1、广东省五校 2015 届高三联考数学理试题本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
2、是符合题目要求的.1已知 2 |40 Ax， 2 |1 Bx，则 AB（ ）A B 1,5 C 1 D ,52设条件 p： 0a；条件 q： 02a，那么 p 是 q 的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知双曲线 ),(12byax的离心率为 62，则双曲线的渐近线方程为A y B x C xy D 12yx 4下列命题不正确的是A 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B 如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
3、D 如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直. 5已知函数 0,cos12xxf则下列结论正确的是 （ ）A. f是偶函数 B. xf的值域为 ,1开始 2,1Sk03k否1k是 输出 S结束SC. xf是周期函数 D. xf是增函数6在ABC 中，AB=2 ，AC=3， 1BCA，则 _.A. 3 B. 7 C. 2 D. 237节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的 4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 （ ）A 14B 1C 3D 7
4、88在空间中,过点 作平面 的垂线,垂足为 B,记 )(Af.设 ,是两个不同的平面,对空间任意一点 P, ),(21 PfQf,恒有 21Q,则 （ ）A平面 与平面 所成的( 锐)二面角为 045 B平面 与平面 垂直 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐) 二面角为 06 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分，满分 30 分）(一)必做题(9 13 题)9. 复数 12i的值是 10.若数列 na满足： 11,()2nnaN，其前 项和为 nS，则 4 11. 执行如图的程序框图，那么输出 S的值是 .12. 已知不等式组02,xyk所表示的平面区
5、域的面积为 4，则 的值为 _.13将 FEDCBA,六个字母排成一排,且 BA,均在 C的同侧,则不同的排法共有_种(用数字作答)(二)选做题(14 15 题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)14 （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 1:C 2xtay（ t为参数） ，曲线 2:Ccosinxy（ 为参数）.若曲线 1、 2有公共点，则实数 a的取值范围_15 （几何证明选讲）如图，点 ,ABC是圆 O上的点,且 2,6,120ABC,则 对应的劣弧长为 三、解答题:本大题共 6 小题 ,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本题满分 12
6、分）在平面直角坐标系下，已知 (2,0)A， (,)B， (cos2,in)Cx， (fxABCur（1）求 ()fx的表达式和最小正周期；（2）当 02时，求 ()fx的值域。17 （本题满分 12 分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 50,4， 6,10,9后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：()求分数在 7,8内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（）若从 60名学生中随机抽取 2人，抽到的学生成绩在 ,4记 分，在 80,6记
7、 1分，在 1,8记 2分，用 表示抽取结束后的总记分，求 的分布列和数学期望.18 （本题满分 14 分）如图，ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，DC 平面 ABC , 2AB，第 17 题图第 15 题图OBCA已知 AE 与平面 ABC 所成的角为 ,且 3tan2（1）证明：平面 ACD 平面 ADE；（2）记 ACx， ()V表示三棱锥 ACBE 的体积，求 ()Vx的表达式；（3）当 ()取得最大值时，求二面角 DABC 的大小19 （本题满分 14 分）已知数列 na中， 13， 25a，其前 n项和 nS满足 123nnS ，令 1n
8、nba（1）求数列 n的通项公式；（2）若 12xf，求证： 1216n nTbffbf （ n ）.20 （本题满分 14 分）已知椭圆 1C的中心在坐标原点，两个焦点分别为 1(2,0)F， 2,，点 (2,3)A在椭圆 上，过点 A的直线 L与抛物线 2:4Cxy交于 BC,两点，抛物线 在点B,处的切线分别为 12l,，且 1l与 2交于点 P.(1) 求椭圆 1C的方程；(2) 是否存在满足 1212PFAF的点 ? 若存在，指出这样的点 P有几个（不必求出点 的坐标）; 若不存在，说明理由 .21 （本题满分 14 分）已知函数 ()e,xfR. (1) 求 f(x)的反函数的图象
