1、四川省雅安中学 2015 届高三上学期 1 月月考数学（理）试题一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 i (1i)2aaA B C D 2 122. 设 ， ， ，则 3log21a3.0)(blncA B C Dcabcabbac3己知命题 “ ”是假命题，则实21,()0xRx使数 的取值范围是 aA. B. (1, 3) C. D. (3,1)(,1)(3,)4. 执行如图所示的程序框图若输入 ，则输出 的值是xkA B C D 34565下列命题中，m、n
2、 表示两条不同的直线，、 表示三个不同的平面若 m，n ，则 mn；若 ，则 ；若 m，n ，则 mn；若 ，m，则m.则正确的命题是 A B C D6. 函数 （其中 A0， ）的图象如()sin()fxx2|图所示，为了得到 的图象，则只需将 g(x)=sin2x 的图象fA. 向右平移 个长度单位6B. 向左平移 个长度单位C. 向右平移 个长度单位3D. 向左平移 个长度单位7. 已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其1侧视图的面积为A B C D 3432134入入kx23 ?k=+1x=+5k=0入x1俯俯7俯3y x7123O-18. 若 ，则 的值
3、为423401(23)xaxax220413()()aaA. B. 1 C. 2 D. 19已知函数 ,且函数 恰有 3 个不同的零点, 则)0(ff xfy实数 的取值范围是aA. B. C. D. ),0(,1 ),1),210. 集合 其中| 43231 aaxA,则满足条件: 中 最小 ,且Nii ,4,321i1的概率为13aaA. B. C. D. 5622567647第 II 卷（非选择题 共 100 分）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. ）11. 已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，则 的值12,9a123,9b21ba为 .12. .若关于
4、， 的不等式组 （ 是常数）所表示的平面区域的边xy0, 1xykk界是一个直角三角形，则 .13. 在直角三角形 中， ， ，点 是斜边 上的一ABC902ACBPAB个三等分点，则 P14. 设 F 是抛物线 C1： 的焦点，点 A 是抛物线与双曲线 C2：24yx的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离21(0,)xyab Fx心率为 15. 给出定义：若 (其中 为整数)，则 叫做离实数 最近的整 +2mxm数，记作 ，即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题：x=()=fx 的定义域是 ，值域是 ；()yfR1(,2点 是 的图像的对称中心，其中 ；,0k()fxkZ函数
5、 的最小正周期为 ；=函数 在 上是增函数 ()yf13,2则上述命题中真命题的序号是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.）16 （本小题满分 12 分）已知函数 的图像上两相邻最高点的坐()3sin()sin()2fxxx 0标分别为 .,24,（）求 的值；（）在ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，且 求 的取值范()2fAbca围。17 （本小题满分 12 分）若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只，其中有 8 只合格品，2 只次品。（）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次，每次取一只灯泡，求 2 次取到次品的概率；（）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会
6、议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中） ，求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 的分布列和数学期望。x18.（本小题满分 12 分）在数列 中， 为常数， ，且 成公比不nacan(,1)Nn521,a等于 1 的等比数列.（）求 的值；c（）设 ，求数列 的前 项和 。1nabnbnS19 （本小题满分 12 分）如图 1，在 Rt 中， ， .D、 E 分别是 上ABC9036BCA， ACB、的点，且 ，将 沿 折起到/DEED的位置，使 ，如图 21A1（）求证：平面 平面 ；1 俯2俯1ACBE CBEDA1D（）若
