1、广东省阳江市第一中学 2015 届高三 12 月“六校”联考数学（理）试题一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把答案填在答题卷相应位置上）1已知集合 ，则 （ ）RxyNxM,2,2 MNA B C D（,010)101,0(2.已知平面 、 ,则下列命题中正确的是（ ） A ba， 则， B ， 则， C a， 则， D ， 则， 3已知命题 ： ， ；命题 ： ， .则下列判断正确的是（ ）p0x4q0xR021xA 是假命题 B 是真命题C 是真命题 D 是真命题()q()p4在 B中， 90，且 3CA，点
2、M满足 =2 则 等于（ ） BACMBA 2 B 3 C D 6 5一个棱锥的三视图如图（单位为 cm），则该棱锥的全面积是 （单位：cm 2）A、4+2 B、4+ 6 6C、4+2 D、4+ 2 26函数 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 上，其中log(3)1(0,1)ayxa且 10mxnym，n 均大于 0，则 的最小值为（ ）nA2 B4 C8 D16 7已知函数 的导函数图象如图所示，若 为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）fxBCA BsincossincosfAfC. D 来iffc8设等差数列 的前 项和为 ，在同一个坐标系中，nanS及 的部分图象如图所示，则
3、（ ）nafSgA.当 时， 取得最大值 B.当 时， 取得最大值4n3nC.当 时， 取得最小值 D.当 时， 取得最小值二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）请把答案填在答题卷相应位置上9.设复数 ，则 _1izz 0.7-0.4-0.8 O nan(Sn) 7 81xy10.已知数列 满足 ，则数列 的前 n 项和为 na123nn 1na11. 已知 ， 满足条件 若目标函数 (其中 )仅在点 处取得最大xy60,2.xyzxy0a(2,)值，则 的取值范围是 a12. _ sind13. 设 是两个非零的平面向量，
4、有下列命题：,b 若 ，则有 ； ；0a=+=abab 若存在实数 ，使得 ，则 ；若 ，则存在实数 ，使得 . ab+=ab请填上所有正确的命题是_（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题。请把答案填在答题卷相应位置上。14在极坐标系中,曲线 与 的公共点到极点的距离为_cos1cs15如图，已知圆中两条弦 与 相交于点 ，ABCDF是 延长线上一点,且 ，EAB2F,若 与圆相切，:24:FE则线段 的长为 C三、解答题（本大题共 5 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 是
5、的中点。PABCDPABCDEP（1）证明： /平面 ；E（2）设 ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离.,3PB34VFA ED BCBEDAC17(本小题满分 13 分)已知函数 .21cos)6cs(inxxxf（I）求函数 的单调递增区间和对称中心。)(（II）在 中，角 的对边分别为 ，若 求 的最小值.ABC, ,ba3,21)(cbAfa18 （本小题满分 13 分）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2，又 AA1平面 ABC；D，E 分别是 AC，CC 1 的中点。（1）求证：AE平面 A1BD；（2）求二面角 D-BA1-A 的余弦值；（3）求点 B1 到
6、平面 A1BD 的距离。19 （本小题满分 14 分）已知单调递增的等比数列 满足： ,且 是 , 的等差中项。 na28432a32a4（1）求数列 的通项公式;n（2）若 , ，求 成立的正整数 n 的最小值。nb21lognbbs21 501ns20 （本小题满分 14 分）已知函数 (1)()ln.axfx（1）若函数 0,在 上为单调增函数，求 a 的取值范围；（2）设 , :.ln2mnmR且 求 证21 （本小题满分 14 分）设函数 ， 为曲线 ： 在点 处的切线.21563fxxLCyfx1,2（）求 的方程；L（）当 时，证明：除切点 之外，曲线 在直线 的下方；1,2L（
7、）设 ，且满足 ，求 的最大值.123,xR13x123fxffx“六校”2015 届高三联考数学（理科）答案与评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D C B A C B A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9.10. 11. 12.0 13. 14. 15.22n3,25172三、解答题16. 解：（I）设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又E 为 PD 的中点，所以 EO PB.-3 分EO 平面 AEC，PB 平面 AEC
