1、江苏省泰州市 2015 届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效（参考公式：柱体体积公式为 ）VSh一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上 ）1.若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 = (2)iaa2.已知集合 ， ，若 ，则 1,4A,Ba1,234ABAB3.某高中共有 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列现用分层抽样0的方法从中抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 84.已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 214xym2yxm5.执行右边的伪代码后，输出的结果
2、是 6.若圆柱的侧面积和体积的值都是 ，则该圆柱的高为 27.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则周21 41末打篮球；否则就在家看书那么小明周末在家看书的概率是 8.在等比数列 中，已知 ，则 na3754,230a7a9.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 的取值集合为xy2R), 10.已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ,xy401y3zxy11.设函数 和 的图象在 轴左、右两侧靠近()3sin()fx(sin)6gyy轴的交点分别为 、 ，已知 为原点，则 MNOMN12.若斜率互
3、为相反数且相交于点 的两条直线被圆 ： 所截得的弦长之(1,)PO24xy1i4xWhile 10i23End WhilePrint x第 5 题图比为 ，则这两条直线的斜率之积为 6213. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是2()fxxa2,4a 14. 在 中， 为边 上一点， ，若 的外心恰在线ABCDA,6BADCAB段 上，则 二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 15.（本题满分 14 分）已知向量 ， ， 13(,)2a(2cos,in)b0（1）若 ，求角 的大小；（2）若 ，求 的值bsin16.（本题满分
4、14 分）如图，矩形 所在平面与直角三角形 所在平面互相垂直， ，点ABCDABEBEA分别是 的中点NM,E,（1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 17.（本题满分 14 分）如图，某市有一条东西走向的公路 ，现欲经过公路 上的 处铺设一条南北走向的公llO路 在施工过程中发现在 处的正北 百米的 处有一汉代古迹为了保护古迹，该市mO1A决定以 为圆心， 百米为半径设立一个圆形保护区为了连通公路 、 ，欲再新建一A1 lm条公路 ，点 、 分别在公路 、 上，且要求 与PQlmPQ圆 相切（1）当 距 处 百米时，求 的长；2Q l m东东PQOANMAD BCE（2）当公路 长最
5、短时，求 的长 PQO18.（本题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，与 轴xOy:E21(0)xyabAx平行的直线与椭圆 交于 、 两点，过 、 两点且分别与直线 、 C垂直的直EBCB线相交于点 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点到右准线的距离为 D5345（1）求椭圆 的标准方程； （2）证明点 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求 面积的最大值BC xy DCOBA19.（本题满分 16 分）已知 ， ， 都是各项不为零的数列，且满足 ，nabnc12nnababcS，其中 是数列 的前 项和， 是公差为 的等差数列NSanc(0)d（1）若数列
6、是常数列， ， ，求数列 的通项公式； n2d3n（2）若 （ 是不为零的常数） ，求证：数列 是等差数列；ab（3）若 （ 为常数， ） ， ，求证：对任意1ckkNnkc(2,)N的 ，数列 单调递减2,nNnba20.（本题满分 16 分）己知 ，其中常数 ()lnxfae0a（1）当 时，求函数 的极值；()fx（2）若函数 有两个零点 ，求证： ； yf1212,()x12xaa（3）求证： 21ln0xxe20142015 学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(附加题)21.（选做题请考生在 A、 B、C、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分A （本小题满分
7、10 分，几何证明选讲）如图， 是圆 的切线，切点为 ， 是过圆心的割线且交圆 于 点，过 作CDOOB的切线交 于点 OACD1,2EC求证：（1） ；（2） 3B3ADB （本小题满分 10 分，矩阵与变换）已知矩阵 ，矩阵 ，直线 经矩阵 所对应的变01Aa02Bb04:1yxl A换得到直线 ，直线 又经矩阵 所对应的变换得到直线 2l2l :3l（1）求 的值；（2）求直线 的方程,b2lC （本小题满分 10 分，坐标系与参数方程选讲）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合若直线 l 的极坐标方程为 sin324（1）把直线 的极坐标方程化为直角坐标方
