1、广西常青藤实验中学 2015 届高三元月阶段性检测数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1函数 2()log(1)fx的定义域为 . 2设 i为虚数单位，则复数 z(3)i的实部为 .3已知角 的终边经过点 ,，则 sn)2的值= . 4直线 yx被圆 0422yx所截得的弦长为 . 5如图所示的流程图，若输入 x 的值为5.5，则输出的结果c .6已知集合 A|12x，集合 |Bax.若命题“ xA”是命题“ B”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 . 7若 ,xy满足约束条件0,2,yx则目标函数 2
2、+3zxy的最大值为 . 8双曲线21m的一条渐近线方程为 y，则实数 m的值为 .9已知等比数列 na各项都是正数，且 42a， 34a，则 n前 10 项的和为 . 10在ABC 中，角 ,ABC所对的边分别是 ,bc， 22c，则角 C 的取值范围是 . 11已知点 P 在直线 21yx上，点 Q 在曲线 lnyx上，则 P、Q 两点间距离的最小值为 . 12如图所示为函数 sinf( 0,2)的部分图象,其中 ,AB分别是图中的最高点和最低点，且 5AB， 那么的值 . 13已知点 P在椭圆2195xy上，且点 P不在 x轴上， ,AB为椭圆的左、右顶点，直线 A与 轴交于点 C，直线
3、 ,B的斜率分别为 ,BCPk，则 2BCPk的最小值为 . 14已知向量 ,abc满足 |2b， |1c， ()0acb，则 ab的取值范围是 . xyO12AB二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知 (cos,in)(cos2,in),(01).abc（I）若 b/，求角 ；（II）设 (),fc当 (0,)2时，求 ()f的值域 .16 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA 平面 ABCD，BD 交 AC 于点 E，F 是线段 PC 中
4、点，G 为线段 EC 中点（I）求证：FG/平面 PBD；（II）求证：BDFG17. （本小题满分 14 分）如图， 1l、 2是通过某城市开发区中心 O的两条南北和东西走向的街道，连接 M、 N两地之间的铁路线是圆心在 上的一段圆弧若点 M在点 正北方向，且 3MOkm，点 到 1l、 2的距离分别为4km和 5（）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（）若该城市的某中学拟在点 O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点 的距离大于 4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于 26，求该校址距点 O的最近距离（注：校址视为一个点） .18 （本小题满分 16 分）设椭圆21
5、(0)xyCab：的离心率为 63，左焦点到左准线的距离为 1.（I）求椭圆 的方程；（II）设直线 1l： k( )交椭圆 C于点 ,AB，且点 在第一象限内.直线 1l与直线 2l：6x交于点 D，直线 3l： x与椭圆 在第一象限内交于点 M.（1）求点 ,AB的坐标（用 表示） ；（2）求证：直线 ,M的斜率成等差数列.19(本小题满分 16 分)设数列 na的前 n 项和为 nS，且 2(1)nnaS.（I）求 1；（II）求证：数列 1nS为等差数列；（）是否存在正整数 m，k，使 19kmaS成立？若存在，求出 m，k；若不存在，说明理由.20 （本小题满分 16 分）已知函数
6、()2lnfxax，常数 aR.（I）求 的单调区间；（II）若函数 ()fx有两个零点 1x、 2，且 12x.（1）指出 a的取值范围，并说明理由；（2）求证： 3128a.常青藤实验中学高三阶段性检测数学（理科）加试试卷21.已知矩阵 12bMc有特征值 14及对应的一个特征向量 123e.（1）求矩阵 ；（2）写出矩阵 的逆矩阵. 22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合.若直线 l的极坐标方程为sin()324.已知点 P在椭圆 C：2169xy上，求点 P到直线 l的距离的最大值.23.已知 211,3nnaa.（1）求 23,的值；（2）求证：
7、n.24.已知动圆 C 过点 (1,0)且与直线 1x相切.（1）求动圆圆心 C 的轨迹 E 方程；（2）设 ,AB为轨迹 E 上异于原点 O 的两个不同点，直线 ,OAB的倾斜角分别为 ,，且 45.当 ,变化时，求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.13已知点 P在椭圆2195xy上，且点 P不在 x轴上， ,AB为椭圆的左、右顶点，直线 PA与 y轴交于点 C，直线 ,B的斜率分别为 ,BCk，则 2BCPk的最小值为 . 102914已知向量 ,abc满足 |2b， |c， ()0acb，则 ab的取值范围是 . 一、 填空题（每小题 5 分）1、 (,)2 2、-3 3、 12
