1、【解析】福建省厦门市 2015 届高三上学期期末质检检测数学理【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】一、选择题【题文】1、 （ ） .BABA， 则，设 集 合 x-31y02x2.xA3.B2.xC或 32.xD【知识点】集合运算. A1 【答案】【解析】D 解析：A=x|x-2,B=x|x3,AB=x|
2、-2x3,故选 D.【思路点拨】化简两已知集合，再求它们的交集. 【题文】2、 （ ） .是， 则，：已 知 命 题 p21sinxp00R21sin,.00xRA,.BCsixD【知识点】含量词的命题的否定. A3 【答案】【解析】D 解析：根据特称命题的否定方法得选项 D 正确，故选 D. 【思路点拨】根据特称命题的否定方法确定结论. 【题文】3、 （ ） .2am1b,ab0mR已 知 向 量 （ ， ） ， ， 若 存 在 使 得 ， 则A.0 B.2 C.0 或 2 D.0 或-2【知识点】向量的坐标运算. F2【答案】【解析】C 解析：根据题意得： ()()(22,1,1,mlll
3、+=+=即 解得 m=0 或 2，故选 C. 201ml+=【思路点拨】利用向量的坐标运算得，关于 的方程组求解. ,l【题文】4、 （ ） .面 积 等 于轴 所 围 成 的 封 闭 图 形 的及，与 直 线曲 线 x21x3y2A.1 B.3 C.7 D.8【知识点】定积分的应用. B13 【答案】【解析】C 解析：所求= ，故选 C. 23211|7xd=【思路点拨】根据定积分的几何意义求解. 【题文】5、 （ ） .过 点的 图 像 的 一 条 对 称 轴 经函 数 Rx1-32cosy0,6.A,6.B0,.C,3.D【知识点】二倍角公式；函数 的性质. C4 C6()cosyAxw
4、j=+【答案】【解析】D 解析：已知函数为 ，经检验在 A、B 、C、D 四个选项中，只有选23p项 D 中横坐标使已知函数取得最值，故选 D. 【思路点拨】弦函数的对称轴是使函数取得最值的 x 值. 【题文】6、 确 的 是表 示 平 面 ， 下 列 说 法 正表 示 两 条 不 同 的 直 线 ，已 知 ml,（ ） .,AllaP若 则 .,Blmla若 则C则若.D则若 ,【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A 解析：对于选项 A：设过直线 m 的平面交平面 于 n，因为 ,amaP所以 mn, 又 ，所以 ，所以 ，故选 A. lalnl【思路点拨】根据线
5、面位置关系的判定与性质得选项 A 正确. 【题文】7、等差数列 中， 和 是关于方程 的两根，则该数列的前 11 项n39a216064xc和 （ ） .1SA.58 B.88 C.143 D.176【知识点】等差数列及其前 n 项和. D2【答案】【解析】B 解析：因为 + =16，所以 ，3a9()3911682aS+=故选 B. 【思路点拨】利用等差数列的性质求解. 【题文】 8. 在直角坐标系中，函数 的图像可能是（ ） .xf1sin)(【知识点】函数的图像与性质. B8【答案】【解析】A 解析：因为 f(x)是奇函数，所以排除选项 C、D.又 在 x21()cosfx=+大于零恒成
6、立，所以 f(x)在 上是增函数，故选 A. 0,2p0,2p【思路点拨】利用函数的奇偶性、单调性确定结论. 【题文】9.椭圆 E： 的右焦点为 F,直线 与椭圆 E 交于 A,B 两点。若132yax mxyFAB 周长的最大值是 8，则 m 的值等于 （ ）.A.0 B. 1 C. D. 23【知识点】椭圆的定义及性质. H5【答案】【解析】B 解析：设椭圆的左焦点 ，则FAB 周长F，所以 a=2，当直线 AB 过焦点 （-1,0 ）48FAFBa=+=F时，FAB 周长取得最大值，所以 0=-1+m,所以 m=1.故选 B. 【思路点拨】利用椭圆的定义和三角形的性质求得结论. 【题文】
7、10.设函数 ，3521*().(),(0,)! )!nnxxf nN-=-+- 则 （ ）.A. B. )(si)(32xfxf)(sin)(23xfxfC. D. )(sin32xffxxfxfsin)(32【知识点】导数的应用；比较大小. B12【答案】【解析】A 解析：因为 ，x0,1，3352(),()66120ff=-=-+所以 . 设 ，利用导数判定 h(x)是 上的减函数，23()fxf()sinhxfx,得 h(x) h(0)=0 ；设 ，利用导数判定 g(x)是2i3()sigfx- ,1上的增函数，得 g(x) g(0)=0 ,故选 A. 3if【思路点拨】利用导数比较函
