1、数学试卷 第 1 页（共 25 页）南通市 2015 届高三第一次调研测试数学一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知集合 A= ， ， B= ，2，3，则 21AB2 已知复数 z 满足 （i 为虚数单位） ，则 z 的模为 (34)z3 某中学共有学生 2800 人，其中高一年级 970 人，高二年级 930 人，高三年级 900 人现采用分层抽样的方法，抽取 280 人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 4 函数 的定义域为 2()lg3)fxx5 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 x6 同时抛掷两枚质地均匀的
2、骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，观察向上的点数，则两个点数之积不小于 4 的概率为 7 底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥的侧面积为 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上。3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用
3、2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。Y开始结束x1，y1y 50输出 xx2x+yNy2x+y（第 5 题）数学试卷 第 2 页（共 25 页）ABCOM（第 13 题）3O xy（第 12 题）1P8 在平面直角坐标系 xOy 中， 以直线 为渐近线，且经2yx过抛物线 焦点的双曲线的方程为 24yx9 在平面直角坐标系 xOy 中，记曲线 在 处的切线为直线 若2(2)myxR， 1xl直线 在两坐标轴上的截距之和为 12，则 的值为 l10已知函数 若 ( )是偶函数，则 ()sin26fx)yfx0211在等差数列a n中，已知首项 ，公差 若 ， ，则1ad160a 2310a
4、 15a的最大值为 12已知函数 的图象经过点 P(1，3) ，如下图所示，则 的最小值xyab(0) 41ab为 13如上图，圆 O 内接ABC 中，M 是 BC 的中点，AC=3若 ，则 AB= 4AO14已知 是定义在 上的函数，且 则函数()fx1， 1|23|2()()xff ， ， ， 2()3yxf在区间 上零点的个数为 205，二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)数学试卷 第 3 页（共 25 页）1AB1BANM1CC（第 16 题）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别
5、为 a，b，c已知 cos2cosbCBaA（1）求 A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积=316(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC BC，CC 1= 4， 是棱 CC1 上的一点M（1）求证：BC AM ； （2）若 N 是 AB 的中点，且 CN平面 ，求 CM 的长117(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，21(0)xyab顶点 B 的坐标为 ，且BF 1F2 是边长为 2 的等边三角形(0)b，（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A，C 两点，记A
6、BF 2，BCF 2 的面积分别为S1，S2若 S12S 2，求直线 l 的斜率 yB OF1CAxl（第 17 题）F2数学试卷 第 4 页（共 25 页）18(本小题满分 16 分)在长为 20 m，宽为 16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点 C） ，展厅入口位于长方形的长边的中间在展厅一角 B 点处安装监控摄像头，使点 B 与圆 C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内（如图阴影所示） （1）若圆盘半径为 m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；25（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为 60，求圆盘半径的最大值（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边
7、缘的视线的夹角 ）19(本小题满分 16 分)若函数 yf(x) 在 xx 0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf(x) 的极值点已知函数 3ln()faaR（1）当 时，求 的极值；0fx 16 m（第 18 题）ggCB 20 m入口数学试卷 第 5 页（共 25 页）（2）若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围()fx1e） a（注： 是自然对数的底数 ）e20(本小题满分 16 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn若 ，则称a n是“紧密数列” *12()naN （1）若数列a n的前 n 项和 ，证明：a n是“紧密数列” ；(34n（2）设数列a n是公
8、比为 q 的等比数列若数列a n与S n都是“紧密数列” ，求 q 的取值范围数学试卷 第 6 页（共 25 页）（第 21-A 题）AACyxOAB MONNDC南通市 2015 届高三第一次调研测试数学（附加题）21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，已知 AB 是O 的直径， CD 是O 的弦，分别延长 AB，CD 相交于点 M，点 N 在O上，AN=AC证明：MDN =2ACOB选修 4-2：矩阵与变换 （本小
9、题满分 10 分）已知矩阵 的逆矩阵 ，求实数 ， 273mM127nmMn注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。3作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学试卷 第 7 页（共 25 页）CBADE（
