1、物理与工程 圆柱体对垂直其中轴并过其中心的转轴转动惯量的几种计算方法史博张辉麻晓敏（解放军炮兵学院基础部物理教研室 ，安徽 合肥）（收稿日期 ：）摘要由于取微元的不同 ，可通过几种方法计算圆柱体对垂直其中轴并过其中心的转轴的转动惯量关键词圆柱体 ；转动惯量转动惯量是大学物理中一个重要的概念 ，在刚体定轴转动中的地位与质点运动中的质量相当圆柱体对垂直其中心轴并过其中心的转轴的转动惯量计算较为复杂 ，垂直轴定理也不适用 ，我们可以通过取不同的微元 ，用几种方法进行计算设圆柱体质量为，底面半径为，高为第一种方法首先建坐标 ，轴沿着圆柱体的中轴 ，轴垂直于中轴且与转轴垂直在坐标为处取一厚为的圆盘作为微
2、元 ，如图所示由于圆盘上各处到转轴的距离不等 ，要求此圆盘对转轴的转动惯量 ，先要在圆盘上取一坐标为，宽度为的细长棒作为微元 ，如图所示此细长棒到转轴的距离为槡，则此细长棒对转轴的转动惯量为（），棒长为 槡，设圆柱体体密度为，则（）槡 ，而整个圆盘的转动惯量为（）槡（ ），其中 ，为圆柱体半径 （积分的过程中可将换为，用三角函数计算较为方便 ）则整个圆柱体的转动惯量为（ ）第二种方法首先取一个底面半径为厚度为的圆柱面作为微元 ，如图所示要求此圆柱面对转轴的转动惯量 ，先要在圆柱面上取微元 ，如图所示 ，取线度为的细长棒作为微元 ，极坐标为细长棒长为，则质量为，到转轴的距离为，此时细长棒对转轴的
3、转动惯量可通过平行轴定理得到（）（ ）则整个圆柱面对转轴的转动惯量为（ ）（ ） 而整个圆柱体对转轴的转动惯量为（ ） 第三种方法建轴 ，方向垂直于中心轴和转轴 ，图所示为圆柱体底面 ，取坐标为，厚度为的长方形薄板为微元 ，此 薄 板 长 为，宽 为，要计算此薄板的转动惯量 ，仍先要在薄板上取一细长棒 ，如图所示 ，此细长棒长为，宽取物理与工程 为，到转轴的距离为（此薄板上所有微元到转轴距离都相同 ），质量，同样使用平行轴定理 ，细长棒对转轴的转动惯量为（） （ ）由此可得薄板对转轴的转动惯量 （ ） （ ）而，所以，将上式中的换掉并作积分得圆柱体总的转动惯量（ ）第四种方法与第三种方法相似
4、，只是在长图方形薄板上取微元时改变一下 ，取长为，宽度为的细长棒为微元 ，如图所示同样可以积出相同的结果 ，不再复述本文通过几种方法计算了圆柱体对垂直其中轴并过其中心的转轴的转动惯量 ，最后结果都是相同的 ，且几种方法的计算量基本相当若是读者有更为简便的方法 ，希望可以相互交流（上接第页）图 缓慢拉绳系如图所示 （）可以看出 ，与上节中槡类似 ，快速拉绳 ，并不一定下绳先断图 快速拉绳例如 ：若绳可承受的最大张力为，则上绳先断 ；若绳可承受的最大张力为，则下绳先断 结论从上述分析 ，可以获得下列结论 ：（）当慢拉 （槡或槡 ）时 ，一定是上绳先断 ；虽然上下两绳中张力随时间波动 ，但上绳张力始终大于下绳张力（）当快拉 （槡或槡 ）时 ，并不一定是下绳先断 ；此时上下两绳张力随时间波动很大 ，下绳的张力并不总是大于上绳的张力 ，“哪根绳先断 ”由绳可承受的最大张力和达到该张力的时间先后共同决定参考文献工科物理题库 质点动力学