7、，求 与平面 所成角的余弦值；2CDBE1AC（）当 点在何处时， 的长度最小，并求出最小值 20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 的两焦点在 轴上, 且两焦点与短轴的一个)0(1:2bayx x顶点的连线构成斜边长为 2 的等腰直角三角形。（）求椭圆的方程；（）过点 的动直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否1(0,)3Sl存在一个定点 Q，使得以 AB 为直径的圆恒过点 Q ?若存在求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。21 （本小题满分 14 分）已知函数 .1ln()()0xf（）函数 在区间 上是增函数还是减函数？证明你的结论；x,（）当 时， 恒成立，求整
8、数 的最大值；0kf)(k（）试证明： （ ） 。23(12314)(1)ne *N雅安中学 20142015 学年（上期）高三年级期末模拟数学试题（理工类） 参考答案三、解答题：16 （本小题满分 12 分） 解：（） )6sin(2cosin3)( xxxf由题意知 . .（4 分）2,T（） 即 又 ,)(Af ,1)6sin(612A. .（8 分）3,26.（)6sin(2si)2sin(sin2 CCACBacb 10 分）.（1,30 ),()si(,62 acb2 分）17. （本小题满分 12 分）解：（）设一次取次品记为事件 A，由古典概型概率公式得：.（2 分）510）（
9、 AP有放回连续取 3 次，其中 2 次取得次品记为事件 B，由独立重复试验得： .（51254.C23）（）（ BP分）（）依据知 X 的可能取值为 1.2.3 .（6 分）且 .（754108）（ x分）.（8 分）92）（P.（9 分）4518103）（ x则 X 的分布列如下表：X 1 2 3p 548451.（10 分）.（12 分）94316EX18. （本小题满分 12 分）解：（） 为常数， caan,11cna)1(.（2 分 .c4,5又 成等比数列， ，解得 或 21,ac41)(202c.（4 分）当 时， 不合题意，舍去. . .（50cn1分）（）由（）知， （6
10、分）2an （9 分）)12(1)2(1 nnabn )12()513()2121 nbbSnn （12 分）)(19 （本小题满分 12 分）解：（）证明:在 中， ABC90,/,DEBCAE.又 平面 .1ADE,11又 平面 ,又 平面 ,故平面 平,/B1面 （4 分）C1（）由(1)知 故以 D 为原点, 分别,11 ECDAE 1,DACE为 x,y,z 轴建立直角坐标系. 因为 CD=2, 则 )4,0()2(),03()2(B（5 分）,设平面 的一个法向量为)03(),420(),21(1CBABE CA1,zyxm则 取法向量 ,则直线 BE 与平面 所成角 ,034)1
11、20(mB1（8 分）|,cos|inBE54|故直线 BE 与平面 所成角的余弦值为 . （9 分）CA1 3（）设 ,则 ,则 ,xDx61 )6,0(),(1xAB221)(9|BA,则当 时 最大为 . 0452xx3x|13（12 分）20 （本小题满分 13 分）解: （）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, cb又斜边长为 2,即 故 ,2c2ca椭圆方程为 . （4 分）12yx（）当 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 ;l 916)3(22yx当 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为,故若存在定点 Q,则 Q 的坐标只可能为 . 10
12、196)3(2yxyx )1,0(Q（6 分）下证明 为所求:),0(Q若直线 斜率不存在,上述已经证明. 设直线 ,l )(),(,31: 21yxBAkxyl,0)89(64,0612)89(0231 2222 kkxkyxk, . （8,18211xk分） ),(),(21yQByxA916)(341(212112 xkx（10 分）0968234896)1(22 kk,即以 AB 为直径的圆恒过点 . （13QBA)1,(Q分）注: 此题直接设 ,得到关于 的恒成立问题也可求解. )(baba,21. （本小题满分 14 分）解：（）由题 （321ln()0,()0,xxf分）故 在区间 上是减函数 （4 分）()fx(0,)（）当 时， 在 上恒成立，取1ln()xk(0,)，则 ， 1()ln()xh21lxh（6 分）再取 则 （7()l(1),gx()0,g 分）故 在 上单调递增，()x0,)而 ， （81ln2(1ln30,()2ln0ggg分）故 在 上存在唯一实数根 ，()0x(,)(,3)1l()aa故 时， 时，,a0;(,)gx0gx故 故 （9 分）min1()l1(,4,hxakmax（）由（）知：1l()333(0)ln()2111xxx x令 ， (),ln2()()n又 l123)(14)1版权所有：(www.)
