1、三角形全等之倍长中线（习题） 例题示范例 1：已知：如图，在ABC 中，ABAC ，D，E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点F，DF=AC求证：AE 平分BAC AB D CEF【思路分析】读题标注： ？ FECDB A见中线，要倍长，倍长之后证全等结合此题，DE=EC，点 E 是 DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：考虑倍长 FE，如图所示： 考虑倍长 AE，如图所示：ABD CEF？ ？GG？FECDB A（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法为例，可证DEFCEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可【过
2、程书写】证明：如图，延长 FE 到 G，使 EG=EF，连接 CGABDCEF？ ？G在DEF 和CEG 中，EDFCDEFCEG（SAS ）DF= CG， DFE=GDF= ACCG=ACG=CAEDFE=CAEDFABDFE=BAEBAE =CAEAE 平分BAC 巩固练习1. 已知：如图，在ABC 中，AB=4，AC =2，点 D 为 BC 边的中点，且 AD 是整数，则 AD=_ D CB A2. 已知：如图，BD 平分 ABC 交 AC 于 D，点 E 为 CD 上一点，且 AD=DE，EFBC 交 BD 于 F求证：AB=EF3. 已知：如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中
3、线，分别以 AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC= AF，BAE = CAF=90求证：EF=2AD如 图 ， 在 ABC 中 ， AB AC， E 为 BC 边 的 中 点 ， AD 为 BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB于 F，交 CA 的延长线于 G求证：BF=CGF EDCBAFEDCB A GFEDCB A4. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，连接 AF，EF ，AE ，若 DAF=EAF ，求证：AFEFFEDB CA 思考小结1. 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，且 BD=CD求
4、证：AB=ACCDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题方法 1：如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE在BDE 和CDA 中BDCAEBDECDA（SAS ）AC=BE，E=2AD 平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC方法 2：如图，过点 B 作 BEAC，交 AD 的延长线于点 EBEACE=2在BDE 和CDA 中21ECDBA21ECDBA2EBDCABDECDA（AAS）BE=ACAD 平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题方法 1 是看到中点考虑通过_构造全等，方法 2 是通过平行夹中点
5、构造全等不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是_，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_，实质是利用平行构造了一组_相等2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半请你尝试进行证明已知：如图，在 RtABC 中，BCA=90，CD 是斜边 AB 的中线求证：CD AB12 DCB A【参考答案】 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长 FD 到点 G，使得 DG=DF，连接 AG，证明ADGEDF，转角证明 AB=EF）3. 证明略（提示：延长 AD 到点 G，使得 GD=AD，连接 CG，证明ABDGCD ，EAF GCA）4. 证明略（提示：延长 FE 到点 H，使得 EH=FE，连接 CH，证明BFECHE，转角证明 BF=CG）5. 证明略（提示：延长 AF 交 BC 的延长线于点 G，证明ADFGCF，转角证明 AFEF） 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略
