1、 吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高三上学期 11 月阶段性测试理科数学试题 B 卷第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本题共有 12 小题，每小题 5 分, 共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （ sin20）A B C D3212322已知集合 ，集合 ，以下命题正确的个数是 （ |x|x） 0,AB0,BxA 都有 都有xA4 B3 C2 D13已知 的取值如下表所示：,yx2 3 4y5 4 6如果 与 呈线性相关，且线性回归方程为 ，则 （ yx 72ybx）A B C D121210104已知 中， ，则 （ C5,86abAB）A
2、B C D20202032035若 ， ，则 （ log2a1b）A , B , 101a0bC , D ,b6已知等差数列 的公差为 2， 成等比数列, 则 = （ na134,a2）A 4 B 6 C8 D10 7函数 的部分图象如图所示，则函数表达式为),2,0)(si Rxxy（ ）A )48sin(xyBC )si(xyD 48n8已知函数 的最小正周期是 8，且 对一切实数 成立，则xf xff4xxf（ ）A是偶函数不是奇函数 B是奇函数不是偶函数C既是奇函数又是偶函数 D不是奇函数，也不是偶函数9已知正方体 的棱长为 2，则四面体 在平面 上的正1BAC1CABDC投影的面积为
3、 （ ）A4 B3 C2 D1 10已知数列 是等差数列， ，则数列 的前 项和等于na51,9,nabanb5（ ）A B C D8949015111实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 （ xy02xyxyt）A B C D1,31,31,21,212以双曲线的焦点为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D4322第卷（非选择题 共 90 分）20 40 60 80 100 120 140 160 用电量频率/组距0.0200.0150.0050.0030.002二、填空题（本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分）13已知抛物线 ，O
4、 为坐标原点，过抛物线的焦点，倾xy2斜角为 的直线，交抛物线于 两点，则 的面积5,ABO为 14如图，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长的最大值为 ，r a最小值为 ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 b15从 8 名候选人中选出 3 人参加 A，B，C 三项活动，其中甲不得参加 A 项活动，则不同的选派方法有_种16过一定点的互相垂直的两条直线 与圆锥曲线 分别交于点 A、B 和 C、D，如果12,lE线段 AB 的中点的横坐标为 （ 为直线 的斜率） ，则线段 CD 的中点的横坐标为 k1l三、解答题（本题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤）17 （本小题满分 12 分）在ABC 中角 A、 B、 C 的对边分别为 、 、 ， 设向量abc， ，且 ， Bamcos,bncos,nm/（1）求证： 是直角三角形；AC（2）求 i的取值范围18 （本小题满分 12 分）如图，是某市 1000 户居民月平均用电量的频率分布直方图，（1）如果当地政府希望 以上的居民每月的用电量不超出标准，这个标准为多少时85%比较适当？（2）计算这 1000 户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（3）有关部门为了制定居民月用电量标准，采用分层抽样的方法从 1000 户居民中抽取50 户参加听证会，并且要在这已经
6、确定的 50 人中随机确定两人做中心发言，求这两人分别来自用电量区间和 的概60,8)0,1)率19 （本小题满分 12 分）已知直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，1CBABAC90 ，且 ， 、 、 分别为 、 、 的中点，1DEFAB1C（1）求证： 平面 ；ABC（2）求证： 平面 ；F1（3）求二面角 的余弦值20 （本小题满分 12 分）已知函数 ，2()log(3)fxax（1）当 时，求该函数的定义域和值域；a（2）如果 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围()1fx2,321 （本小题满分 12 分）已知线段 ， 的中点为 ，动点 满足CDOA（ 为正常数） 2ACDa（1）建
7、立适当的直角坐标系，求动点 所在的曲线方程；A（2）若存在点 ，使 ，试求 的取值范围；Aa（3）若 ，动点 满足 ，且 ，试求 面积的最大值和B4B最小值请在下面三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知圆 （ 为参数）和直线 （其中 为参数，:C1cosinxy2cos:3inxtlyt为直线 的倾斜角） ，如果直线 与圆 有公共点，求 的取值范围llC24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解不等式 52312x参考答案一、选择题（本题共有 12 小题，每小题 5 分, 共 60 分，在每小题给出的四个