8、程；l（2）已知 为椭圆 上一点，求 到直线 的距离的最小值P2169:xyCPlD （本小题满分 10 分，不等式选讲）已知不等式 对于满足条件 的任意实数 恒成立,求2|1|abcx122cbacba实数 的取值范围x必做题第 22 题，第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分)某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了 名幸运之星这 名幸运之星可获得 、55A两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪B一种奖品，抛掷点数小于 的获得 奖品，抛掷点数不小于 的获得 奖品3A3BEBCO
9、A D（1）求这 名幸运之星中获得 奖品的人数大于获得 奖品的人数的概率；5AB（2）设 、 分别为获得 、 两种奖品的人数，并记 ，求随机变量 的分XYBXY布列及数学期望23.(本小题满分 10 分) 已知 （ ） ， 是关于 的 次多项式；2)(1nfxN()gx2n（1）若 恒成立，求 和 的值；并写出一个满足条件的3)(gx1)的表达式，无需证明()gx（2）求证：对于任意给定的正整数 ，都存在与 无关的常数 ， ， ， ，nx0a12na使得 221201()()()()n nnfxaxaxx20142015 学年度泰州市第二次模拟考试高三数学参考答案一、填空题1 ； 2 ； 3
10、； 4 ； 5 ； 24162286 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 ； 31611,711 ； 12 或 ； 13 ； 14 . 899(,25,)20二、解答题15. 解：(1) 因为 ，所以 ，即 ，/ab132sincosin3cos所以 ， 又 ，所以 分tn30(2)因为 ，所以 ，化简得 ，ab2()ab20ab又 ， ，则 ， ，13(,)2cos,in21cos3in所以 ，则 ， 10 分13sinco21sin()064又 ， ，05()64所以 sin()sin()cos()sin66 153814 分16. 证：（1）取 中点 ，连接 ，BEF,CM又 是 中点，则
11、 ，MA1/2AB又 是矩形 边 中点，NCD所以 ，则四边形 是平行四边形，/,FNF所以 ，又 面 ， 面 ，所以 平面 分ECENBCE（2）因为平面 平面 ， ，所以 平面 ，ABBAA因为 平面 ，所以 ，E又 ， ，所以 平面 ，C而 平面 ，所以平面 平面 14 分 DD17. 解：以 为原点，直线 、 分别为 轴建立平面直角坐标系 Olm,xy设 与圆 相切于点 ，连结 ，以 百米为单位长度，则圆PQABA1的方程为 ，22(1)xy(1)由题意可设直线 的方程为 ，即 ，1xyq20xyq，(2)q 与圆 相切， ，解得 ，PQA21q83q故当 距 处 百米时， 的长为 百
12、米 5 分OQ（2）设直线 的方程为 ，即 ， ，P1xypq0xpyq(1,2)pq 与圆 相切， ，化简得 ，则QA22 l m 东 东PQOAB，222qPQp8 分令 ， ，2()()fqq22(1)3)()()qfq(2q当 时， ，即 在 上单调递减；352()0f)f35,当 时， ，即 在 上单调递增，q()fq()fq,)2 在 时取得最小值，故当公路 长最短时， 的长为 百米()f352PQO352答：（1)当 距 处 百米时， 的长为 百米；（2）当公路 长最短时， 的PO83POQ长为 百米 14 分35218. 解：（1）由题意得 ， ，53ca245c解得 ，所以
13、，所以椭圆 的标准方程为 3,ac2bE2194xy4 分（2）设 ，显然直线 的斜率都存在，设为00(,)(,)BxyC,ABCD，则 ， ，1234,k 0120,3ykx00343,xkky所以直线 的方程为： ，,BD0000(),()xyy消去 得 ，化简得 ，y000033()()xx3故点 在定直线 上运动 10 分（3）由（2）得点 的纵坐标为 ，D200009(3)Dxxyyy又 ，所以 ，则 ，20194xy220094yx2000 09354()4Dyx yy所以点 到直线 的距离 为 ， DBCh000594Dyy将 代入 得 ，0y2194xy203x所以 面积BCD
14、2096124ABCySh，当且仅当 ，即 时等20201777414yy2014y02y号成立，故 时， 面积的最大值为 16 分0BCD19解：（1）因为 ， ，所以 ，2d3c21nc因为数列 是各项不为零的常数列，所以 ， ，na naa 1S则由 及 得 ，12nScbab c12()nb当 时， ，两式相减得 ， 121()3n 43n当 时， ，也满足 ，故 4 分n14n43()N（2）因为 ，2nababcS当 时， ，两式相减得 ，1121nScb 1nnnScab即 ， ，即 ，1()nn ()nncabdc又 ，所以 ，1(1)22nS(12nc即 ，()ndcb所以当
15、 时， ，两式相减得 ，31()ndcb13nbd()所以数列 从第二项起是公差为 等差数列；nb32d又当 时，由 得 ，111Scab1当 时，由 得 ，2221() 3()2cbd132bd故数列 是公差为 等差数列 15 分nb3d（3）由（2）得当 时， ，即 ，11()nnnScac1()nnSac因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，nkcnkbkdkd1nSka所以 ，1()nnnSa当 时， ，两式相减得 ，31k 1(1)()nnnaka即 ，故从第二项起数列 是等比数列，1nnk所以当 时， ，222()nak，21(1)()nknbcdckkn另外由已知条件得 ，又 ， ， ，212()ab2c1b2()k所以 ，因而 ，令 ，则 ，21annknd1nnad1()因为 ，所以 ，所以对任意的 ，()()10k1n2,nN数列 单调递减 16 分nba20. 解：函数 的定义域为 ，()fx(0,)（1）当 时， ， ， eelnxe()xf而 在 上单调递增，又 ，()xf(,)10当 时， ，则 在 上单调递减；010ff()fx,当 时， ，则 在 上单调递增，所以 有极小值1x()x()fx
