1、湖南省衡东县第一中学 2015 届高三数学（理科）第二次月考试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案写在答题卷上）1已知复数 ， 是 的共轭复数，则 等于1izzzA B2 C1 D4 122下列说法中，正确的是A命题“若 amb，则 a”的逆命题是真命题B命题“ xR， 02x”的否定是：“ xR， 02x”C命题“ p或 q”为真命题，则命题 “ p”和命题“ q”均为真命题D已知 ，则“ 1”是“ 2”的充分不必要条件3抛物线 的焦点坐标是2yA B C D 1(,0)(,0)1(0,)41(0,)
2、84函数 的一条对称轴的方程为 ，则以 为方向sincosyaxba 4x(,)vab向量的直线的倾斜角为A B C D5601201355已知两不共线向量 ， ，则下列说法不正确的个数是(cs,in)(cos,in)b 与 的夹角等于()()ab a 与 在 方向上的投影相等2A B C D01236已知函数 ，若数列 满足 ，且6036xaxfx na*()nfN是递减数列，则实数 的取值范围是naA B C D 31,05,3119,31,657若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A B163193C D9248函数 的导函数 在区间 上的
3、图像大致是()cosfx()fx,9用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 的 个1,29小正方形（如右图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“ 、 、 ”的小正方形5涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有A 种 B 种10860C 种 D 种4310在直角三角形中 ， ， 是斜边 上的两个动点，且C2ANM,AB2MN则 的取值范围是A B C D3,22,32,125,1二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请把答案填在答题卷的相应横线上）11按如下程序框图运行，则输出结果为_开始 1i0SiS22i9i否 S输 出 结 束是12如图，
4、圆 ： 内的正弦曲线O22xy与 轴围成的区域记为 （图中阴影sinyM部分） ，随机往圆 内投一个点 ，则点A落在区域 内的概率是_AM13已知 且 ，则 4,2NX2.0aXPaXP414在平面直角坐标系中 中，圆 ，若直线 上至少xoy0158:xyC2kxy存在一点，使得以该点为圆心的， 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值是 1C15当 为正整数时，定义函数 表示 的最大奇因数如 ，n()n(3),(10)5N记 ()1(2)32SNN1 2 34 5 67 8 9则（1） （2） (4)S()Sn三、解答题（本大题共计 6 小题，满分 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
5、步骤 ） （请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分 ）16 （本小题满分 12 分）已知函数 2 23sinsico5sfxxx（1）若 ，求 的值；5ta（2）设 三内角 所对边分别为 且 ，求 在ABC, ,abc22bca()fx上的值域0,17 （本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 分，比赛进行到有一人比对0方多 分或打满 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互26 p1()2独立，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 59（1）求 的值；p（2）设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 E18 （本小题满
6、分 12 分）如图， 是圆 的直径，点 在圆 上， ， 交 于点 ，ACOBO30BACMAC平面 ， ， EBFEA41CF， ，（1）证明： ；M（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值19.（本小题满分 13 分）已知数列 满足na1*114, 324 .()nnaN（1）李四同学欲求 的通项公式，他想，如能找到一个函数，( 是常数)把递推关系变成()2 fABCAB、 、 1()naf后，就容易求出 的通项了.请问：他设想的 存在吗？3()nafna()fn的通项公式是什么？（2）记 ，若不等式 对任意 都成立，123S 23nSp*N求实数 的取值范围.p20（本小题满分 13
