1、江苏省南京市湖滨中学 2015届高三上学期 10月学情考试数学试卷(满分 160 分, 时间 120 分钟)一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合 ， ，则 .1A9B, ABU2. 若复数 的实部为 ，模为 ，则复数 的虚部是 .z2z3. 有红心 1， 2，3 和黑桃 4，5 这 5 张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 .4. 已知 ，则 .tansin5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 为 .S6. 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 .7. 设向量
2、， ，若 与 垂直，则实数 的值为 .(3 2)，a(1 0)，bab28. 已知点 ，若直线 在 轴与 轴上的截距相等，则实数 = .014ABa, , ABxya9. 已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则 .n29+15nSk58ka10. 已知实数 满足 则 的取值范围是 .xy， 03,zxy11. 已知存在实数 ，满足对任意的实数 ，直线 都不是曲线 的切线，abxb3yxa则实数 的取值范围是 .I 1While I 0，y 0，x，y 满足的关系式为 2（0 x 1） 5 分（2 ）设需准备此种新型材料的长度为 a，则必须要 x ya 恒成立 21xy， 2()1xy 7 分
3、 ) (， 2()xy 10 分则 243xy ， 23xy 12 分当且仅当 （百米）时取“=” 23a （百米）时，x ya 恒成立 PAB CDE(第 16 题图 )EFCxyABO（第 18 题）答：至少需要准备 23（百米）的此种新型材料，才能确保围成三角形绿地 14 分18、 （1）由题意得221 3ba，解得 ， （3 分）8b则ABC 的面积 S；（5 分）1226AOBa（2 ） 为定值，下证之：12k证明：设 ，则 ，且 ， （7 分）0( )Bxy， 0()Cxy， 201xyab而 20220012 bkxaxxa由（1）得 ， 2b所以 ； （10 分）2 易得直线
4、的方程为 ，AB1()ykxa直线 的方程为 ，C2令 得， ， ，1xa1E2F则AEF 的面积 ， （13 分）1AFSk因为点 在 x 轴上方，B所以 ，120 k，由 12得 2112()AEFSkk（当且仅当 时等号成立）所以，AEF 的面积的最小值为 .（16 分）219、 ,1 1111()0,2, .n nn nPaxyaa 解 :（ ） 点 在 直 线 上 ， 即 且数 列 是 以 为 首 项 ， 为 公 差 的 等 差 数 列 。也 满 足. 4 分122(),311422()(0, 5()()6nfn nffnfnf （ ） ，是 单 调 递 增 的 ， 故 的 最 小
5、值 是 。. 10 分11 22121123,(),3(),()().()nnnnnnnbSSSSgg （ ）即 ， ， ,故 存 在 关 于 的 整 式 ， 使 等 式 对 于 一 切 不 小 于 n的 自 然 数 恒 成 立16 分20、 （ 1）解：因为 ，所以 ，l2fx12f函数 的图像在点 处的切线方程 ；3 分f(1,)yx（2 ） 解：由（1）知， ，所以 对任意 恒成立，lnfxx()kf1x即 对任意 恒成立4 分 lnxk令 ，则 ，5 分l1g2l1xg令 ，则 ， ln2hx0xh所以函数 在 上单调递增6 分,因为 ，所以方程 在 上存在唯一实31l042ln0hx1,根 ，且满足 0x,当 ，即 ，当 ，即 ，8 分()hx时 ， ()gx0()x时 ， ()0gx所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增ln1g0,0,所以 9 分 00 0min0l123,4xxx x所以 故整数 的最大值是 310 分0in3,4kgk（3 ）由（2 ）知， 是 上的增函数，11 分ln1xg4,所以当 时， 12 分4nmlm即 1lln整理，得 13 分n因为 ， 所以 14 分nllllnm即 即 15 分llmnmn所以 16 分nm
