1、山东省威海市 2015 届高三 3 月教学质量检测数学文试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 共 4 页.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第卷 选择题（共 50 分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只
2、有一项是符合要求的.1.已知 是虚数单位，若 ，则 的虚部为 i(13)zizA. B. C. D.10010i10i2.已知集合 ， ，则 2|1Axlog|2xyxBBCARA. B. C. D.),2(),(,(),(),(),2,3.设 是两个实数，命题“ 中至少有一个数大于 ”成立的充分不必要条件是yxyx1A. B. 2C. D.2xy1xy4.右 边 程 序 框 图 中 ， 若 输 入 ， ， 则 输 出 的 值 分 别 是 4m0n,aiA. B. C. D. 12,46,52,524,65.已知双曲线 的一条渐近线与直线 21(0,)xyab垂直，则双曲线的离心率等于30A.
3、 B. C. D.6231036.已知 , ， (2)5cos2tanA. B. C. D.34437.定义： ，若函数 ，将其图象向左平移241231aaxxfsin1co)(个单位长度后，所得到的图象关于 轴对)0(my称，则 的最小值是 A. B. C. D.326658.右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 A. B.3274327C. D.559.已知函数 则 的 13,(),()logxf(2)yfx大致图象是 10.已知 是 内的一点（不含边界） ，且MABC23,ABC0BA若 的面积分别为 ，记 ，, ,xyz149(,)fxyzz则 的最小值为 (,)
4、fxyzA. B. C. D.26323648第卷 非选择题（共 100 分）二、填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 把 答 案 填 在 答 题 卡 中 相 应 题 的 横 线 上 11.向面积为 的 内任投一点 ,则 的面积大于 的概率为 SABCPBC3S12.设 满足约束条件 ,则 的最大值为 ,xy302xy2xy13.对大于 的自然数 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：1m仿 此 ， 若 的 “分 裂 ”数 中 有 一 个 是 ， 则 的 值 为 . 33752,9,4,.51373m14.已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上
5、的动点，点 为其准线上2(0)ypxFPM的动点，若 为边长是 的等边三角形，则此抛物线方程为 . FPM1215.已知偶函数 满足 ，且当 时， ，若在区间()fx()()ffx1,02()fx内 ， 函 数 有 个 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 1,3log2agf4a3、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分）中 ， 所 对 的 边 分 别 为 , , .ABC, abcoscABCsin()cosAC（）求 ；（）若 ,求 .3ABCSc17.（本小题满分 12 分）某厂家生
6、产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有 和 两种型号，某ml30l5月的产量（单位：个）如下表所示：型号 甲样式 乙样式 丙样式ml30z2505304按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取 个，其中有乙样式的杯10子 个.（）求 的值；z（）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为 的样本，从这个样本中任5取 个杯子，求至少有 个 的杯子的概率.21ml3018.（本小题满分 12 分）已知数列 是等比数列，首项 ，公比 ，其前 项和为 ，且 ，na1a0qnnS1a， 成等差数列.3S2（）求数列 的通项公式；n（）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，若 恒成立，b
7、nban)21(TnbmTn求 的最大值.m19.（本小题满分 12 分）如图所示，已知在四棱锥 中, , , ，且PABCDABDCP12ADCa（）求证： 平面 ；B（）试在线段 上找一点 ，使 平面 , 并MP说明理由；（）若点 是由（）中确定的，且 ，求四面AB体 的体积MPAC20.（本小题满分 13 分）已知函数 .)(ln)(Raxxf（）当 时，求曲线 f在 1处的切线方程；2a（）设函数 ，求函数 (hx的单调区间；h（）若 ，在 上存在一点 ，使得 成xg1)( )782.(,e0x)(00xgf立，求 a的取值范围.21 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中， 的两
