1、【解析】山西省山大附中 2015 届高三 12 月月考数学文考试时间：120 分钟 满分：150 分【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、参数方程、不等式选讲等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分.）【题文】1
2、.设不等式 的解集为 ，函数 的定义域为 ，则02xMxf1lg)(NMA. B. C. D.0,1-1,1,0【知识点】集合的运算 A1【答案】【解析】B 解析：由 得 0x1，所以 M=0，1,由 得-1x1，所以 N=(-1，1),则2x ，所以选 B.0,1MN【思路点拨】可先解不等式得 M，求函数的定义域得 N，再求交集即可.【题文】2.若复数 满足 ，则 的虚部位为zizi21-zA. B. C.1 D.55i【知识点】复数的运算 L4【答案】【解析】A 解析：因为 ，所以虚部为 ，则选 A.12255izii 5【思路点拨】可先由已知条件计算出复数 z 再判断其虚部，即可解答.【
3、题文】3.命题“若 都是偶数，则 是偶数”的逆否命题是ba,baA.若 不是偶数，则 都不是偶数 B.若 不是偶数，则 不都是偶数ba ba,C.若 都不是偶数，则 不是偶数 D.若 不都是偶数，则 不是偶数,【知识点】命题及其关系 A2【答案】【解析】B 解析：由命题的逆否命题的含义可知选 B.【思路点拨】写一个命题的逆否命题，可先写出其否命题，再对条件和结论同时否定即可.【题文】4.已知等差数列 且 ，则数列 的前 13 项和为na482313075anaA.24 B.39 C.52 D.104【知识点】等差数列的性质 D2【答案】【解析】C 解析：因为 ，所以 ，则 ，357103410
4、726248aaa74a13752Sa所以选 C.【思路点拨】一般遇到等差数列时，可先观察项的项数是否有性质特征，有性质特征的可用性质转化求解.【题文】5.若抛物线 的焦点坐标是（0,1） ，则2xyA.1 B. C.2 D.141【知识点】抛物线的性质 H7【答案】【解析】D 解析：因为抛物线方程为 ，所以其焦点坐标为 ，则有 ，所以选 D.21xya10,4a1,4a【思路点拨】本题主要考查的是抛物线的性质，由抛物线的方程求其焦点坐标时应先把方程化成标准方程再进行求值.【题文】6.已知函数 在 处取得最大值，则函数),0(cossin)( Rxbxf 4是xfy4A.偶函数且它的图像关于点
5、 对称 B.偶函数且它的图像关于点 对称0，023，C.奇函数且它的图像关于点 对称 D.奇函数且它的图像关于点 对称23， ，【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】【解析】B 解析：因为函数 在 处取得最大值，所以),0(cossin)( Rxabxaf 4，b=-a，所以22ab(a0)，则sincosincos2sin4fxxaxax，所以为偶函数，且它的图像关于点 对称，则选 B.2i4yf 023，【思路点拨】可先结合最大值点得出 a,b 关系，再把函数 f(x)化成一个角的三角函数进行解答判断即可.【题文】7.已知 A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中
6、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为30,18ACBAA. B. C. D.2014160180【知识点】球的截面性质 G8【答案】【解析】A 解析：因为 ,所以三角形 ABC 外接圆圆心在 AC 中点处，半径为 15，设球半径为 R，由22球的截面性质得 ,得 ,所以该球的表面积为 ,则选 A.2215R302410R【思路点拨】一般遇到球的截面问题时，通常利用球的截面性质寻求截面与球半径的关系进行解答.【题文】8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是【知识点】三视图 G2【答案】【解析】D 解析：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且
7、四个三视图均表示一个高为 3，底面为两直角边分别为 1，2 的棱锥；A 与 C 中俯视图正好旋转 180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故 A，C 表示同一棱锥；设 A 中观察的正方向为标准正方向，以 C 表示从后面观察该棱锥；B 与 D 中俯视图正好旋转 180，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故 B，D 中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B 中正视图与 A 中侧视图相同，侧视图与 C 中正视图相同，可判断 B 是从左边观察该棱锥，综上可知选 D.【思路点拨】由已知中的四个三视图，可知
8、四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据 A 与 C 中俯视图正好旋转 180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得 A，C 均正确，而根据 AC 可判断 B 正确，D 错误.【题文】9.执行如图所示的程序框图，若 ，取 ，则输出的值为13)(2xf 0A. B. C. D.3219169854【知识点】程序框图 二分法求方程近似解 B9 L1【答案】【解析】A 解析：因为 ,第一次执行循环体时 ， ， ,01,20ff131024f2a；第二次执行循环体 ， ；第三次执12ba3270416f,