9、上图象上点(1,0) 处的切线方程; (2) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 21yx有唯一公共点. (3) 设 ab, 比较 2abf与 ()fa的大小, 并说明理由.数学（理科）参考答案一、选择题：（每题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 A A C D B A C B二、填空题（每题 5 分，共 30 分）9 32i 10 1 11. 2 121 13480 14 5a （ 或 5, ） 15 2 三、解答题:本大题共 6 小题 ,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本题满分 12 分）解: 解：（1） (2,)ABur
10、， (2cos,in2)Cxur 1 分 ()fx,)cosin)x 4xsin(2)4x, in()4, 6 分 ()fx的最小正周期为 2T, 8 分（2） 0 344x 1)42sin(x 2)(xf所以函数 ()f的值域是 ,. 12 分17 （本题满分 12 分）()设分数在 70,8内的频率为 x，根据频率分布直方图，则有 .152.0.5)1，可得 3x，所以频率分布直方图如右图所示.4 分（求解频率 3 分，画图 1 分）（）平均分为： 450.1.560.175.380.259.71x 7 分（）学生成绩在 ,的有 .2人，在 ,6的有 .4602人，在 10,8的有 .36
11、018人.并且 的可能取值是 0,1234. 8 分则215607()8CP；152760()8CP； 125760()9；127860(3)CP；218605(4)9CP.所以 的分布列为0 1 2 3 4P7182780759819519011 分720710342.118592590E12 分18 （本题满分 14 分）解:（）证明：四边形 DCBE 为平行四边形 /CDBE， /-1 分 DC 平面 ABC , B平面 ABC -2 分AB 是圆 O 的直径 A且 BC平面 ADC DE/BC DE平面 ADC -3 分又 平面 ADE 平面 ACD 平面 DE-4 分（2） DC 平
12、面 ABC B平面 ABC EA为 AE 与平面 ABC 所成的角，即 AB -5 分在 RABE 中，由 3tan2EA, 得 3-6 分在 RABC 中 24CBx（ 0） 2142ABCSx-7 分OEDBCAyzxACBDEO 1()3CABECABVxSE2346x（ 0x）-8 分（3）由（2）知 02要 ()x取得最大值，当且仅当 224()xx取得最大值，2224()-9 分当且仅当 22x，即 x时， “”成立，当 ()V取得最大值时 AC,这时ACB 为等腰直角三角形-10 分解法 1：连结 CO，DOAC=BC,DC=DC RtD tB AD=DB 又O 为 AB 的中点
13、 ,COADB 为二面角 DAB C 的平面角-12 分在 t中 12, 3E an3, = 60即当 ()Vx取得最大值时，二面角 DABC 为 60-14 分解法 2：以点 O 为坐标原定， OB 为 x 轴建立空间直角坐标系如图示：则 B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1, 3)， (0,13)(,0DB,平面 ABC 的法向量 )C，-11 分设平面 ABD 的法向量为 (,mabc由 ,mOBD得 03令 1c，则 3b (,1)-12 分设二面角 DABC 的大小为 ，则 31cos2|mCD 60,即二面角 DAB C 的大小为 60-14 分19 （本题满分 14 分
14、）解：【解】（1）由题意知 1123nnnSS 即 123nna -2 分 32naa -3 分12215123nn n -6 分检验知 、 时，结论也成立，故 2na -7 分（2）由于 11 11 122nnn nnn nbf -9 分故 12 22311212n n nTbffbf -11 分11226n -14 分20 （本题满分 14 分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法 1：设椭圆 1C的方程为21xyab0,依题意: 23,4.ab解得 : 26,.2 分
15、 椭圆 1C的方程为216xy. 3 分解法 2：设椭圆 1的方程为2ab0，根据椭圆的定义得 128AF，即 4a， 1 分 2c， 2c. 2 分 椭圆 1C的方程为216xy. 3 分(2)解法 1：设点 )4,(21B, )(2x，则 )(41,(212xxBC，321xA， C,三点共线, （ A/. 4 分 222111134xxx, 化简得： 1212(). 5 分由 24xy,即 x,得 yx. 6 分抛物线 2C在点 B处的切线 1l的方程为 )(2411x，即 2114xy. 同理，抛物线 2在点 处的切线 2l的方程为 2y. 8 分 设点 ),(yxP，由得： 2114x24x，而 21，则 )(21x. 9 分代入得 24y， 10 分则 1x， 21xy代入 得 124yx，即点 P的轨迹方程为3y. 11 分若 1212PFAF ，则点 P在椭圆 1C上，而点 又在直线 3xy上，12 分直线 3xy经过椭圆 1内一点 (3,0),直线 与椭圆 C交于两点. 13 分满足条件 1212PFAF 的点 P有两个. 14 分
