1、山东省胶州一中 2015 届高三上学期 12 月第二次质量检测数学（理）试题一、选择题1若集合 ， ，则1,|31xyA1xyBABA B C D ,12. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，下面有三个命题：lm ； ； ； 则真命题的个数ll为( )A B C D01233. 已知等差数列 的公差为 ，且 ，若 ，na0d36102aa8ma则 为（ ）mA B. C D. 12844如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A B. C D. 34236835.若直线 与圆 相切，则 的值为（ ）(1)0axy20xyaA
2、.1 或1 B.2 或2 C.1 D.16已知向量 b、夹角为 6，且 |3a， |2b，若 (3)mb，则实数m的值是( )A.9 B.9 C.10 D.10 7将奇函数 的图象向左平移 个单位得)2,0)(sin)( xAf 6到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ）A B C D23468.若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范3()log()01)afxxa(,0)2a围是（ ）俯 视 图主 视 图 左 视 图俯 视 图主 视 图 左 视 图A. B. C. D.1,)43,1)49,)49(1,)49. 直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则弦 的0kxy2yxAB4AB中点到直线
3、 的距离为( )2A. B. C.2 D.494710. 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数lnfxgxfax0,3a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.10,el31,eln30,ln,e二、填空题11. 已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线为 ，则次双曲线的离心率为x2yx_12. 设变量 满足约束条件： ,则目标函数 的最小值为 ,xy312xy1yzx13在 中，已知 ，当 时， 的面积为_ ABCtanAC6ABC14 已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 使得n87,mna，则 的最小值为_12mna915.定义在 R 上的奇函数 满足 ，当 时，()fx(1)()fxf
4、(2,3)x，则以下结论中正确的是_2()log(1)fx 图像关于点 对称； 是以 2 为周期的周期函数(,0)kZ()yf当 时 在 内单调递增(,)2log(1fxxx,1)(kZ三、解答题16. 如图 5，在平面四边形 中， ， ，ABCD2CD.7AC（1） 求 的值；Dcos（2） 若 ， ，求 的长.147B621sinBODCBAD1C1B1A117.如图，在四棱柱 中，侧面 底面 ，1ABCD1ADBC，底面 为直角梯形，其中 , ，12DA ， 为 中点. O（1）求证： 平面 ；11ABC（2）求锐二面角 的余弦值D18.小王大学毕业后，决定利用所学专业知识进行自主创业，
5、经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 万件，需另投入流x动成本 万元。在年产量不足 8 万件时， （万元） ；在年产量()Wx 21()W不小于 8 万件时， （万元） ，每件产品售价为 5 元，通过市10()6x场分析，小王生产的商品当年能全部售完。（1）写出年利润 （万元）关于年产量 万件的函数解析式（注：年利()Lx润= 年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？19.已知正项数列 的前 n 项和为 ， ,且nanS1a1(2)nnS(I)证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；nSna(
6、 )设 ,数列 的前项 n 和为 ,求证：213nabnbnT1n20.已知函数 其中 e 是自然数的底数， .2xfxaaR（I）当 时，解不等式 ；00f（II）若 上是单调增函数，求 的取值范围；1fx在 ，（III ）当 ，求使方程 上有解的所有整数 的值.a2,1fxk在 k21.设椭圆 C： 的一个顶点与抛物线： 的焦点重210xy(ab)24xy合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 F2的直线3e与椭圆 C 交于 M、N 两点l(I)求椭圆 C 的方程；()是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不l 1ON l存在，说明理由；（）若 AB
7、 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MNAB，求 的值23|ABMNzyxODCBAD1C1B1A1胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）1-5:BCBAD 6-10:BDBAB11. 12.1 13. 14.4 15.51616. 解：（1）在 中，则余弦定理，得 .ADC ADCA2cos2由题设知， .4 分7241cos（2）设 ，则BCDB因为 ， ，所以72sA1csA72)(o1in2 CD.143cssi 2BB于是 CADBCADBCADsincocssin)i(.10 分2714(72143在 中，由正弦定理， ，ABCsini故 12 分3621sin17.(1)证明：如图，