9、b行循环体 ，第四次执行循环体571510,86480f ba，所以输出 ，则选 A.9139.,2516fa 9516823【思路点拨】遇到循环结构的程序框图时，可依次执行循环体，直到跳出循环再进行判断即可.【题文】10.已知约束条件 表示的平面区域为 D，若区域 D 内至少有一个点在函数 的102xya xey图像上，那么实数 的取值范围为A. B. C. D.4,e,3,，2【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】B 解析：由题意作出其平面区域及函数 y=ex的图象，结合函数图象知，当 x=1 时，y=e x=e；故实数 a 的取值范围为e，+） ，所以选 B.【思路点拨】可先作出
10、指数函数 的图象，再由不等式表示的平面区域数形结合得出实数 a 满足的条xey件即可.【题文】11.已知函数 ，若关于 的方程 在区间 内有两个实数xgkxfln)(,)( x)(xgfe,1解，则实数 的取值范围是kA. B. C. D.e21,e1,2210e， ,1e【知识点】函数与方程 B9【答案】【解析】A 解析：由 得 ，令 ，由 得 ，得函数 t(x)在)(xgf2lnk2lnxt312ln 0xte上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以若关于 的方1,e,e 221,tetet x程 在区间 内有两个实数解，则实数 的取值范围是 ，则选 A.)(xgfe,1ke21,【思路点拨
11、】一般遇到方程的解的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对 k 与函数 h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论.【题文】12.已知椭圆 C: 的左右焦点为 ，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点)0(12bay21,F，使得 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是PF21A. B. C. D.3， ， 3， 3，【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】D 解析：6 个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外 4 个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称。不妨设 P 在第一象限， ，当 时， ，即12FP12Fc212PFac2c2a
12、2c，解得 ，又因为 e1，所以 ；当 时，ceae1c，即 2a2c2c 且 2cac，解得 ，综上可得 或12F 32e32e，故选 D.2e【思路点拨】可结合椭圆的对称性判断只需在第一象限存在点 P 使三角形为等腰三角形，再利用椭圆的定义及在第一象限点 P 到两焦点距离的大小关系进行解答.【题文】二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）【题文】13.已知向量 ，如果向量 与 垂直，则 的值为 )1,2(),3(bababa2【知识点】向量的坐标运算 F2【答案】【解析】 5解析：由题可知（ ） =0 即 解得 所以 ，baA42,3,10A1210,5ab= .ba
13、2【思路点拨】可应由向量垂直计算出 的值，再由向量的求模公式求得所求向量的模.【题文】14.在三棱锥 中，侧棱 两两垂直， ，则三棱锥的外BCPPCB, 3,2,1PCB接球的表面积为 【知识点】多面体与球 G8【答案】【解析】14解析：三棱锥 P-ABC 的外接球即为以 P-ABC 为顶点的长方体的外接球，所求球的直径为 ，149则球的表面积为 .214【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，当直接寻求球心位置不方便时，可通过补形法得球半径进行解答.【题文】15.圆 关于直线 对称，则 的取值范围是 01422yx ),(02Rbayaxab【知识点】直线与圆的位置关系 函数的值域 H4 B
14、3【答案】【解析】 1,4解析：因为圆 关于直线 对称，则说明直线过圆心，022yx ),(02Rbayax则有-2a-2b+2=0,a+b=1,那么 利用二次函数的值域可知它的取值范围是 .21ab 1,4【思路点拨】可先结合圆的特征确定圆心位置，再转化为二次函数求值域问题进行解答.【题文】16.函数 ，则此函数的所有零点之和等于 12()4cos(35)3xyx【知识点】函数与方程 B9【答案】【解析】8 解析：由 和 图像如图，交点的横坐标是零点的13xy24coscosyxx值，由图像可知，那些零点关于 x=1 对称，所以所有零点的值为 8.【思路点拨】一般遇到判断函数的零点个数问题，
15、若直接判断不方便时，可转化为两个函数的图象交点个数问题进行判断，本题抓住两个函数图象都关于直线 x=1 对称是解题的关键.【题文】三、解答题（本大题共 5 题，每小题 12 分，共 60 分.）【题文】17.如图，在 中， ， ，点 在边 上， ， ， 为ABC32BDABDCAE垂足(1)若 的面积为 ，求 的长；BD3D(2)若 ED ，求角 的大小62A【知识点】解三角形 C8【答案】【解析】(1) ；(2) 2734解析：(1)由已知得 SBCD BCBDsin B ，又 BC2，sin B ，BD ，cos B .1233212在BCD 中，由余弦定理，得CD2BC 2BD 22BC
16、BDcos B2 2 222 .CD .3128973CDAD ，在BCD 中，由正弦定理，得 ，又BDC2A，得6siniDEAsinsiBCD，解得 cos A ，所以 A .2siiB24【思路点拨】在求边与角时，可先分析所求的边与角所在的三角形，再由已知条件结合正弦定理或余弦定理进行求解.【题文】18.已知函数 为偶函数，数列 满足 ，且bxf2)( na1)(21nnaf（1）设 ，证明：数列 为等比数列（2）设 ，求数列,31na)1lognnabnbc的前 项和cS【知识点】等比数列 数列求和 D3 D4【答案】【解析】（1）略；（2） 12nnS解析：（1）证明：因为函数 为偶