8、选项中，只有一项是符合题目要求的 ）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B A D B A A D B D D二、填空题（本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分）13142()rab1529416 2k三、解答题（本题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）解：（1）解法一：因为 (,cos),(,cos)/maBnbAmn且 ，所以 cosaAb，由正弦定理，得 ini，即 i2B又 ,m且 ，所以 2,即 2B，0,2因此ABC 是直角三角形解法二：因为 (,cos),(,cos)
9、/anbAmn且 ，所以 cosaAbB，由余弦定理，得222acc整理得， 222()()abcab因为 ,mn所以 ，所以 c因此ABC 是直角三角形（2） siAB= sin()sio2sin()24AA ，且，04341sin()因此 AB的取值范围是 (1,2)18 （本小题满分 12 分）解：（1）月用电量在 100 以上的居民所占的比例为，(0.3.20.)0.4%的居民月用电量在 100 以下，因此，居民月用电量标准定为 100 比较适当86%（2）居民月用电量的平均值为： .15.37.9.610.430.158.6（3） 205()4CPA19 （本小题满分 12 分）解：
10、解法一：（1）连接 A1B、 A1E，并延长 A1E 交 AC 的延长线于点 P，连接 BP由 E 为 C1C 的中点，A 1C1CP 可证 A1EEPD、E 是 A1B、A 1P 的中点，DE BP又BP 平面 ABC，DE 平面 ABC，DE平面 ABC （2）ABC 为等腰直角三角形，F 为 BC 的中点BCAF，又 B1B平面 ABC，由三垂线定理可证 B1FAF， 设 ，则 ，A1216,3,EB（3） 过 F 做 FMAE 于点 M，连接 B1MB1F平面 AEF， 由三垂线定理可证 B1MAEB1MF 为二面角 B1AEF 的平面角C1C平面 ABC，AF FC，由三垂线定理可证
11、 EFAF在 RtAEF 中，可求 05在 RtB1FM 中，B 1FM90， 16cosBMF二面角 B1AEF 的余弦值为 6解法二：如图建立空间直角坐标系 Oxyz令 ABAA 14，则 A（0，0，0） ，E（0， 4，2） ，F （2，2，0） ，B （4，0，0） ，B 1（4，0，4） 2 分（I）设 G 是 AB 的中点，连结 DG，则 DG 平行且等于 EC所以四边形 DECG 是平行四边形，所以 DE/GC，从而 DE平面 ABC（II） BF1242()()， ， ， ， ，0)()E)(1A AFBF， 1 EE平 面，（III） 平面 AEF 的法向量为 ，设平面 B
12、1AE 的法向量为)42(1，即nxyznAB()， ， ， 010zxy令 x2，则 2(，z cos|nFnB， 11694二面角 B1AEF 的余弦值为 620 （本小题满分 12 分）解：（1） 当 时，a2()log(3)fxx令 ，解得230x13所以函数 的定义域为 ()f(,)令 ，则224txx0t所以 22()logl4fxt因此函数 的值域为 (,（2） 解法一： 在区间 上恒成立等价于 在区间)1fx,3230ax,3上恒成立令 2()3gxa当 时， ，所以 满足题意0()0xa当 时， 是二次函数，对称轴为 ，1x当 时， ，函数 在区间 上是增函数，a12()g2
13、,3，解得 ；min()()0gxaa当 时， ， ，解得2552min()()0xa2a当 时， ， ，解得a1ai364g3综上， 的取值范围是 ,)3解法二： 在区间 上恒成立等价于()1fx220ax在区间 上恒成立2,3由 且 时， ，得0ax,3x20x23x令 ，则2()3h246()h所以 在区间 上是增函数，所以x,max2(3)h因此 的取值范围是 a)321 （本小题满分 12 分）解：（1）以 为圆心， 所在直线为轴建立平面直角坐标系OCD若 ，即 ，动点 所在的曲线不存在；2ACa03aA若 ，即 ，动点 所在的曲线方程为 ；30(3)yxOCBMPA若 ，即 ，动点
14、 所在的曲线方程为 23ACDaaA213xya（2）解法一：假设存在点 ，根据题意，以焦距为直径的圆与椭圆有公共点，因此， ，解得：206解法二：假设存在点 ，使 ，则0(,)AxyCAD203xy由 ，得2031xya422063a所以， ，解得42603（3）当 时，其曲线方程为椭圆a214xy由条件知 两点均在椭圆 上，且,AB2AOB设 ， ， 的斜率为 ，则 的方程为 ， 的方程1(,)xy2(,)yOAk(0)ykxOB为 k解方程组 得 ，214yx224k214ky同理可求得 ， 2kx24y面积 = AOB212Sxk2(1)4k令 则21()kt22949tt令 22915()()(1)gttt所以 ，即 544S当 时，可求得 ,故 ，0k1故 的最小值为 ，最大值为 1 S522 （本小题满分 10 分） （选修 4-1：几何证明选讲）是题产
