1、第 3 题图7 98 6 74 4 49 3山东省青岛市 2015 届高三下学期一模考试数学（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然
2、后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 为虚数单位，复数 等于 i21iA B C Dii1i12设全集 ，集合 ，则 RI2|log,|AyxBxyA B C DA ()IAB3在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A 和 B 和 C 和 D 和51.6851.6850.450.44 “ ”是“ 数列 为等差数列”的
3、 *12N,2nnanaA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则3正视图中的 的值是xA B C D2932第 5 题图21正视图 侧视图俯视图x6已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，双曲线21(0,)xyab:250lxy的一个焦点在直线 上，则双曲线方程为lA B C D205xy250xy23150xy231057设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是,mn,A若 ，则 B若 ，则/,n/,mn/C若 ，则 D若 ，则,/ /8函数 ( 为自然对数的底数 )的图象可能是4cosxyeA B C
4、 D9对于函数 ，下列说法正确的是sin(2)6yxA函数图象关于点 对称 ,03B函数图象关于直线 对称56xC将它的图象向左平移 个单位，得到 的图象sin2yxD将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍，得到 的图象1sin()6yx10已知点 是 的外心， 是三个单位向量，且 ，如GABC,GABC20GABC图所示， 的顶点 分别在 轴的非负半轴和 轴的非负半轴上移动， 是坐标原,xyO点，则 的最大值为OA B23C D第 10 题图B x OxOyx OyxOyx第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11已知函数 ，若 ，()
5、tansi201fxx()2fm则 ;()fm12执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;13设 ，则二项式 展开21(3)axd261()ax式中的第 项的系数为 ;614若目标函数 在约束条件 下当且仅当在点 处取得最小值，则2zkxy12xy(1,)实数 的取值范围是 ;k15若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足： 属于 ，空XXX集 属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 . 则称 是集合 上的一个拓扑已知集合 ，对于下面给出的四个集合 :,abc ; ;,acb, ; .,acbac其中是集合 上的一个拓扑的集合 的所有序号是 .X三
6、、解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 请 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 16. （本小题满分 12 分）设 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC， ， abc， ， sin()siniabacABB.3b（）求角 ； （）若 ，求 的面积.3sinABC第 12 题图结束输出 s 12,is1i是 否开始 s ?17 （本小题满分 12 分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请 名来自本校机械工程20学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院 海洋学院
7、 医学院 经济学院人数 4646（）从这 名学生中随机选出 名学生发言，求这 名学生中任意两个均不属于同一学2033院的概率；（）从这 名学生中随机选出 名学生发言，设来自医学院的学生数为 ，求随机变量的概率分布列和数学期望.18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 1ABCD1A，底面 是直角梯形， ， ， ABCD/BC90D， ， 为 中点.13 1E （）证明： 平面 ；/（）若 ，求平面 和平面 所成角（锐角）AB1AD1的余弦值.19 （本小题满分 12 分）已知数列 是等差数列， 为 的前 项和，且 ， ；数列nanSan109a10S对任意 ，总有 成立 .
