1、注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题，共 14 题） 、解答题（第 15 题第20 题，共 6 题）两部分。本次考试时间为 120 分钟。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上。3、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。4、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。江苏省东海高级
2、中学 2015届高三年级第一学期 1月份月考数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合 ，若 ,则实数 的值为 .1,02aABAa2设 为虚数单位，则复数 的实部为 .iz(3)i3从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 .4为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 名高三男生的体重. 根据抽10样测量后的男生体重（单位： ）数据绘制的频率分布直方图如图kg所示，则这 名学生中体重值在区间56.5，64.5）的人数是 .10（第 4 题）5如图所示的
3、流程图，若输入 x 的值为5.5，则输出的结果 .c6 已知集合 ，集合 .若命题“ ”是命题A|12x|BxaxA“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . xBACDEB7函数 的单调增区间是 ()sin3cos(0)-，fxx8 圆心在抛物线 上，并且和抛物线的准线及 轴都相切的圆的标准方程为 2yy9已知正四棱锥的底面边长是 6，高为 ，这个正四棱锥的侧面积是 710在 中，角 的对边分别是 ，若 ， ， ，ABC, ,abcsin3siAC30B2b则 的面积是 11已知点 P 在直线 上，点 Q 在曲线 上，则 P、Q 两点间距离的最21yxlnyx小值为 . 12 如图，在
4、等腰三角形 ABC中，底边 2， ，若1,2ADCE，则 = 12BDACE13设数列 为等差数列，数列 为等比数列若 ， ，且 （nanb12a12b2iia， ， ） ，则数列 的公比为 .1i314设 是正实数，且 ，则 的最小值是 ,xy1xy21xy二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA 平面 ABCD，BD 交 AC 于点 E，F 是线段 PC 中点，G 为线段 EC 中点（1）求证：FG/平面 PBD；（2 ）求证：BD
5、 FG16 （本小题满分 14 分）如图所示， 、 分别是单位圆与 轴、 轴正半轴的交点，点ABxy在单位圆上， （ ） ，POP0xyAOQPCB点 坐标为 ，平行四边形 的面积为 C(2,0)OAQPS（1）求 的最大值；tAS（2）若 ，求 BPsin(2)317. （本小题满分 14 分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3个方面: 下潜时 ,平均速度为 (米/ 单位时间),单位时间内用氧量为 ( 为正常数); 在水v 2cv底作业需 5 个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4; 返回水面时 ,平均速度为 (米/单位时间), 单位时间用
6、氧量为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为 .y(1)将 表示为 的函数;yv(2)设 0 5, 试确定下潜速度 ,使总的用氧量最少.v18 （本小题满分 16 分）已知直线 经过椭圆 （ ）的左顶点 和上顶点 椭圆20xy2:1xyCab0aAD的右顶点C为 ，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，直线 、 与直线 分别交于 、BExAEB:l103xM两点N（1）求椭圆 的标准方程；（2）求线段 长度的最小值；M（3）当线段 的长度最小时，椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为 ？若存MNCTBE15在，确定点 的个数；若不存在，请说明理由T19 (本小题满分 16 分)设数列