8、数的大小关系. 【题文】二、填空题：本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。【题文】（一）必做题：共四题，每小题 4 分，满分 16 分。【题文】11.已知 = .)tan(,cos2sin则【知识点】三角函数的求值. C7 【答案】【解析】-3 解析:由 ，所以icstn2atan12tan() 34p+=-【思路点拨】利用同角三角函数关系，两角和的正切公式求解. 12.【题文】三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .【知识点】三视图的应用. G2【答案】【解析】3 解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为 3，底面是底边长 2，底边上的高为 1
9、 的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于 .123=【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积. 【题文】13.已知双曲线 C： 的渐近线与 圆 相切，则双曲)0b(12，abyx 9)5(:2yxE线 C 的离心率等于 .【知识点】双曲线的性质；直线与圆位置关系；点到直线的距离. H4 H2 H6 【答案】【解析】 解析：由圆心 E（5，0）到直线 距离等于 3 得：54 0bxay-=，即()2223916babcaa=-+ 255164ce【思路点拨】由点到这些的距离公式得关于 a,b 的方程，进而求得离心率. 【题文】14
10、.已知数列 中， ，n *11 n)0(3, Nbn b=1 时， =12;7S存在 ，数列 成等比数列；Rnabl-当 时，数列 是递增数列；(1,)b+2n当 时数列 是递增数列0以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）。【知识点】数列问题. D1【答案】【解析】 解析：当 b=1 时, 为：3,0，3,0，3,0,3,0， ，所以 =12 成立；naL7S若数列 成等比数列，则 ，即nabl- ()1nnbbll+-=-， ，所以存在 ，()*131(0n Nl+=+ 3l R数列 成等比数列；当 时，由得nabl- ,)b+()11nnabll-=-，所以()(1133nn
11、nnn -=+ 223nb+所以当 时，数列 是递增数列成立；由可知当 时，数列 是递增数列不(1,b2na(0,1)bna成立.【思路点拨】逐一分析各命题得每个命题的真假. 【题文】(二)选做题：本题设有三个选考题，请考生任选两题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题记分，满分 8 分。【题文】15（1）（选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵 A ，则 x+y= . 120,3xy且【知识点】逆变换与逆矩阵；二阶矩阵. N2【答案】【解析】3 解析： ，()()10033,xxyyA-=Q矩阵 ，21A-=2x+=+【思路点拨】将矩阵与向量积得运算转化为逆矩阵与向量积得
12、运算，再利用矩阵与向量积得运算法则，得到相关方程组，解方程组得到本题结论. 【题文】(2)（选修 4-4： 坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 L 的极坐标方程为 ，圆 C 的参数方程为； ，1cos )(sin2co为 参 数yx则圆心 C 到直线 L 的距离等于 .【知识点】参数方程与极坐标. N3【答案】【解析】1 解析：直线 L 的直角坐标方程为 x=1，圆心 C（2,0），所以圆心 C 到直线 L 的距离等于 1. 【思路点拨】写出直线 L 的直角坐标方程及圆心 C 的直角坐标，从而在直角坐标系下求解.【题文】(3)（选修 4-
13、5：不等式选讲）已知 的最大值等于 .1y2x,2,* 则且 yxRy【知识点】柯西不等式的应用. N4【答案】【解析】 解析： ，2*,x+=Q且由柯西不等式得 ()()2 2111xyxy+()221+(28=即 ，18,1xyxy+当且仅当 时取等号.2=【思路点拨】由条件利用柯西不等式得由此求得()()2 2111xyxy+()(2221xy+最大值. 【题文】三、解答题：本大题共 5 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】16.（本小题满分 12 分）已知函数 的图像经过点 ，且相邻两条对称轴的距离为 .)20,)(sin)( xf 21,02（1）求函
14、数 的解析式及其单调递增区间；f（2）在 中， 分别是角 的对边，若 ，且 ， ，求 的ABCcba,CBA, 21cos)(Afbc3a值.【知识点】三角函数的对称性、周期性与单调性；两角和与差的正弦公式；余弦定理.C4 B3 B4 C5 C8【答案】【解析】（1），递增区间为 ；()sin2)6fx,36kkZp-+(2) . 解析：（ 1）由 f(x)的图像过点 得 sin = ，又 ， .由相邻两条对称61,01202轴间的距离为 知 f(x)的周期 T=，则 ，22 ，令 ，得()sin)6fx,62kxkZ， 的递增区间为,3kZpp-+()f ,36kZp-+（2）由 ，可得 s