17、函数，所以 b=0,则bxf2)(，所以21212,loglog1nnnnnnaaaa ，又 ，所以数列221loglnnnb121l2b为首项为 2，公比为 2 的等比数列；（2）由(1)得 ，所以 ，令1,1nnnb2nnc，两式相减得232341, 2nSS ，所以 ，123111nn nn 12nS则 .12nnS【思路点拨】证明等比数列时通常利用其定义直接证明，求数列的前 n 项和时，通常先确定数列的通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】19.如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， 为 的中点，1CBA1ABCADAC12.AB（1）求证： 平面 ；/1D1（2）过点 作
18、 于点 ，求证：直线 平面BACEBECA1（3）若四棱锥 的体积为 3，求 的长度D1C【知识点】平行关系 垂直关系 棱锥的体积 G4 G5 G7【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3）3解析：(1)证明:连接 设 ,连接 ,1CBO1,D是平行四边形, 点 O 是 的中点,1四 边 形 CB是 AC 的中点, 是 的中位线,DDA1OAB/1又 BC,C11平 面平 面 AB1/平面 BC1D (2) A,E,平 面平 面又B,A1 1直线 BE 平面 C1(2)的解法 2: ABC,A, 1111 平 面平 面平 面平 面 ,BECBA1 平 面平 面又 平 面 直线 BE 平面 C1
19、(3)由(2)知 BE 的长度是四棱锥 BAA1C1D 的体高设 12.B AC2xE,A,0中Rtx23AS11DCA1 1V,Cx23E3DC1 .B,x【思路点拨】(1) 连接 设 ,连接 OD,证明 即可.,1OB1 ODAB/1（2）解本题的关键是证明 和 即可.BEACBE,1(3)设 ,然后把高 BE 用 x 表示出来,再根据 ,利用体积公式建立关于 x 的方程即可解出 xBCx1ACDV3的值【题文】20.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率等于 ，它的两个顶点恰好是双曲线x12的焦点.1352xy（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 ，在椭圆上， 是椭圆上位于直线
20、两恻的动点，)3,(,QPBA, PQ若直线 的斜率为 ，求四边形 面积的最大值；AB2PQ当 运动时，满足于 ，试问直线 的斜率是否为定值，请说明理由., 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8【答案】【解析】（1） ；（2） ；直线 的斜率是定值216xymax123SAB21解析：(1）设椭圆 的方程为 ，则 .由 ，得 椭圆 C 的方C2ab22,cab4a程为 . 216xy（2）解：设 ，直线 的方程为 ， 代入 ，12(,)(,)AxByABtxy21216xy得 由 ，解得 02tx4t由韦达定理得 . 四边形 的面积 当12,2121txt PQ221348txS，
21、.0tmax3S解：当 ，则 、 的斜率之和为 0，设直线 的斜率为APQBPABAk则 的斜率为 ， 的直线方程为 由k3(2)ykx23()(1)216yx （1）代入（2）整理得 2 2(34)8(3)4(3)80kxkxk2143)(8kx同理 的直线方程为 ，可得PBy 222 )()3(k 211226,3434kkxx214)()()( 212121 xkxykAB所以 的斜率为定值 . 【思路点拨】求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答；一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.【题文】21.已知函数 的定义域 ，若 在 上为增函数，则
22、称 为“一阶)(xf，0xfy)(，0)(xf比增函数” ；若 在 上为增函数，则称 为“二阶比增函数” 。把所有由“一阶比增函2y， f数”组成的集合记为 ，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为1A2A（1）已知函数 ，若 且 ，求实数 的取值范围hxxf23)( 1)(Af)(xfh（2）已知 ，且存在常数 ，使得对任意的 ，都有 ，求 的最小值2k，0kxf)(【知识点】导数的应用 函数的单调性 B3 B12【答案】【解析】 （1）h0；（2）0解析：（1）若 且 ，即 在 上为增函数，所以1)(Axf2)(xf2fxghx，0h0；而 在 上不为增函数，因为 ，则 h0,综上得2fh
23、F，021Fh0；（2）先证明 f(x) 0 对 x 成立，假设存在 ，使得 ，记 ， 0,x0fx02fxm因为 f（x）A 2，所以 f（x）为“二阶比增函数”，即 是增函数，2fx所以当 xx 00 时， =m，即 f（x）mx 2；所以一定存在 x1x 00，使得022fff（x 1）m k 成立，这与 f（x）k 对任意的 x（0，+）成立矛盾，所以 f（x）0 对任意的、2x（0，+）都成立；再证明 f（x）=0 在（0，+）上无解，假设存在 x20，使得 f（x 2）=0；f（x）为“二阶比增函数”，即 是增函数，一定存在 x3x 20，使得 =02f 32f成立，这与上述的证明结果矛盾所以 f（x）=0 在（0，+）上无解，综上所述，当 f（x）A 2时，对
