. 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m,则 17 由 .(17).4.5m得 4. 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数
19、为 5 由直方图得后三组频率为 0.68.0.18, 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 4人；()第六组 18,5)的人数为 4 人,设为 ,abcd,第八组190,195 的人数为 2 人, 设为,AB,则有 ,abcdc,ABA共 15 种情况, 因事件 E xy发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组, 所以事件 E包含的基本事件为 ,ccB共 7 种情况,故 7()15PE 由于 max19580y,所以事件 F xy是不可能事件, ()0PF 由于事件 E和事件 F是互斥事件,所以 ()().【思路点拨】正确认识频率分布直方图的纵坐标是解题此类问题的关键，求概率问
20、题一般用列举法寻求所包含的基本事件的个数.【题文】19. （本小题满分 12 分）如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, 2,ADPCE、F 分别是 AB、PD 的中点.(1)求证:AF/平面 PCE; (2)求证:平面 PCE平面 PCD;(3)求四面体 PEFC 的体积.【知识点】平行关系 垂直关系，棱锥的体积 G4 G5 G7【答案】 【解析】(1) 略；(2)略； (3) 23解析：（1）证明：设 G为 PC的中点，连接 FG，EG ，F 为 PD的中点，E 为 AB的中点，FG CD，AE CD， FG AE，AFGE，GE 平面 PEC，AF平面 PCE；21（2）证明：
21、PA=AD=2，AFPD，又PA平面 ABCD，CD 平面ABCD，PACD，ADCD，PAAD=A，CD平面 PAD，AF 平面PAD， AFCD PDCD=D，AF 平面 PCD，GE平面 PCD，GE 平面 PEC，平面 PCE平面 PCD；(3)由(2)知 GE平面 PCD，所以 EG 为四面体 PEFC 的高，又 GFCD,所以 GFPD,所以四面体 PEFC 的体积112,2, 2PCFEGAFDSDG.133PCVS【思路点拨】证明线面平行与面面垂直，通常结合其判定定理进行证明，求棱锥的体积抓住其底面积和高进行求值即可.【题文】20.（本小题满分 12 分）设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有 ，其中 为数列na*nN2nnaSnS的前 n 项和.（I）求数列 的通项公式；（II）设 （ 为非零整数， ） ，试确定 的值，使得对任意13.2nnanb *nN；都有 成立.*N1n