8、连接 ,COA，则四边形 BCO为正方形，所以 1，且 1/OCAB，2 分故四边形 为平行四边形，所以 1/ 又 1AO平面 1BC， 平面 1ABC，所以 /平面 . 5 分(2)因为 1 ,D为 D的中点，所以 1 OAD，又侧面 1A底面ABC，交线为 ，故 1底面 BC。 6 分以 O为原点，所 , O在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的坐标系，则 1,001, 0,1A， 1, , ,DC ,1,0DCD，设 ,mxyz为平面 1C的一个法向量，由 1 ,m，得0xyz，令 1z，则 ,m 又设 1,nxyz为平面 1AD的一个法向量，由 11 ,nDAC，得10，令
9、1，则 11, ,yx， 10 分则cos,3mn，故所求锐二面角 CDA1的余弦值为1 12 分18.解：（1）因为每件商品售价为 5 元，则 万件商品销售收入为 万元，依题意得x5x当 时， 2 分08x22()()343Lx当 时， 4 分101068()xx所以 6 分2143,()05(),8xLx（2）当 时， 此时，08x21()93L当 时 8 分6ma()9当 时，8x1010()35()3525Lxxx当且仅当 即 时等号成立，即当 时 10 分10 max()1L综上，当年产量为 10 万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为 15 万元12 分19.解：（1）由 得1
10、(2)nnaS11nnSS又 ，于是10nS所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列1，即 3 分n2n当 时，2221()aSn当 时 也符合上式，因此 6 分1n 1a（2） 8 分22()341()1()nbnnn所以 10 分1()()nT因为 ，所以 12 分10nT20 解：（1）因为 ，所以 即xe0fx20ax又因为 ，所以不等式可化为a1()所以不等式的解集为 3 分1(0,)a（2） 2()xfxe当 时， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号，a()1f,11x故 符合题意5 分0当 时，令2 22()(),()40gxaxaa所以 有两个不等的实根 ，不妨设()x12,
11、12x因此 既有极大值也有极小值f若 因为 ，所以 在 内有极值点0a(1)0ga()fx,故 在 上不单调7 分()fx1,若 ， 开口向下且 可知0ag(0)1g120x若 在 上单调递增，则()fx,即 ，所以 ，1()0g32a203a综上可知，实数 的取值范围为 9 分,（3）当 时，方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解a2xe0xex所以原方程等价于 ，令210x()1h因为 对任意 恒成立2()he,)所以 在 内是单调递增函数11 分x(,)又 2321(1)30,0()0,()0eehehe所以方程 有且只有两个实根，且分别在区间 上fx3,所以整数 的所有取值为 13 分
12、k3,121.解：（1）椭圆的顶点为 即(0,2)b解得 ，故椭圆方程为 2 分23cbeaa213xy（2）由题知直线 比与椭圆相交l当直线 斜率不存在时，经检验不合题意3 分l设直线 为 12(),(,)(,)ykxMyNx由2221(3)63603()kykx5 分221216,3xk221124()ykx212613kOMNxy解得 ，故直线 的方程为 9 分kl()yx（3）设 1234(,)(,),xyABy（当 不存在斜率时，可求得 ，l ,2MN236ABMN由（2）可得：当 存在斜率时l 2221112=)()xykx（11 分221222=)()463643()()kkk（
13、由 得213xyk223xk13 分22346(1)=1AB222)643(1kMN（综上 14 分2AB胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）1-5:BCBAD 6-10:BDBAB11. 5 12.1 13. 16 14.4 15.zyxODCBAD1C1B1A116. 解：（1）在 ADC中，则余弦定理，得 ADCA2cos2.由题设知， 7241cos.4 分（2）设 B，则 CDB因为 72sA， 1csA，所以 72)(o1in2 CD143cssi 2BB.于是 CADBCADBCADsincocssin)i(2714(72143 .10 分在 ABC中，由正弦定理， sini，故 3621sin 12 分17.(1)证明：如图，连接 ,COA，则四边形 BCO为正方形，所以 1，且 1/OCAB，2 分故四边形 为平行四边形，所以 1/ 又 1平面 1， C平面 AB，所以 /AO平面 B. 5 分(2)因为 1 ,D为 D的中点，所以 1 OAD，又侧面 1底面C，交线为 ，故 1底面 BC。 6 分以 O为原点，所 , O在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的坐标系，则 1,001, 0,1A， 1, , ,DC ,1,0DCD，设 ,mxyz为平面 1C的一个法向量，由 1 ,m，得0xyz，
