1、一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。1 一阶常微分方程组的首次积分1.1 首次积分的定义从第三章我们知道， 阶常微分方程n， （ 1,nyxfy1.1）在变换（ 112,nyy1.2）之下，等价于下面的一阶微分方程组（ 112212,.nnndyfxydyfxy1.3）在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“
2、可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。例 1 求解微分方程组（ 1.4）2 21, 1.dxdyyxyt t解：将第一式的两端同乘 ，第二式的两端同乘 ，然后相加，得到x， 22t。211dyxydt这个微分方程关于变量 t 和 是可以分离，因此不难求得其解为x， （ 1.5）122Ceyt为积分常数。 （ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。1C注意首次积分（ 1.5）的左端 作为 x， y，和 t 的函数并不等于常,Vxyt数；从上面的推导可见，当 时微分方程组（ 1.4）的解时，(),()t才等于常
3、数 ，这里的常数 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二,Vxyt1C1C阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。将第一式两端同乘 ，第二式两端同乘 ，然后用第一式减去第二式，得yx到，2ydtx即，2xty亦即。1arctndx积分得， （ 1.6）2arctnCtxy其中 为积分常数。2C利用首次积分（ 1.5）和（ 1.6）可以确定（ 1.4）的通解。为此，采用极坐标 ，这样由（ 1.5）和（ 1.6）推得cos,inxryr2121,.teCtr或 .tt221,因此我们得到方程组（ 1.4）的通解为， . （ 1.7）
4、teCx21costeCy21sin例 2 求解微分方程组 （ 1.8）,.duvwtduvt其中 是给定的常数。0解 利用方程组的对称性，可得,0duvdwttt从而得到首次积分, （ 1.9）221C其中积分常数 。同样我们有10C,2220duvdwttt由此又得另一个首次积分, （ 222C1.10）其中积分常数 。有了首次积分（ 1.9）和（ 1.10） ，我们就可以将 u 和 v20C用 w 表示，代入原方程组（ 1.8）的第三式，得到, （ 22dwaAwbBt1.11）其中常数 a，b 依赖于常数 ，而常数12C和0,0.AB注意（ 1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得
5、到第三个首次积分, （ 1.12）322()dwtCab其中 是积分常数。因为方程组（ 1.8）是三阶的，所以三个首次积分（ 1.9） 、3C（ 1.10）和（ 1.12）在理论上足以确定它的通解123123123,.utCvtCwtC但是由于在式（ 1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。现在我们考虑一般的 阶常微分方程n， , （ nii yxfdy,21ni2,11.13）其中右端函数 在 内对 连续，而且对ni yxf,21 1nRD12,nxy是连续可微的。ny,21定义 1 设函数 在 的某个子域 内连续，而且对12,nVxy G是连续可微的。又设 不为常数，
6、但沿着微分方程12,nxy 12,ny（ 1.3）在区域 G 内的任意积分曲线12:,nyxxxJ函数 V 取常值；亦即， 12,nyC 常 数或当 时，有12(,)nxy=常数， 12,nVxy这里的常数随积分曲线 而定，则称=C （ 1.14）12,n为微分方程（ 1.13）在区域 G 内的首次积分。其中 C 是一个任意常数，有时也称这里的函数 为（ 1.13）的首次积分。12,nVxy例如（ 1.5）和（ 1.6）都是微分方程（ 1.4）在某个区域内的首次积分。这里对区域 G 有限制，是要求首次积分（ 1.5）和（ 1.6）必须是单值的连续可微函数。因此区域 G 内不能包括原点，而且也不
7、能有包含原点的回路。同理，式（ 1.9） 、 （ 1.10）和（ 1.12）都是方程（ 1.8）的首次积分。对于高阶微分方程（ 1.1） ，只要做变换（ 1.2） ，就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到 n 阶方程（ 1.1） 。而其首次积分的一般形式可以写为。 （ 1.15）1,nVxyC例如，设二阶微分方程组，2si0daat为 常 数用 乘方程的两端，可得dxt，2sin0dxdxatt然后积分，得到一个首次积分。21cosxxCdt一般的， 阶常微分方程有 个独立的首次积分，如果求得 阶常微分方程nnn组的 个独立的首次积分，则可求 阶常微分方程
8、组的通解。1.2 首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。定理 1 设函数 在区域 G 内是连续可微的，而且它不是12,nxy常数，则（ 1.16）12,nyC是微分方程（ 1.13）在区域 G 内的首次积分的充分必要条件是（ 1.17）10nffxyy是关于变量 的一个恒等式。12,nxy这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（ 1.13）首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数是否是微分方程（ 1.13）在 G 内的首次积分，我们需要知道12,nVxy（ 1.13）在 G 内的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理 1
9、避免了这一缺点。定理 2 若已知微分方程（ 1.13）的一个首次积分（ 1.14） ，则可以把微分方程（ 1.13）降低一阶。设微分方程组（ 1.13）有 n 个首次积分， （ 12,1,2i ixyCn 1.18）如果在某个区域 G 内它们的 Jacobi 行列式， （ 1.19）12,0nDy则称它们在区域 G 内是相互独立的。定理 3 设已知微分方程（ 1.13）的 n 个相互独立的首次积分（ 1.18） ，则可由它们得到（ 1.13）在区域 G 内的通解， （ 12,1,2ii nyxCi 1.20）其中 为 n 个任意常数（在允许范围内） ，而且上述通解表示了微分12,C方程（ 1.