8、个顶点 的坐标分别是 ，点ABC,AB(2,0)(,是 的重心， 轴上一点 满足 ，且 GABCyM/G|MCBB A P （）求 的顶点 的轨迹 的方程；ABCE（）不过点 的直线 与轨迹 交于不同的两点 .若以 为直径的圆过点 时，l ,PQA试判断直线 是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由高三文数学参考答案 2015.31、 ABCD二、11. 12. 13. 14. 15. 492921yx5,)三、16解：（） ， ，cosabABCsinisncocoAB，sincosiiCA即 ，ncssi得 . 3 分si()si()B,或 (不成立). 4 分A)AC即 , 得
9、， ， 5 分2C323，则 ，或 （舍去） 6 分1sin()cos2B6B5A. 8 分5,4A（） 10 分1sin328BCSacac又 , 即 ，siiA2 12 分2,3.ac17.解：（）设在丙样式的杯子中抽取了 个，x由题意 ， 3 分50450x.40在甲样式的杯子中抽取了 个， 4 分2531，解得 . 6 分352700z20z（）设所抽样本中有 个 的杯子，ml3， . 8 分5也就是抽取的 个样本中有 个 的杯子，分别记作 ;3个 的杯子，分2l021,Aml50别记作 . 9 分321,B则从中任取 个 的杯子的所有基本事件为 , , ,ml0)(1B)(2)(31
10、B, , , , , , ，共 个.10 分)(12A)(2)(3A)(212130其中至少有 个 的杯子的基本事件有 , , , ,l )(A)(21)(31A)(12, , ,共 个； 11 分)(2B)(3)(217至少有 个 的杯子的概率为 . 12 分1ml0018.解：（）法一：由题意可知： 3122()()()SaSa，1313S即 ，于是 ， ， ； 3 分134a421q02q， . 4 分1)(n（）法二：由题意可知： 3122)()()SaSa当 时，不符合题意； 1 分q当 时， ，1qq1)(2223， ， ， 2 分2 14242， , 3 分0q1， . 4 分1
11、a)2(n（） ， ， ， 5 分nban1 nban)21(12nn（1）3T（2）nnT2321得： 6 分)(112)(2nn 8 分nnT)1(恒成立，只需 9 分mmTni(02)1()211 nnn为递增数列， 当 时， ， 11 分nTmin， 的最大值为 . 12 分119. 解：（）过 作 ,垂足为 ，CEABE又已知在四边形 中， , ,DCDAB， 四边形 是正方形 1 分A 又 ， 45 2EAC 2 分BCE90AB又 ， ， 平面 4 分 PCP（）当 为 中点时， 平面 5 分M/D证明：取 中点为 ，连接 则 ，且AF,MFAB12FMAB , ， ， CDB1
12、2C 四边形 为平行四边形， D 平面 , 平面 ， 平面 . 8 分FPACPAPA（）法一：由（）知， 平面 ， 为 中点，所以点 到平面 的BMBMPAC距离等于 , 9 分1212MPACPACV在 中， 所以在 中， 10 分B,5aP3Ca在 中 是 11 分P3,2,a21,2RtS12 分23111.2666MPACBPACPACaVS法二：也可以利用 .31.36MMPAMVESa需证明 ,如没有证明，需要扣 1 分.E面20.解：（）当 时， ， ，切点 ， 1 分2axxfln2)()(f),(， ， 3 分xf1)( k曲线 在点 ,处的切线方程为： ，即 . 4 分)
13、1(xy20y（） ，定义域为 ，1()lnahxx,05 分222 )1()()(1 xaa当 ，即 时，令 ，010xh,令 ， 6 分)(xha,当 ，即 时， 恒成立， 7 分1aa)(综上：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增)(xh1,0),1(a当 时， 在 上单调递增 8 分)（）由题意可知，在 上存在一点 ，使得 成立，,e0x)(00xgf即在 上存在一点 ，使得 ，,1e0x)(h即函数 在 上的最小值 9 分1()lnah,)(minh由第（）问，当 ，即 时， 在 上单调递减，ex,1e， ，0)()(minax2， ； 10 分12e12e当 ，即 时， 在 上
14、单调递增，a0)(xh,， 11 分)()(minahx 2当 ，即 时，e11e0)ln(2)()(in a， ，l0a02)1(ah此时不存在 使 成立 12 分0x)(h综上可得所求 的范围是： 或 13 分a12ea21解：（）设点 坐标为C(,)xy因为 为 的重心故 点坐标为 2 分GABG(,)(0,)33xyM由 得 ， 3 分|M222()xy即21(06xy的顶点 的轨迹 的方程是 5 分ABCE21(0)6xy（）设直线 的两交点为2:lykxb与 ),(),(21yxQP联立： 消去 得： 7 分21622(3)60kxkb2224(3)61()kbb且 8 分2121,.xxk若以 为直径的圆过点 时，则有 9 分PQA0.PQ，既有1212()()0xy1212()()()0xkxb故 2 2()kkbxb代入整理得： 11 分212 分.bk或（1）当 时， 直线过定点 ,2.2()ykxb2(0)且代入 成立 13 分0（2）当 ，直线过点 ，不合题意，舍去.2,(2)bkyxbk时 (2,0)综上知：直线过定点 14 分,0
