1、- 1 -辅助线的添加【知识要点】平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍“添加辅助线 “在平面几何中的运用。一 、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的 可向两边作垂线。 可作平行线，构造等腰三角形 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上
2、延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。3. 与等腰等边三角形相关的 考虑三线合一 旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 60二 、四边形特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.1、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了
3、利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.利用一组对边平行且相等构造平行四边形利用两组对边平行构造平行四边形利用对角线互相平分构造平行四边形2、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 作菱形的高；连结菱形的对角线.- 2 -3、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：. 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.4、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又
4、是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.5、与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.三 、圆1遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用： 利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和
5、半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。2遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3遇到 90 度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。5遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得 OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6遇到证明某一直线是圆的切线时-
6、3 -（1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。 作用：若 OA=r，则 l 为切线。（2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证 OAl ，则 l 为切线。（3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系； 垂直关系； 全等、相似三角形。8遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。
7、9遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。11遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用： 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质； 垂径定理。12遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用： 利用连心线性质； 切线性质等。13 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。14遇到四边形对角互补或两个三角形
8、同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。【历年考卷形势分析及中考预测】平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不- 4 -能比拟的，从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题，出题范围极为广泛，难易程度差距较大，对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近 6 年广州市的中考试题，分值分布大约在 60 分左右，其中简单的题目大约占 43 分，其余的 17 分较难，每年必有一道几何压轴题，分值 14 分，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。题目难主要难在辅助线的添加，尤其像特殊四边
9、形及圆中的问题，从中考考纲来看，2011 年广州市中考命题，同往年相比，变化不大，压轴题中可能会以三角形或四边形结合动点问题给出，或者以圆中相关知识为背景，结合动点，函数问题给出，区分度较大。【考点精析】考点 1. 三角形：例 1 如图，AB=CD，E 为 BC 中点，BAC=BCA ，求证：AD =2AE。例 2 如图，ABAC, 1= 2，求证：ABAC BDCD 。例 3 如图 95，设 O 是正三角形 ABC 内一点，已知AOB=115 ，BOC=125。求以线段 OA，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。12ACDBAB E C D图 95BA CO- 5 -例 4 如图所示，AB
10、C 是边长为 4 的正三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的角，角的两边分别交 AB，AC 于 M，N 两点，连结 MN，求AMN 的周长.【举一反三】1、如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。2、如图，BCBA ，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证： A +C=180。3如图 921，设 O 是正三角形 ABC 内一点，已知AOB=80，BOC=135，求以线段OA、OB、OC 为边构成的三角形的各角。AB CDMNBOA C图 921B DCAAB CD6 8- 6 -考点 2. 四边形：例 5 如图 1，已知点
11、O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形. 求证:OE 与 AD 互相平分 .例 6 如图 3，已知 AD 是 ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证BF=AC.例 7 如图 7，已知矩形 ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.例 8 如图，在正方形 ABCD 中，E 为内部一点且 是正三角形，求 的度数BCEAEDAB CDE- 7 -例 9 如图，AB CD，M 、N 分别为 AD、BC 中点，MN 交 AC、BD 于 G、H 点。求证：GH= （CD AB）12【举一反三】1. 如