15、in（A+ ）-cosA = ，1()cos2Af-=6p12则 得 ，即 sin（A- ）= ，3inA+-3sincoA- 6p12,50,66App-Q63p-=又 bc=1，b+c=3,据余弦定理可得 2a22cos()6bbc+-=a=【思路点拨】（1）由 f(x)的图像过点 得 sin = ，又 ， .21,012026由相邻两条对称轴间的距离为 知 f(x)的周期 T=，则 ， ，由正弦函数的单调增区间求函数 f(x)的单调增区间；（2）由（1）的结论及已知()sin2)6fx条件 求得 A = ，再由 bc=1，b+c=3 及余弦定理求得 a 值. 1coAf 3p【题文】17
16、. （本小题满分 12 分）如图，菱形 的边长为 ，对角线交于点 ，ABCD2O.（1）求证： ；BCDE平 面BEC（2）若 ， 上一点 满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 .2,0AFEO/FE【知识点】空间线面位置关系；空间坐标系；空间向量的应用. G4 G5 G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2） . 217解析：(1)DE平面 ABCD,AC 平面 ABCD, DE AC.四边形 ABCD 是菱形，ACBD，又 DE BD=D，AC 平面 BDE,IBE 平面 BDE，ACBE（2）DE平面 ABCD，OFDE，OF平面 ABCD，以 O 为原点 OA,OB,O
17、F 分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 ，()3,0(,1)(3,0)(,12)F(0,)ABCE-()()()3,013,10,1AFBCBF=-=-=-ururur设平面 BCE 的法向量为 ，则,nxyzr 030nCxyz-=+r取 ，则()1,3n=-ur 21cos, 7AFn-=-urr设直线 AF 和平面 BCE 所成的角为 ，则 sin = .qcos,r【思路点拨】（1）证 AC平面 BDE 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求解. 【题文】18. （本小题满分 12 分）如图，梯形 中， ，OABC3,/,1AOCBA设 .)(2
18、)0,(, NMGNM（1）当 时，点 是否共线，请说明理由；412B（2）若 的面积为 ，求 的最小值.O63O【知识点】平面向量基本定理；模与数量积的运算. F2 F3【答案】【解析】(1)共线，理由：见解析；（2） .34解析：（1）当 时，1,24lm=12OBAOC=+ururur,()14OGMNC+urrurr ， ，O,G,B 三点共线. 4OBG=urOurP（2） ，13sin2416MNSplm=V 4l=()ACl=+urruru222211cos443OGOpl lll=+rrr，当且仅当 时取等号，()236lmll=+ 1lm= 的最小值是 . OG4【思路点拨】
19、(1)把向量 都用 ,再看 是否共线，从而判断点 是否共线；,BOGurACur,OBGruBGO,（2）由 的面积为 得 ，MN1634lm=再由 得()2OGl=+urruru，当且仅当 时取等号，2r2134416lll=12lm= 的最小值是 . OG【题文】19.某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在 （单位：克），脂肪的摄入量控906，制在 （单位：克） .某学校食堂提供的伙食以食物 A 和食物 B 为主，1 千克食物 A 含蛋白质 60 克，2718，含脂肪 9 克，售价 20 元;1 千克食物 B 含蛋白质 30 克，含脂肪 27 克，售价 15 元.(1)如果某学生只
20、吃食物 A，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由;（2）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物 A 和食物 B 各多少千克？【知识点】二元一次不等式（组）的区域表示；线性规划问题. E5【答案】【解析】（1）不符合营养学家的建议，理由：见解析；（2）学生每天吃 0.8 千克食物 A，0.4 千克食物 B. 解析：(1)如果学生只吃食物 A ，则当蛋白质摄入量在60,90（单位：克）时，则食物 A 的重量在1,1.5 （单位：千克）,其相应的脂肪摄入量在9,13.5（单位：克）,不符合营养学家的建议；当脂肪摄入量在18,27（单位：克）时，则食物 A 的重量在2,3 （单位：千克）,其相应的蛋白质摄入