7、分）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，动直线 与圆21xy12A、 :lykxm相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 .2xy 12(,)(,)P（1）求 的取值范围，并求 的最小值；k21x（2）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为1PAk2P那么 是定值吗？证明你的结论.2221 （本小题满分 13 分）设函数 f (x) 1ax在 内有极值 （ 是自然对数的底数）lne,0e（1） 求实数 的取值范围；（2）若 ，求证： ,021 2112exff2015 届高三数学（理科）第二次月考试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B D D B C B A A
8、 B二、填空题11 170 12 13 14 15 348.03486324n三、解答题16解：（）由 ，得 5f2 2sinsico5s 1cos21co33inn1即 ，ics23sisi03或 ta 5 分ta0t或（）由 即 得 则2o,csBbCaco1,s2BbCaco1,sin2sinBCA1cos2B即 ，8 分3又 10 分2 2sin3sio5sfxxx3ios4xi()46x由 ，则 ，故 ，即值域是 12 分01616f5,.17解：（）依题意，当甲连胜 局或乙连胜 局时，第二局比赛结束时比赛结束22有 解得 或 225(1)9p3p1， 5 分3p（）依题意知，依题意
9、知， 的所有可能值为 2，4，66 分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续，9则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 ， ， 5(2)9P520(4)(1)98P516(6)(1)98P10 分随机变量 的分布列为： 2 4 6P 59208181则 520164.988E 12 分18解：（法一） （1） 平面 ， 平面 ， EABCMABCEM又 ， ，BMAC平面F而 平面E H G A B C E F M O 是圆 的直径， BMEACO90ABC又 ， ，3042,A3,1M平面 ， ，/FE3G平面 F
10、BD与 都是等腰直角三角形EC45MA，即 （也可由勾股定理证得） 90， 平面 EMBF而 平面 ，6 分BF（2）延长 交 于 ，连 ，过 作 ，连结 EACGCHGF由（1）知 平面 ， 平面 ，A而 ， 平面 HF平面 ，F，B为平面 与平面 所成的CEBC二面角的平面角 8 分在 中， ， ，RtA30A4sinM由 ，得 13FGE22B又 ，CH，则 312CBMG是等腰直角三角形， F45FH平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 12 分BEA2（法二） （1）同法一，得 3 分3B，如图，以 为坐标原点，垂直于 、 、 所在的直线为 轴建立空间直角坐标CAE,xyz系由已知
11、条件得 ，(0,)(,0)(,)(3,0)(,41)MF,331MEBF由 ，,得 ， 6 分F（2）由（1）知 (3,),(3,1)BF设平面 的法向量为 ，由BEnxyz得 ，0,nF 0令 得 ， ， 9 分3x1,2yz3,12由已知 平面 ，所以取面 的法向量为 ，EABCABC(0,3)AE x y z A B C E F M O 设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，BEFAC则 ，30123cos,n平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 12 分219解（1） ,1()3()nnafaf13(1)3(nafnf所以只需 ,1()24f, ,32nfABC,24,0ABC.故李四
12、设想的 存在， .,2ABC()f 1()nf,111()()33nnnnafaf5 分.（2） 211(3)(2)nnnS ,8 分35). 23nS由 ，得 .2nnp3nnp设 ，则3nb,10 分112()23nn1142()3nn当 时410122112() ()2n nnCCn （也可用数学归纳法证明）时， . 容易验证 ,当 时, , , 1nb3|1nbminpb47381的取值范围为 . 13 分p73(,)820解：（） 与圆相切, 2 分l21mk221k由 , 得 ,21ykxm2()()0kx,22222104()14()8kmkx,故 的取值范围为 .4 分2,k(
13、,1)由于 ，2121 2241mxxk当 时， 取最小值 . 7 分20k0k21（）由已知可得 的坐标分别为 ，12,A(,0)， 12,ykx1212()ykx12()(kxm22112()mx 2221mk，2211kk22由 ， 为定值. 13 分22(3)21() 解： 01x或 时，222 21(1)()1()()axaxfx由 ()f在 (,)e内有解令 2()()g，不妨设 10，则 ，所以 01， 21)0eag， 解得： e2a 6 分()解 :由 ()0fxx或 ，由 ()01,fxx,或 x，得 在 ,内递增,在 (,1)内递减,在 1,内递减,在 (,)递增由 1(0,)，得 1()lnafxf，由 2(,)x得 2)lnafxf,所以 21()()ffff，因为 1， ，8 分所以 ff1ln()a2ln(1)a112ln2ln()a， 记 ()2lnh， ( e)，则 2()10h， ()h在(0，) 上单调递增，所以 21()fxf 1e2 13 分
