1、天津市南开中学 2015 届高三第三次月考数学（理）试题 I 卷一、选择题（每小题有且只有 1 个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题 5 分，共 40 分)1. 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 ( ).A. B. C. D.180240276302. 已知 是两条不同直线, ,是两个不同平面,给出四个命题:mn若 ,nm,则 若,则 /若 ,则 若 ， ， ,则m/n/其中正确的命题是 ( ).A. B. C. D.3. 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为1ABC94的正三角形.若 为底面 的中心，则 与平面 所成角的大小3P1ABCPABC
2、为 ( ).A.512B. 3C. 4D. 64. 在平面直角坐标系 中， 为不等式组 所表示的区域上一xoyM20,138,xy动点，则直线 斜率的最小值为( ).OA.2 B.1 C.13D.12来源:66主5主5. 已知 和 分别是双曲线 ( , )的两个焦点, 和 是以1F221xyab0bAB为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边O1| 2F三角形,则该双曲线的离心率为 ( ).A. B. C. D. 323316. 已 知 双 曲 线 的 离 心 率 为 ,若 抛 物 线)0,(1:21babyxC2的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 ,则抛物线的方程)0(2:p
3、x1C为 ( ).A. B. C. D. yx382 yx362yx82yx1627. 已知抛物线 ： 的焦点与双曲线 ： 的右焦点1C2p02C23的连线交 于第一象限的点 .若 在点 处的切线平行于 的一条渐近M1 2线，则 ( ).pA. B. C. D. 3163823438. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆2:1(0)xyEab(,0)F于 两点。若 的中点坐标为 ，则 的方程为 ( ).,AB(1,EA. B. C. D.214536xy2367xy2178xy2189xyII 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效)二、 填空题：(每小题 5 分，共 30 分)9
4、. 已知数列 na的前 项和 满足 ，且 ，则通项公式nS12na*N1a=_.n10. 圆心在直线 上的圆 与 轴交于两点 、 ,则圆270xyCx(2,0)A(4)B的方程为_.C11. 在边长为 的菱形 ABD中, 60,E为 D的中点,则_.AEBD12. 已知 3)6cos(x,则 )3cos(x_.13. 已知函数 y的图象与 轴恰有三个公共点,则实数 的取值范围c是_.14. 点 是椭圆 ： 的左焦点，过点 且倾斜角是锐角的直线 与椭FE2159xyFl圆 交于 、 两点，若 的面积为 ，则直线 的斜率是 _.ABAOB92l三、解答题：(1518 每小题 13 分，1920 每
5、小题 14 分，共 80 分)15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 的 个红球与编1,234,5号为 的 个白球,从中任意取出 个球.1,2343()求取出的 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； ()记 为取出的 个球中编号的最大值,求 的分布列与数学期望.XX16. 在 ABC中， 的对边分别为 ,abc且 os,c,osCbBA成等差数列()求 的值；()求 2sincos()AC的范围17. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面PBDAB2底面 ,且 , 、 分别为 、 的中点.D2EFPCBD() 求证: /平面 ；EF() 求证:平面 平面 ； PA
6、BC() 在线段 上是否存在点 使得,G二面角 的余弦值为 ?CD13若存在，求 的长度；若不存在，说明理由.18. 已知函数 21()ln(0).fxax()若 求 在 处的切线方程；,a,fPFED CBA()求 在区间 上的最小值；()fx1,e()若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.()a19. 已知数列 na的前 n 项和 1()2nnSa（ ）,数列Nnb满 足2nb.（）求证:数列 nb是等差数列，并求数列 n的通项公式；(） 的前 n 项和为 nT，证明： 且 时，1aA设 数 列 N3nnT52；（）设数列 满足 ， （ 为非零常数， ） ，问是nc1(3)(nnc
7、否存在整数 ，使得对任意 ，都有 ？1nc20. 已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，它的一个顶点Cx12恰好是抛物线 的焦点243xy（）求椭圆 的标准方程；(）若 ， 是椭圆 上关 轴对称的任意两点，设点 ，连接 交ABx4,0PPA椭圆 于另一点 ，求证：直线 与 轴相交于定点 ；CEBExM（）设 为坐标原点，在(）的条件下，过点 的直线交椭圆 于 ，O CS两点，求 的取值范围TST天津南开中学 2015 届高三理科数学第三次月考试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8B A B C C D D D二、填空题：9 10 11 12 13 1421,3,