10、13）在 G 内的所有解。关于首次积分的存在性，我们有定理 4 设 ，则存在 的一个邻域 ，使得微分001,npxy 0p0G方程（ 1.13）在区域 内有 n 个相互独立的首次积分。定理 5 微分方程（ 1.13）最多只有 n 个相互独立的首次积分。定理 6 设（ 1.18）是微分方程（ 1.13）在区域 G 内的 n 个相互独立的首次积分，则在区域 G 内微分方程（ 1.13）的任何首次积分=C， 12,nVxy可以用（ 1.18）来表达，亦即，121212,n nnnVxyhyxy 其中 是某个连续可微的函数。*h为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（ 1.3）改写成对称的
11、形式，121ndydyxff这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写成（ 12122112, ,nnnndydydyYYY 1.21）并设 内部不同时为零，例如如果设 则（ , nGR 在 区 域 0,nY1.21）等价于。 （ 1.22）12,1,2,ininYydi 请注意，式（ 1.22）中的 相当于自变量， 相当于未知函数，,1ixn所以在方程组（ 1.21）中只有 n-1 个未知函数，连同自变量一起，共有 n 个变元。不难验证，对于系统（ 1.21） ，定理 1 相应地改写为：设函数连续可微，并且不恒等于常数，则 =C 是（ 12,ny 2,ny1.21
12、）的首次积分的充分必要条件是关系式12121212, ,0nnnnnYyyYyy （ 1.23）在 G 内成为恒等式。如果能得到（ 1.21）的 n-1 个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（ 1.21）的通积分。方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。例 3 求 的通积分。dxyz解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分（ 1.24）21xyC其中 是任意常数，再用比例的性质，得1C，dxyz两边积分，又得到一个首次积分， （ 1.25）2Cz其中 是任意常数。 （ 1.24）和（ 1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到2C原方程组得通积分， .
13、21xy2xyz例 4 求 的通积分。ddzcybzacba解 利用比例的性质，可以得到.00xzxyzdaxbycdzcyzc于是有,.xdyzabc分别积分，就得到两个首次积分2212,.xyzCxyzC将它们联立，就得到原系统的通积分，其中 为任意常数。和例 5 求解二体问题，即求解方程组2322322320,0.dxxtyztxdzzty其中常数 是相对静止的这个天体的质量。现在求二,GM是 引 力 常 数 ，体问题的运动轨线。以 x 乘第二式两边，以 y 乘第三式两边，然后相减，得220,dzztt即，zydtt积分便得到（ 1.26）1,zyCt这里 是任意常数，用类似的方法，可以
14、得到1C23,.dxztyC4.1278其中 都是任意常数。分别用 x、 y、 z 乘（ 1.26） ， （ 1.27）和（ 1.28）23,C的两边，然后三式相加，得到（ 1.29）1230.C这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹 位于（ ,xtytzt1.29）所表示的平面内。因此二体问题的轨迹是一条平面曲线。重新选取坐标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（ x， y）平面，于是二体问题的运动方程是2322320,.dxtytx 4.130.由这两式可以看到，22 3220dxydyxttt上式可以写成22122,xyxydtdtt两边积分，得到一个首次积分22122.xyxyAtt其中
15、 A 为积分常数。引入极坐标 ，经过简单的运算，上式cos,sinrr可以写成（ 1.32）22.drAttr另一方面，以 y 乘（ 1.30） ，以 x 乘（ 1.31） ，然后两式相减，得，220dytt即，yxdtt积分后得到另一个首次积分，xyBt化成极坐标，便得。 （ 1.33）2drt设 ，则由（ 1.32）和（ 1.33）解得0B，22BAdr不妨把“ ”与 B 合并，仍记为 B，则上式可以写成， （ 22BdrdA1.34）记 ，则上式没有意义，故总设 。将（ 1.34）积分，2,0AB若 0得到0arcos.B这里 又是一个积分常数。从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程0。