7、 的前 n 项和为 ，且 .anS2(1)nnaS（1 ）求 ；1（2 ）求证：数列 为等差数列；1nS（3 ）是否存在正整数 m，k，使 成立？若存在，求出 m，k；若不存在，19kmaS说明理由.20 （本小题满分 16 分）已知函数 ，常数 .()2lnfxaxaR（I）求 的单调区间；（II）若函数 有两个零点 、 ，且 .()fx1x212x（1）指出 的取值范围，并说明理由；a（2 ） 求证： .3128xa高三 1月数学参考答案1、 1 2、 3、 4、40 5、1 6、 7、 8、-22,),0612yx9、 48 10、 11、 12、 13、 14、3254321415、证
8、明：（1）连接 PE，G. 、F 为 EC 和 PC 的中点，/,PBDEPBFGE平 面 ， 平 面 ，FG/平面 PBD6 分（2 ）因为菱形 ABCD，所以 ，又 PA面 ABCD， 平面 ，所以ACBDAC，因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面BAPBD，C平面 ，BD FG14 分FP16、 （ 1） ， ， ， (,0)O(cos,in)(1cos,in)OQ ，而 ，AQ2|SAP所以 ， 分1csisi()4t 4 ， 当 时， 取得最大值为 ； 分04tOQS127（2） ， ，由 得 ，又 ，结合(,)CB(cos,in)PCBPcosin0得 ，22sinco15sin，
9、 ， ， 分5co4i31所以 分sin(2)343sin2cos2in01417. 18、 （1）令 得 ，所以 ，所以 ，令 得 ，所以 ，所以0x1y(0,)D1b0y2x(,0)A，2a所以椭圆 的标准方程为 ；4 分C24xy（2）显然直线 的斜率存在且为正数，设直线 的方程为 （ ） ，联立得AEAE(2)ykx0，解得 ，由 得 ，-(2)103ykx106(,)3kM2()4ykx222(14)6140kxk6 分显然 ，由求根公式得 或 （舍） ，1622168(4)1kkx228(14)kkx所以，从而直线 的方程为 ，联立得 ，解得2284(,)1kEBE(2)4yxk1
10、(2)03yxk，所以 ，当且仅当 时取“ ”，0(,)3Nk16168233kMNk 14k因此，线段 长度的最小值为 ；8分10（3）由（2）知， 时线段 的长度最小，此时 ， ，因为 的面14kN64(,)5E25BTBE积为 ，所以点 到直线 的距离为 ，因为直线 的方程为S5TBE24SdBE，20xy设过点 且与直线 平行的直线 的方程为 ，由两平行线之间距离为m0xyt(2)24得 ，解得 或 ，|24t32t5t当 时，直线 的方程为 ，联立得 ，消去 得32tm0xy2304xyy，2510x显然判别式 ，故点 有 个；T2当 时，直线 的方程为 ，联立得 ，消去 得52tm
11、502xy2504xyy，2501x显然判别式 ，故点 不存在0T所以，椭圆 上存在两个点 ，使得 的面积为 CTBE15分1619、解：（I）n=1 时， 2 分211(),a2a（II） 时 -2()nnS1()()nnnSS12nnS-4 分6 分11()nn1-nn为定值， 为等差数列81-nnnnnSS1nS分（） 12a2(1)nS10 分nS()nna假设存在正整数 m，k，使 ， 则 12 分19kmS2(1)()19km24(1)()76k(2)75315135k或 或251km23m12km或 或 .16 分86542k20. 解：（I） 时， （ ） ， 在0a()lnf
12、xax0()10afx()fx递增； 时，(0,)0a2ln,02()axxaf在 递减，在 递增。1,(),2xfxa()fx0,2)a(2,)a综上， 时 在 递增； 时 在 递减，在 递增。0a()f,)()f,)(,)4 分（II） （1）由（I）知 ，此时 在 递减，在 递增，()fx0,2)a(2,)a由题，首先 6(2)lnfa1分下证 时 在 和 各有一个零点： 1()fx0,)(2,)a 时， ，2aeln1l0(2)0fa1(,2)xa332()l5()f e 3e 时， ，e()2lfaae()f1,)x2 22()|ln|af e令 ， ，所以()pe(0ape2()0epa22()afa令 ， ，()qee2(4aqe()e2()40a2)1)0所以 即2( (1ee5(e2(afe,得证。综上， 10 分2)fa2)ax.2a（2 ）要证 ，因为 ，只要证 ，即证3181(0,)x24x2(4)0fa事实上， ，22(4)|ln4fa因为 a22()ln2la令 2 1()4ln42l()gaaa8(1)8ln4l1()2a所以 在 递增()a0g(,)2= 在 递增()2g4lnl0(g,)，所以 . .16 分11240fa3128xa
