1、天津市南开中学 2015 届高三第四次月考数学（文）试题说明：1本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间 120 分钟.2请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第 卷（选择题共 40 分）一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将答案填涂在答题卡上!)1. 复数 的虚部是（ ）143i.A25i.B125.C125i.D1252. 若 m、n 是两条不同的直线，、 是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( )若 m ，m，则 若 m，n，mn，. .B则 若 m
2、， ，则 m 若 ， ，则 .C.D3. 已知变量 满足约束条件 则 的最小值为（ ）,xy20,xy5zxy0 1 2 4.A.B.C.D4. 设 ,Rxy，则“ 92yx” 是“ 3x且 y”的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件. .充分必要条件 即不充分也不必要条件CD5. 将函数 的图象向右平移 个单位，得到 ，cos2yx6cos(2)yx的图象，则 的值为（ ）(,.A6.B.C3.D36. 设 ，则 的大小关系是（ ）112450.8,.7,log0.3abccba,.c.cba开始 2x是偶数x1x7输出 x结束是否否是7. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ：21xyab
3、-=()0,bl，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为（ ）10y=+l.A235x-.B2105xy-=.C23150xy-=.D2150y-=8. 设定义域为 R 的函数|125,0()4,xf若关于 x 的方程22()1)0fxmfx有 7 个不同的实数解，则 m=( ).2 4 或 6 2 或 6 6.A.B.C.D第卷（非选择题共 110 分）二填空题：(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案填在答题纸上!)9. 在如图的程序框图中，输出的值为 ，则 . x123logx10. 已知等差数列 若将 都加,6,2,31an 541,a上同一个数，所得的三个数依
4、次成等比数列，则所加的这个数为 .11. 已知 ，则 的最小值为 .01x4x12. 如右图,PT 切圆 O 于点 T,PA 交圆 O 于 A、B 两点，且与直径 CT 交于点D，CD 2，AD 3，BD 6，则 PB T PBOCAD13. 在圆 上总有四个点到直线 的距072:2yxC 043:myxl离是 ，则实数 的取值范围是_. 1m14. 已知非零向量 与 满足 ，且 ，ABC()0ABC|23ABC点 是 中 边的中点，则 _. |AB|26CDD三、解答题：（本答题共 6 小题，15 至 18 小题每题 13 分，19 至 20 小题每题14 分，共 80 分解答应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤 ）15. (本小题满分 13 分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求。某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成 5 组，如下表所示( 单位：分钟) 组别 一 二 三 四 五候车时间 0，5) 5，10) 10，15) 15，20) 20，25人数 2 6 4 2 l(I)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；(II)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步的调查列出所有可能的结果；求抽到的两人恰好来自不同组的概率.16. （本小题满分 13 分)在 中, 分别是角
6、 的对边，且 .ABCcba,CBA, 1)tan(cos3CA（）求 的值;（）若 ， ,求 的面积.)652sin(2acbB17. (本小题满分 13 分)如图，在四棱锥 中，底面 是等PABCDAB腰梯形， ， ，3C， 为 的中点2PDEP（）求证： 平面 ；（）若 ()求证平面 平面 ;BAD()求直线 与底面 成角的正弦值.EC18. （本小题满分 13 分) 如图，焦距为 的椭圆 的两个顶点分别为 和 ，且 与 n ，2EAB2(共线)1（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ，且原点 总在mkxyPQO以 为直径的圆的内部，PQ求实数 的取值范围19
7、. （本小题满分 14 分)已知函数 ,数列 满足 , ，23(xfna1*1(),)nnafN（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ， , 若 对1(2)nnb13b12,nnSb 20mS一切 成立 ,求最小正整数 的值*Nm20. （本小题满分 14 分)已知函数 21(3)ln.fxax（）若函数 是定义域上的单调函数，求实数 的最小值；) a（）方程 有两个不同的实数解，求实数 的2()lfxx a取值范围；（）在函数 的图象上是否存在不同两点 ，线段 的中()f 12(,)(,)AxyBAB点的横坐标为 ，有 成立？若存在，请求出 的值；若不存在，0x120)yfx0说明理由AB
8、xOy南开中学 2015 届高三文科数学第四次月检测参考答案一、 选择题：1 2 3 4 5 6 7 8B A C B D C D A二、填空题：（9）5 （10）-11 （11）9 （12）15 （13）(-17,3) （14 ）-3三、解答题：（本答题共 6 小题，15 至 18 小题每题 13 分，19 至 20 小题每题14 分，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）1516 （ I）解：由 得：1)tan(cos3CA1)ins(co3CAcsin（， 31)cs(，又 oB032sinB94cosii 97sin21cosB18647 21)(3(465i652in
9、)52sin( B（II）由余弦定理得： 312cosacbB， 312)(2abc又 ， ， 245ac31sin2BacSABC17解：（）取 中点 ，连接 ，PFEBF、, , , ,EDCD12C , 四边形 是平行四边形， F,ABA ,平面 ， 平面 ,EPFPB 平面 C可知 , , , 1B3DC， , 平面 ,PBD平面 ， 平面 平面 . APBA()过点 作 于点 ，连接 ,EGG平面 平面 ,PB平面 平面 , 平面 ,DCDE平面 , 是 与底面 成角， AA在等腰 中， ,在 中， ,PBDA2ERtBDEA63BDEG在 中， , Rt1P，即直线 与底面 成角的
10、正弦值为 . 63EGsinAAEBCD6318 （）解：设椭圆 的标准方程为 ，由已知得 ，12byax)0(aaA(， ， ，)0(B)b所以 ， ，aA()因为 与 n ， 共线，所以 ，21ba2由 ，解得 ， ，2cba2所以椭圆 的标准方程为 . Eyx（）解：设 ， ， ， ，把直线方程 代入椭圆方程 ，1(xP)y2(Q)mkxy12yx消去 ，得 ，y 04)2(22mkxk所以 ， ，11x12，即 （*） 0862mkk因为原点 总在以 为直径的圆的内部，OPQ所以 ，即 ， 021yx又 ，)(2121kxy )(21xmk12km由 得 ，2km0232依题意且满足（
11、*）得 3故实数 的取值范围是 ， . 6()1920.解（） / 1()3(0).fxax若函数 在 上递增，则 对 恒成立，即f0,/f0x对 恒成立，而当 时， 1()3axx1()321.a若函数 在 上递减，则 对 恒成立，即f(0,)/()0fx对 恒成立，这是不可能的1()3axx综上， 的最小值为 1 .a（）解 1、由 222ln()()lnxfxaxax令 22 431lnln 12lnxxx xrr得 =0 的根为 1，所以1l当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单0x0rxrxx0rxrx调递减，所以 在 处取到最大值 ，又 ，r110时，0xx又 时所以要使 与 有两个不同的交点，则有 2lnyxya01a（）假设存在，不妨设 120.x2 211 212(3)ln(3)ln()axaxfxfk120ln(3).xxa/00()().fx若 则120lnx，即122lnx，即12lnx （*） /0(),kf令 12t， ()ln1tut（ t)， 则 2()t0 ()ut在 01t上增函数， ()10ut，（* ）式不成立，与假设矛盾 /0().kfx因此，满足条件的 不存在 0x