8、, -5 分所以 PB平面 AEC. -6 分（）V .-7 分1366PABDA由 ，可得 .-8 分342作 交 于 。H由题设知 平面 ，所以 ，故 平面 。-10 分CCHPBC又 .所以 A 到平面 PBC 的距离为 .-12 分PAB133117.解：(I)2 211()sincosincossincos2fxxxxx.5 分 131si2i464单增区间为 ，-6 分6.kZ对称中心 ， -7 分412(II)由题意 ,1()sin642fA化简得 1si.62-8 分,0, 3(,), 56A, .3A -9 分在 ABC中,根据余弦定理 ,得 bcbca)(os222 .-1
9、0 分由 ,知 ,-11 分3bc294bcEDAPHO即 . 当 时, a取最小值 . -13 分294a32bc3218 解：（ 1）以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，过 D 作 AC 的垂线为 y 轴，DB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，-1 分则 A（1，0 ，0） ，C(-1,0,0), E(-1,-1,0) ,A1(1,-2,0), C1(-1,-2,0), B(0,0, ), B1(0,-2, )33=(-2,-1,0), =(-1,2,0), =(0,0,- ) ,ED = 2-2+0 = 0 , =01AEDAEA 1D ,AEBD ,又 A1D 与 BD 相
10、交与 D。AE平面 A1BD-5 分（2 ）设平面 DA1B 的一个法向量为 11(,)nxyz由 得 取 -7 分10n1203xyz12,0设平面 A1AB 的一个法向量为 ,易得22(,)nxyz11(,23),(0,2)ABA由 得 取 -9 分210nB230xy1(3,)cos = = ,故二面角的余弦值为 -10 分12,6515（3 ） =(0,2,0), 平面 A1BD 的一个法向量取 ,1B 1(20)n则点 B1 到平面 A1BD 的距离为 -13 分1|Bd519. 解：(I)设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，-11 分依题意，有 2(a3+2)=a2+a4,
11、代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8,a 2+a4=20 -2 分 解之得 或 -5 分1208aq1q12又a n单调递增，q=2,a 1=2, -6 分n(II)12lognnb, -7 分3.2nns 234 112.()2nns -9 分-得1.n 12nn-11 分150,n即150,n-13 分故使 2s成立的正整数 n 的最小值为 5 . -14 分20. 解：（I） 2()(1)()axf-1 分221.()()x-2 分因为 0,f在 上为单调增函数，所以 ()0(,)fx在 上恒成立.-4 分即 x2 + (2-2a) x + 1 0 在（0，+）上恒成立，当 x（
12、0，+）时，由 x2 + (2-2a) x + 1 0 得 2a-2 , -6 分1而当 x（0，+）时 2 当且仅当 时，即 x=1 时有最小值 2，x所以 2a-22,即 a2,所以 a 的取值范围是 (,2.-7 分（2）不妨假设 ,要证 只需证nm,ln2m)lnlmn即证2(1)l.只需证(1l0.-9 分()()ln.1xhx设由（I）知 (),)hx在 上是单调增函数， -10 分又 1m， 所以 即 成立-12 分()0,h21ln0m所以 .ln2-14 分21.解（） .所以 .22106()53)xfx1()24f所以 L 的方程为 ，即 -3 分(4yyx（）要证除切点
13、 之外，曲线 C 在直线 L 的下方，只需证明 ，1(,)2 1(,)(,)5x恒成立 .因为 ，215634xx251630x所以 只需证明 ， 恒成立即可-5 分(,1)(,)37x设 则 .32()7 .5gxx 2(15(1)7gxx令 ，解得 ， . -6 分0x127当 在 上变化时， 的变化情况如下表(,5(),x(,1)7(1,)5-71(,)5-)g+ 0- 0+( 极小 0所以 ， 恒成立. -8 分1(,)(,)5x3271xx（） （）当 且 时，12,53由（）可知： ，11()6242fxxx， . 22()51634fx 3 331()5624f x三式相加，得 .因为 ，2312()()8fxffxx1所以 ，且当 时取等号 - 11 分114f 3（）当 中至少有一个大于等于 时，23,x5不妨设 ，则 ，15 2 2211818563(5()0xx)因为 ， ，2 286()5x 3316x所以 123()014fffx综上所述，当 时 取到最大值 .-14 分23()()fxffx4
