1、专题一 角平分线与平行线一、教学目标：1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系.2、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量代换的技巧.3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想，指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。二、教学重点、难点：1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.2、教学难点:等量关系的确定.三、教学方法：引导发现、练习提高四、教学手段：多媒体电脑、黑板五、具体内容：（一）复习引入角平分线的常用使用环境 基本图形当角平分线构成的等量关系和“平行”结合的时候，可以形成等腰三角形，从而得到等边的关系.当角平分线构成的等
2、量关系和与180有关的角相结合的时候,可以转化得垂直关系.（二）例题例 1 如图 1, 已知 ABC 中 , BAC 的外角 EAC 的平分线交 BC 延长线于 D求证： . DCBA设计思想：融合平行、相似、角平分线.分析:从问题来看,本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似”挂钩,构造相似的方法可以过点 C 作 AD 的平行线 ,这样既可以有相似,又可321EB CDAab4321BAE DC4321A BOEB DAC图 1以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.证明思路:过点 C 作 CF AD 交 AB 于 F,可证明 AF=AC.由 BFC BAD得 .BDAF经
3、等量代换得 .C即 .点拨:这道题辅助线的添加是个关键,需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.例 2 （09 抚顺）已知：如图所示，直线 与 的平分线交于点MANB ， BA，过点 C 作一条直线 与两条直线 分别相交于点 l、 DE、（1）如图 1 所示，当直线 与直线 垂直时，猜想线段 之间的数量关系，、 、请直接写出结论，不用证明；（2）如图 2 所示，当直线 与直线 不垂直且交点 都在 的同侧时，（1）中lA、 AB的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线 与直线 不垂直且交点 在 的异侧时，（1）中的结论是否仍然lMDE、成立？如果成立，请说明
4、理由；如果不成立，那么线段 AD、 BE、 AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系设计思想:这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为 90”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一.解：（1） ADBEE4321B DACFA BED CM Nl A BED CM NlA BCM NA BCM N图 1 图 2 备用图 备用图（2）成立分析一:直接找三条线段 的关系并不好找,我们的间接手段有两个:一是ADBE、 、截长,将三段转化为四段,确定一对等量,证明另一对等量;二是补短,将三段转化为两段,证明等量.在这道题目当中,采取截长的方法即可证明全等.解法思
5、路一：如图 2-1,在 上截取 ，连接 ABGAC现证明 ADC AGC. .56再证 .790.8. BGCE .AD. 分析二:这道题也可以受第(1)问的启发,构造角平分线上点向角两边的垂线段,以利用角平分线的性质得线段的等量关系.解法思路二：如图 2-2,过点 C 作直线 ，垂足为点 F，交FGAM于点 G作 ，垂足为点 BNHBH由（1）得 .A由 ,234，得 CF=CH=CG.CFDE .G.ABAB分析三:有“角平分线”“平行线”的时候,我们还可以构造等腰三角形.为了制造内错角,延长 BC 交 AM 于 F 就可以了,在这个图形中,既可以得到ABF 是等腰三角形,又可以在ABF
6、利用三线合一得到等量关系.解法思路三：如图 2-3,延长 ，交 AM 于点 BC,AMN.54A BED CM Nl125 63 4HFG图 2-2A BED CM Nl12563 4F7图 2-3图 2-1A BED CM Nl12563 487G,34.5.AFB可证 AFC ABC.C可证 FCD BCE.DFBE.AFAB（3）不成立 存在当点 D 在射线 AM 上、点 E 在射线 BN 的反向延长线上时（如图 3-1），.BE当点 D 在射线 AM 的反向延长线上，点 E 在射线 AM 上时（如图 3-2），. A点拨:这道题中涉及的基本方法和图形很多,第一,平行线间同旁内角两条角平
7、分线夹角成 90;第二,平行线与角平分线结合可得相等线段关系,这也是常用的;第三,当问题涉及到三条线段时,可采取截长补短的方法.例 3 （09 烟台中考）如图 1，直角梯形 ABCD 中， AD BC， ，且 CD=2AD , 90BCDtan ABC=2，过点 D 作 DE AB，交 BCD 的平分线于点 E，连接 BE（1）求证： ；BC（2）将 BCE 绕点 C，顺时针旋转 得到 DCG，连接 EG.90求证： CD 垂直平分 EG.（3）延长 BE 交 CD 于点 P，求证： P 是 CD 的中点A BEDCMl图 3-1A BECMDlN图 3-2A DGECB图 1设计思想:融合平
8、行线、角平分线、全等.分析：题目中 ，是很好的证明 CD 与 BC 相等的间接条件.延2tan2CDABC，长 交 于 ,那么正切关系就可以给 CD 用,再用正切得到的 2 倍关系,和条件 CD 与EBFAD 的 2 倍关系结合用,就可得第(1)问结论.第(2)问显然要证明两组线段的等量关系,根据全等和旋转即可得到.第(3)问中的中点,即 关系,显然与第(1)问有关, CD=2AD,因此只要21证明 DP=AD 就可以了,因此可以连结 BD 构造全等三角形.证明：（1）延长 交 于 DEBCF， ，A ，在 中，Rt，anta2A，即 2CFDCF，B，12D即 （2） 平分 ，CEBD由（1
9、）知， BC=CD,CE=CE,. 由图形旋转的性质知: CE=CG , BE=DG DE=DG .都在 的垂直平分线上，CD， EG垂直平分 （3）连接 由（2）知 ，BD1A3A DGECB FP124 13，ADBC4由（1）知 ，P又 ，B，AD ，12CP是 的中点 D点拨:这道题还是大量运用了平行和角平分线的关系,这种等量变换在做题中会经常遇到.（三）练习练习 1（09 重庆中考）如图，直线 EF分别与直线 AB、CD相交于点 G、 H，已知 1250， GM平分B交直线 于点 M则 3=（ ） BA60 B65 C70 D130练习 2如图，梯形 ABCD 中， ABC 和 DC
10、B 的平分线相交于梯形中位线 EF 上的一点 P，若 EF=3，则梯形 ABCD 的周长为( )C(A)9 (B)10.5 (C)12 (D)15练习 3.（09 广州中考）如图，在 ABCD 中， AB = 6， AD = 9， BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F， BG AE，垂足为 G， BG= ，则 CEF 的周长为（ ）A24（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5练习 4如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D， DE AC， DE 交 AB 于点 E ， F 为 BE的中点，连结 DF.若 DF=
11、3,DE=2,则 AC 长为 . 38MH 32 1GA BC DEF AB CDE FPE AB CDFG ACB DEF练习 5. （09 赤峰中考）如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC， BF 是 ABC 的平分线，AF DC，连接 AC、 CF，求证： CA 是 DCF 的平分线.证明: BF 是 ABC 的平分线,1=2.又 AB=BC,BF=BF, ABF CBF. FA=FC.3=4.又 AF DC,5=3.4=5. CA 是 DCF 的平分线.（四）总结在有关角平分线的题目中, 平行线会经常涉猎到,因此关于它们相联系的专题练习还是很有必要的.这节课应从基础的角平分线与平行线构成的基本等量关系入手,让学生先确定图形意识,再投入提升练习.（五）反思由于融合平行线和角平分线的题目图形关系比较基础,因此也会比较好找,因此可以引导学生通过在图形上标注条件,找到角之间的等量关系.AC BFD54321AC BFD