16、（ 201cosBr1.35）由平面几何知道，这是一条二次曲线。它的离心率是。0B当 时，轨迹为一个椭圆；当 时，轨迹为一个抛物线；当 时，轨迹111为一双曲线。由（ 1.35）可知， r 依赖于常数 ，其中 是系统常,AB和 GM数；A 和 B 由初始条件 确定。00,tttdr和如果 ，则由（ 1.33）知 等于常数，这表0()t即 0,dtt示运动的轨迹是一条射线，这是显然的事。这个例子说明，虽然二体问题的解 x=x（t）和 y=y（t）没有求出来，但是利用首次积分，却完整地求出了运动的轨迹方程。2 一阶齐次线性偏微分方程下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。2.1
17、 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为，0, 21221121 nnnn xuxAxuxAuxA 或简记为， （ 2.1）0,12ini nx其中 为 的未知函数 。假定系数函数unx,21 12,nA是连续可微的，而且它们不同时为零，即在区域 D 上有,nxD对。 12,0niniAx注意微分方程组（ 2.1）是线性齐次的。对于偏微分方程组（ 2.1）, 我们考虑一个对称形式的常微分方程组， （ nnnn xAdxAdxAd , 212121 2.3）它叫做（ 2.1）的特征方程，注意特征方程（ 2.3）是一个（n-1）阶常微分方程组，所以它有 n-1 个首次积分。 （ 2.4）
18、12, 1,2inixC 我们的目的是通过求（ 2.3）的首次积分来求（ 2.1）的解。( 2.1)的解与( 2.3)的首次积分之间的关系有如下的定理定理 1 假设已经得到特征方程组( 2.3)的 个首次积分( 2.4)， inix,211,2ni则一阶偏微分方程( 2.1) 的通解为( 2.5)12122112, ,nnnnnuxx x 其中 为一任意 元连续可微函数。证明 设（ 2.6）12,nxC是方程（ 2.3）的一个首次积分。因为函数 不同时为零，所以在局12,nA部邻域内不妨设 ，这样特征方程（ 2.3）等价于下面标准形12,0nnAx式的微分方程组（ 2.7）11,.nnnnAx
19、dxdx 因此（ 2.6）也是（ 2.7）的一个首次积分，从而有恒等式，10niiAxx亦即恒有。 （ 1,ninix2.8）这就证明了（非常数）函数 为方程（ 2.3）的一个首次积分的充12,nx要条件为恒等式（ 2.8）成立。换言之， 为方程（ 2.3）的一个12,nx首次积分的充要条件是 为偏微分方程（ 2.1）的一个（非常12,nux数）解。因为（ 2.4）是微分方程（ 2.3）的 n-1 个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）n-1 元函数 ，1212,nnnxxC 就是（ 2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（ 2.5）是偏微分方程（ 2.1
20、）的一个解。反之，设 是偏微分方程（ 2.1）的一个（非常数）解，则12,nux是特征方程（ 2.3）的一个首次积分，因此，根据首次积分12,nuxC的理论得知，存在连续可微函数 ，使恒等式11,n12212, ,n nnuxxx 成立，即偏微分方程（ 2.1）的任何非常数解可以表示成（ 2.5）的形式。另外，如果允许 是常数，则（ 2.5）显然包括了方程（ 2.1）的常数解。因此，公式( 2.5) 表达了偏微分方程组（ 2.1）的所有解，也就是它的通解。例 1 求解偏微分方程（ ）. （ 0xzyxzy 02y2.9）解 原偏微分方程( 2.9) 的特征方程为yxd它是一阶常微分方程组，求得