12、图 2，在ABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF，ED/ AC，FG/AC 交 BC 分别为D，G.求证:ED+FG=AC.2. 如图 6，四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点，F 是 AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于 DE 长.AD CBM NH G- 8 -3如图：正方形 ABCD，AE+CF= EF，求证： 45EDF4、如图 ，已知梯形 ABCD 中，AD =1.5cm，BC=3.5cm，对角线 ACBD，且BD=3cm，AC=4cm ，求梯形 ABCD 的面积。考点 3. 圆：例 10 （2010 江苏泰州，18，3 分）如图O 的半径为 1c
13、m，弦 AB、 CD 的长度分别为，则试求弦 AC、 BD 所夹的锐角 2,1cm例 11 (2010 年安徽芜湖市)如图所示，在圆 O 内有折线 OABC，其中 OA8，AB12，AB60，试求 BC 的长为.A E BFCD- 9 -例 12（2010 山东临沂）如图, 是半圆的直径, 为圆心, 、 是半圆的弦，且ABOADB.PDAB(1)判断直线 是否为 的切线，并说明理由；O(2)如果 ， ，求 的长。60E3PD例 13（2010 江苏宿迁）（本题满分 10 分）如图，AB 是O 的直径， P 为 AB 延长线上任意一点，C 为半圆 ACB 的中点，PD 切O 于点 D，连结 CD
14、 交 AB 于点 E求证：（1）PD=PE；（2） PBAE2【举一反三】1（番禺一模）已知：如图 12，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半RtABC 90OABOA径的圆与 分别交于点 ，且 ， DE，（1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；O（2）若 ，求 的面积2D PBA EOC D O ED CBA图 12- 10 -2.（天河一模）如图，在 RtABC 中， ACB90，AC 5，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。（1）求证：ACAE；（2）求ACD 外接圆的半径。3（荔湾十校一模）如图，已知 AB
15、 为O 的弦，C 为 O 上一点，C=BAD，且 BDAB 于 B. （1）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，AB=4，求 AD 的长.综合例 14（2010 宁夏回族自治区）在ABC 中，BAC =45，ADBC 于 D，将ABD 沿 AB 所在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处；将ACD 沿 AC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、FC 使其交于点 M(1)判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明(2)若 BD=1，CD=2，试求四边形 AEMF 的面积AB CDAC BDEABCDO- 11 -例 15（2010 河北）观察思考某种 在 同 一
16、 平 面 进 行 传 动 的 机 械 装 置 如 图 14-1， 图 14-2是 它 的 示 意 图 其 工 作 原 理 是 ： 滑 块 Q 在 平 直 滑 道 l 上 可 以左 右 滑 动 ， 在 Q 滑 动 的 过 程 中 ， 连 杆 PQ 也 随 之 运 动 ， 并 且PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动在摆动过程中，两连杆的接点 P 在 以 OP 为 半 径 的 O 上 运 动 数 学 兴 趣 小 组 为 进 一 步 研究 其 中 所 蕴 含 的 数 学 知 识 ， 过 点 O 作 OH l 于 点 H， 并 测 得OH = 4 分米，PQ = 3 分米，OP = 2 分米解决问题
17、（1）点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米；点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米；点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米（2）如图 14-3，小明同学说： “当点 Q 滑动到点 H 的位置时，PQ 与 O 是相切的”你认为他的判断对吗？为什么？（3） 小 丽 同 学 发 现 ： “当 点 P 运 动 到 OH 上 时 ，点 P 到 l的 距 离 最 小 ”事 实 上 ， 还 存 在 着 点 P 到 l 距 离 最 大的 位 置 ， 此 时 ， 点 P 到 l 的 距 离 是 分米；当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度
18、数HlO图 14-3P（Q）HlOPQ图 14-2图 14-1连杆滑块滑道 PBAEOCD- 12 -【举一反三】1.（2010 年宁德市）（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时， AMCM 的值最小；当 M 点在何处时， AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.13E A DB CNM- 13 -2（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC
19、，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0， 6），D 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合）如图,将COD 沿 OD 翻折，得到FOD；再在 AB 边上选取适当的点 E，将 BDE 沿 DE 翻折，得到GDE ，并使直线 DG，DF 重合（1）图 中，若 COD 翻折后点 F 落在 OA 边上，写出 D、E 点坐标，并且求出直线 DE 的解析式（2）设（1）中所求直线 DE 与 x 轴交于点 M，请你猜想过点 M、C 且关于 y 轴对称的抛物线与直线 DE 的公共点的个数，在图 的图形中，通过计算验证你的猜想（3）图 中，设 E（10，b），求 b 的最小值图图- 1
20、4 -3、（2010 年福建省南安市）（13 分）如图 1，在 RtABC 中，90A， BC， 42，另有一等腰梯形 DEFG（ E ）的底边DE与 重合，两腰分别落在 AB、AC 上，且 G、F 分别是 AB、AC 的中点（1）直接写出AGF 与ABC 的面积的比值；（2）操作：固定 A ，将等腰梯形 以每秒 1 个单位的速度沿 BC方向向右运动，直到点 与点 重合时停止设运动时间为 x秒，运动后的等腰梯形为FG（如图 2）探究 1：在运动过程中，四边形 能否是菱形？若能，请求出此时 x的值；FCE若不能，请说明理由探究 2：设在运动过程中 AB 与等腰梯形 DG重叠部分的面积为 y，求y与 x的函数关系式AFG(D)B C(E)图 1FGA B D C E图 2