8、4、 2 5、1 6、 2,) 7、6 8、8 9、1023 10、 (0,3 11、 12、 76 13、 09 14、 二、 解答题15、解：（I） abAcosin2sico2sin,kZ. 7 分（II） ()()4f 12 分0,23(,)42cos,()f的值域为 1,.14 分16、证明：（）连接 PE， G.、F 为 EC 和 PC 的中点， ，平 面，平 面 PBDEPB,/GEFFG/平面 PBD6 分（II）因为菱形 ABCD，所以 AC，又 PA面 ABCD， B平面 ACD，所以BDPA，因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 P，平面 C，BDFG 14 分17、解：
9、（）分别以 2l、 1为 x轴， y轴建立如图坐标系据题意得 (0,3)4,5MN，53,40MNk(,4)N中 点 为线段 的垂直平分线方程为： 2()yx） ，故圆心 A 的坐标为（4，0） ， 5302r则， 弧 N的方程：2(4)5xy（0x4，y3）8 分（）设校址选在 B（a ，0） （a4） ， . 40,26)(2则则则 xya整理得：2(8)17x，对 0x4 恒成立（） 令 )fa4 82 ()fx在0，4 上为减函数要使（）恒成立，当且仅当2 5()0(-)4170aaf即 解 得，即校址选在距 O最近 5km 的地方 14 分18、解：（I）椭圆216xyC：4 分（I
10、I） （1）由 2()3ykx2223(5)(35)1,kkA222()(),1313Bkk10 分（2）由 2136xy5(,)M11 分由 ()(,5)kxDk,1365MDk12 分2 222(31(5)(3)35)3(1MA kkkk222(3)15(5)(3)53(1MBkkkk k因为 AB2222225 5(35)1(3)()1(35)1(3)()1kkkk 22()(5)23115MDkk直线 ,MADB的斜率成等差数列. 16 分19、解：（I）n=1 时， 211(),a2a2 分（II） 2()nnS 时 1()()nnnSS 1nnS11nn 1-nn11-nnnnnS
11、S为定值， 1nS为等差数列10 分（） 12a2()nnS1()nnSa12 分假设存在正整数 m，k，使 9km则 2(1)()19k24()(1)765k(23)(2)723km751或 31k或 15km8km或 65或 42m.16 分20. 解：（I） 0a时， ()lnfxax（ 0）()1fx在 (0,)递增；2 分 0a时， 2l,2()nxxafa1,(),2xfxa()fx在 0,2)递减，在 (2,)a递增。综上， 0时 ()f在 ,)递增；a时 x在 2a递减，在 (2,)a递增。 4 分（II） （1）由（I）知 ，此时 )fx在 0递减，在 (2,)a递增，由题，
12、首先 (lnf18 分下证 2a时 ()fx在 0,2)a和 ,)各有一个零点： 12ae时， ()ln(1l)0faa， (2)0fa1(,2)xa332()l5f e 32e e时， ()2l()f e， ()f1,)x2 22()|ln|aaf ea令 ()pe， (0pe，所以 2()0epa22()afa令 ()qee， 2(4aqe()e，2()40a2)1)0所以 2( (1ee5(e即 2(afe2)fa2,)ax,得证。综上， .2a10 分（2）要证 318，因为 1(0,)x，只要证 24x，即证 2(4)0fa事实上， 22(4)|ln4fa，因为 a22()ln2la
13、令 2 1()llg8n4(1)82ln4l1()2a()a0所以 ga在 (,)递增()2g= ll0(g在 ,)递增11n42，所以 240fa. 3128xa.16 分常青藤实验中学高三阶段性检测数学（理科）加试参考答案21.解：（1）由题知， 12bc3=423861bc4 分23bcM6 分（2） 1234M10 分22.解：直线 l的极坐标方程为 sin()324，则 2sincos32sincos6yx60y4 分设 (4,3i)p，其中 0,2)点 P到直线 l的距离 |4cs3in|5cos()6|2d，其中 cos5所以当 cos()1时， 的最大值为 1210 分23.解：（1） 2937a， 34936a4 分（2）n=1 时，3=1+2 成立假设 *()nkN时， 2k1时， 21()1k kaa0ka()2()k11(2)()kkn时结论成立。综上：由知： na . 10 分24.解：（1） 24yx4 分（2）设 OA： k（ (0,1)）tant5OB kk, 1:kOByx