8、nbN12312bb（）求数列 和 的通项公式；na（）记 ，求数列 的前 项和 .24(1)nnbcncnT20 （本小题满分 13 分）A1ABBCCD1DE已知椭圆 与直线 相交于 、 两不同点，且直线 与圆2:1xCy:lykxmEFl相切于点 ( 为坐标原点).2:3OxyWO（）证明： ；EF（）设 ，求实数 的取值范围.21 （本小题满分 14 分）已知函数 ， ， .21()fxkx()1ln()gx()(hxfgx（）若函数 的图象在原点处的切线 与函数 的图象相切，求实数 的值；gf k（）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；()hx0,2k（）若对于 ，总存在 ，且
9、满 ，,1te12,(,4)x12x()ifxgt(1,2)i其中 为自然对数的底数，求实数 的取值范围.ek青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分D A B C D A C A B C 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11. 12. 13.14 15402813224(4,2)三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分 12 分）解：（） 2 分sin()siniabacABBabc5 分22abc221o， 6 分(0,
10、)B3（）由 ， ， ，得 7 分3b3sin AsiniabB2a由 得 ，从而 ， 9 分aB6co 故 10 分3sin i()si cos i6CA所以 的面积为 . 12 分A132n 2SabC17 （本小题满分 12 分）解：（）从 名学生随机选出 名的方法数为 ，选出 人中任意两个均不属于同一0320学院的方法数为 4111146464646C分所以 6 分320 89CCP （） 可能的取值为,13 2116 64320 057885(),() ,991CPC10 分164 43 320 20() ,()1528P所以 的分布列为所以 12 分288157()02357195
11、9E18 （本小题满分 12 分）证明：（）连结 交 于 ，1AD1G因为 为四棱柱，BC所以四边形 为平行四边形，1所以 为 的中点，GAD又 为 中点，所以 为 的中位线，1E B1EG1ABD023P 18HxyzA1AB1BCCD1EG从而 4 分1/BDEG又因为 平面 ， 平面 ，1A1ADE所以 平面 5 分 1/（）因为 底面 ， 面 ， 面 ，1BCBCABCD所以 又 ，所以 两两垂直. 6 分,09A1,如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐A1,Dxyz标系. 设 ，则 ， ， ， ， ，t,t,0t,31,3t.10,3D从而 ， .(,
12、)Ct(,)30Bt因为 ，所以 ，解得 . 8 分A2At所以 ， .1,1设 是平面 的一个法向量，则 即()nxyzCD10,.ACnD130xyz令 ，则 . 9 分11(3,)又 ， .0,)C2,0设 是平面 的一个法向量，则 即22(nxyz1 120,.nC203zxy令 ，则 . 10 分212(3,0)12123|()30|1cos, 714n平面 和平面 所成角（锐角）的余弦值 . 12 分1ACD119 （本小题满分 12 分）解：（）设 的公差为 ，nad则 109,d109102Sad解得 ，所以 3 分,2n所以 131nbb当 ,n时当 时 1231n两式相除得
13、 (2)b因为当 适合上式，所以 6 分1,3nb时 21(N)nb（）由已知 ，24()1)nc得 ()()221nnn 则 13nTcc7 分1()()()57n当 为偶数时，n 1(1)()()32nT1579 分2n当 为奇数时，n111()()()3572nT11 分211n综上： 12 分,2,1nTn为 偶 数为 奇 数20 （本小题满分 13 分）解：（）因为直线 与圆 相切lO所以圆 的圆心到直线 的距离 ，从而 2 分23xyl231mdk22(1)3k由 可得：1ykxm2()40kx设 ， 1(,)E2,)Fy则 ， 4 分2421xk所以 12212()Oxm 22
14、222 4(1)()1301kkxmmk所以 6 分OEF（） 直线 与圆 相切于 ，lW221,1,xxyy8 分221223rFxxy由（）知 ，120xy，即1221从而 ，即()x22143x12 分2121234x因为 ，所以 13 分1x,221 （本小题满分 14 分）解：（） 原函数定义域为 ， ，则(1,)(ln1)gx， ， 2分(0)g():lyx由221()20yxkk与函数 的图象相切，l()f4分241801k（）由题 ,()ln()hxkx1()hxkx令 ,1因为 对 恒成立，22()() 0)xx,2x所以 ，即 在 上为增函数 6分1k()h,max7()(2)3h在 上单调递减0,对 恒成立，即(),max7()03hk8分73k（）当 时，0,1xe()ln1)0gx在区间 上为增函数，()ln()g0,e时， ,210分的对称轴为： ， 为满足题意，必须 11分21()fxkxxk14k此时 ， 的值恒小于 和 中最大的一个2min1()fk()f()ff对于 ，总存在 ，且 满足 ，0,te1,412x()ixgt(,2)iin1,(),()2fxf13分2min41()0019213()2kkfeekf14 分1984ek