8、nna22(3)()5xy12,15三、解答题：() 的取值为 . X2,3451139()CP,1214439()CPX, 来源:1216639(4)7X,12839(5). 所以 的分布列为 45P 12421713的数学期望 3857EX.16. 在 ABC中， ,的对边分别为 ,abc且 os,c,osCbBA成等差数列()求 B 的值；()求 2sins()A的范围解：() cos,coab成等差数列， cs2csabB 由正弦定理，得 ，isis2inoCB即： in()2A， 又在 B中， B或 0， 3. () ， 332 2sincos()1cos2()ACA31in1sin
9、cos2A3sin(2)0A， 23A3sin(2)1 2sincos()C的范围是 1(, 为 中点.在 中, / EPCPAEF且 平面 , 平面 PADEFPA/EFPAD平 面()证明:因为平面 平面 , 平面 面 BCDBC为正方形, , 平面 BC所以 平面 . PA D又 ,所以 是等腰直角三角形, 且 ，即2D2APD. PA,且 、 面 CDCPC面 又 面 , 面 面 BAD() 如图,取 的中点 , 连结 , . OF , . PAD侧面 底面 , C, BA平 面 平 面 , PO平 面而 分别为 的中点,FD ,又 是正方形,故 . /ABCOFAD , , . 2P
10、P1以 为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系, O,xyz则有 , , . (10)A(0)D(,1)若在 上存在点 使得二面角 的余弦值为 ,连结 BGCPDG13,.PGD设 . (,)2)a由()知平面 的法向量为 . PD(1,0)A设平面 的法向量为 . , G,nxyz(,(2,0)DPGaGzyx OPFED CBA由 可得 ,令 ,则 , 0,nDPG02xyza1x2,1yza故 ,解得,2(1,)a 22|cos, 43nPAa. 所以在线段 上存在点 ,使得二面角 的余弦值为 ，2AB1(0)2GCPDG1此时 .1G18. 已知函数 2()ln(0).fxax()
11、若 求 在 处的切线方程;,a1,)f()求 在区间 上的最小值;()fe()若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.x()a解:( I) 2,a212ln,(),fxfx1(1),(),2ff在 处的切线方程为 ，即 ()fx()1y30.xy()由 2 .xaf由 及定义域为 ,令 0a(0)()0,.fxa得若 在 上, , 在 上单调递增, 1,a即 1e)(f1e因此, 在区间 的最小值为 . ()fx,()2f若 在 上, , 单调递减;在 上,2e,即 a（ 0x)(fe)a（, 单调递增,因此 在区间 上的最小值为()0fx)(f()f1e1ln.2aa若 在 上, , 在
12、 上单调递减, 2e,即 (1e)()0fx)(fe因此,在 区间 上的最小值为 . fx21ea综上， 2min221,0,()l,1,.afxeea()由()可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可02e)(xf1e能存在两个零点. 当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则 21ea()fx(1) 即 ,此时, . 所以, 的取值范围为2(ln)0,1(e),fa2ea21eaa,.19. 已知数列 na的前 项和 1()2nnSa（ ）,数列 2nba.Nn满 足（）求证:数列 b是等差数列，并求数列 的通项公式；(） 的前 n 项和为 nT，证明： 且 时， nT51；1nA
13、设 数 列 3（）设数列 满足 ， （ 为非零常数， ） ，问是否存c1(3)(a 在整数 ，使得对任意 ，都有 .Nnc解（I）在 1()2nnS中，令 n=1，可得 112nSa，即 2a当 2时， 1 ()nnnaa， ，1na(),即.1 1, 2n nbbb 即 当 时 ， . 又 12数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.于是 (),nn na .(II)由（I）得 1()2nc，所以23123()4()nnTK411 (2由-得 23 111()()(2nnnTK 114()123nnnnT 55(3)21)2121nn证明如下：证法 1：（1）当 n=3 时，由上验算显示成立。（2 ）假设 nk时1()4()()2()1k kkg所以当 时猜想也成立综合（1） （2 ）可知 ，对一切 3n的正整数，都有 .n证法 2：当 3n时012101() 21n nnn nCCCnK综上所述，当 时 5T（）11()33()2nnnnca1111()2()0nnnnn （1 ）13)(nn当 n=2k1，k=1，2，3，时， （1）式即为 （2 ）)3(k依题意， （2）式对 k=1，2，3 都成立， .nN1nc