21、其一个首次积分为,Ceyxxyarctn2由定理 1 知，原偏微分方程的通解为,xyzarctn2,其中 为任意可微的函数。例 2 求解边值为题（ 0,01,.ffxyzxyzz2.10）解 原偏微分方程（ 2.10）的特征方程为,zdyx由 ; 1,dC得再由 .2,2lnyzyz得故方程的通解为（ 2.11）zyxzyxf l, 其中 为任意二元可微的函数，可由边值条件确定, 因为，1ln2,1,f xyx2,令 ，则 ，yx2x，4,22y。,2代入（ 2.11）式，得到zyxzyxf ln2, 2ln4l zyxz.16ln2l2zy2.2 一阶拟线性非齐次偏微分方程下面讨论一阶拟线性
22、非齐次偏微分方程uxB xuxAxuxAAn nnn, ,21 212211 （ 2.12）的求解方法。式（ 2.12）中函数 是连续可微的。这1 1, ,n nABxuG 和 关 于 变 元里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的，各个系数， 中可能含有未知函数 ，而“非齐次”是指存在uxAni,21 i,2不含未知函数偏导数的自由项 。和一阶线性偏微分方程uxBn,21（ 1201212, ,ninnnixxxu 2.13）相比较，显然式拟线性方程（ 2.12）比线性方程（ 2.12）更广泛。我们将求解（ 2.12）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设 CuxVn,21是（
23、 2.12）的隐函数形式的解，且 ，则根据隐函数微分法得0， （ uVxiini,212.14）将（ 2.14）代入（ 2.12）中，经过整理得（ 12211 22,0.n nnnVVAxuAxuxB 2.15）由此，可以将 视为关于 的函数， （ 2.15）变成了关于未知函数Vuxn,21的一阶线性齐次偏微分方程。于是函数 应是方uxn,21 uxVn,21程（ 2.15）的解。反过来，假设函数 是（ 2.15）的解，且 ，则由（ uxn,21 02.15）和（ 2.14）可以推出由方程=0Vn,21所确定的隐函数 是方程（ 2.12）的解。这样求解方程（ 12,nux2.12）的问题就化成
24、了求解（ 2.15）的问题。为了求解（ 2.15） ，先写出其特征方程组为.（ uxBduxAduxAduxAd nnnnn , 21212121 2.16）式（ 2.16）可化为 个常微分方程，求得它的 个首次积分为， ini C,21,i就得到（ 2.15）的通解为uxuxuxuxV nnnn , 21212121 （ 2.17）其中 是所有变元的连续可微函数。我们将（ 2.16）称为方程（ 2.12）的特征方程组。上述过程写成定理就是定理 设函数 和 在区域12,;1,2inAxuin 12,;nBxu 1nGR内连续可微， 在 G 内不同时为零，设 是（ 0,;Vx1.25）的一个解，
25、且 必是方程（ 2.12）的一个隐0012,;nVxuu则式解。反之 是（ 2.12）的一个隐式解，并且 12,;nx ,u，必是（ 2.15）的某个解则 从 它 确 定 的 函 数 12,nx，使012,;nVxu01212,;,0.nnVxux 一阶线性非齐次偏微分方程（ 2.13）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（ 2.12）的解法相同。例 4 求解. （ 2.18）21yzxz解 原一阶拟线性非齐次偏微分方程 的特征方程为18.5,21dzyxzd故由 ，积分后得 ，求得一个首次积分 ,再利用合比21dzy12Cyzy21定理，有,dyxzd积分后得 ，故求
26、得另一个首次积分为22Cyxzy,yxzy所以（ 2.18）的通解为.02,z例 5 求解. （ 12,nuuxxm2.19）解（ 2.19）式为线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特例，其特征方程为,mudxdxn21分别积分，得 个首次积分n.mnnxx111321 ,故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为,0,1132mnxux其中 是各个自变量的连续可微函数，解出 得显式通解u.131221 , xFxxunmn习题四1 求解下列偏微分方程（1） 21 0,.kyyxxk（2） ,uuzyz（3） 2220.hhhabcacbac2 求解下列初值问题（1） （2）0,1,uuxyz当 时 。 20,1,.zxyf当 时 。3 求解下列偏微分方程的通解。（1） （2）23.uxyzx3443329.zzxyyxxy4、求解：0,1,.fffyzx当 时