10、第 22 题）C选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） 若曲线 C 与直xOy 214xy，线 l： 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长12yD选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知 a，b，c 均为正实数求证： 1abcabc【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，平面 平面 ，ABCDEBEBECD， ， 90ABE（1）求异面直线 与
11、 所成角的大小；（2）求二面角 的余弦值A23 （本小题满分 10 分）设 an 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为 n( )，且每数位上的*N数字只能是 1 或 2（1）求 a1，a 2，a 3，a 4 的值；数学试卷 第 8 页（共 25 页）（2）求证： ( )是 5 的倍数51na*N南通市 2015 届高三第一次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知集合 A= ， ， B= ，2，3，则 21AB【答案】 2 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 的模为 z(34i)ziz
12、【答案】 153 某中学共有学生 2800 人，其中高一年级 970 人，高二年级 930 人，高三年级 900 人现采用分层抽样的方法，抽取 280 人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 【答案】934 函数 的定义域为 2()lg3)fxx【答案】 1）5 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 x【答案】596 同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，观察向上的点数，则两个点数之积不小于 4 的概率为 【答案】 1367 底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥的侧面积为 Y开始结束x1，y1y 50输出 xx2x+yNy2x+
13、y（第 5 题）数学试卷 第 9 页（共 25 页）【答案】 428 在平面直角坐标系 xOy 中，以直线 为渐近线，且经过抛物线 焦点的双曲线2yx24yx的方程为 【答案】214yx9 在平面直角坐标系 xOy 中，记曲线 在 处的切线为直线 若2(2myxR）1xl直线 在两坐标轴上的截距之和为 12，则 的值为 l【答案】 或 3410已知函数 若 是偶函数，则 ()sin26fx()0)2yfx【答案】 311在等差数列 中，已知首项 ，公差 若 ， ，则na10a0d1260a 2310a 15a的最大值为 【答案】20012已知函数 的图象经过点 ，如下图所示，则 的最小值xya
14、b(0)(13)P） 41ab为 【答案】 9213如上图，圆 O 内接ABC 中，M 是 BC 的中点，AC=3若 ，则 AB= 4AOM【答案】 7 ABCO（第 13 题）3O xy（第 12 题）1Px数学试卷 第 10 页（共 25 页）14已知 是定义在 上的函数，且 则函数()fx1， 1|23|2()()xff） 23yf在区间 上零点的个数为 105，【答案】11二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c已知 cos2cos
15、bCBaA（1）求 A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积=3【解】 （1）解法一：在ABC 中，由正弦定理，及 ，cos2cosbBaA得 ， 3 分sincosic2sinBCBA即 ，2A因为 ，所以 ，所以 ，6 分(0)）si01cos2所以 . 8 分 3解法二：在ABC 中，由余弦定理，及 ，coscosbCBaA得 ，3 分22222abcaac所以 ， 所以 ， 6 分221cosAbc因为 ，所以 .8 分(0)）3（2）由 ，得 ，11 分=cosBCb23bc所以ABC 的面积为 . 14 分1insin6022SA数学试卷 第 11 页（共 25 页）B1BANM1
16、CC（第 16 题）1A16(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC BC，CC 1= 4， 是棱 CC1 上的一点（1）求证：BC AM ； （2）若 N 是 AB 的中点，且 CN平面 ，求 CM 的长1M【解】 （1）因为 是直三棱柱，1ABC所以 平面 ，因为 平面 ，所以 2 分1C因为 ， ， 平面 ，ACB1AA）1CA所以 平面 4 分因为 平面 ，所以 6 分M1BCM（2）证法一：如图 1，取 的中点 ，连结 ， APNP因为 是 的中点，所以 ， 8 分NB1/因为 ，所以 ，1/CM/NCM所以 与 共面 10 分P因为 平面 ，平面 平
17、面 ，1ABP1ABMP所以 12 分/CN所以四边形 为平行四边形，PM所以 14 分12证法二：如图 2，设 与 确定的平面交 于点 ，NC11ABP连结 ， P因为 平面 ， 平面 ，C1ABMNPM平面 平面 ，1N 1BA1CC图 11AB1BM1CC图 21A数学试卷 第 12 页（共 25 页）所以 8 分/CNMP因为 ， 平面 ， 平面 ，1B1CNPMCNPM所以 平面 10 分/又 平面 ，平面 平面 ，所以 ，11A1B1/B所以 ，所以四边形 为平行四边形12 分/CMNPCNP因为 是 的中点，B所以 14 分1122证法三：如图 3，取 的中点 ，Q连结 ， NQ
18、C因为 是 的中点，所以 ，AB1/NAB因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 8 分1M1/NQ1ABM因为 CN平面 ， ， 平面 ，QCC）所以平面 平面 10 分/NC1AB因为平面 平面 ，平面 平面 ，11B11ABM所以 12 分/QM因为 ，所以四边形 是平行四边形，1/BC1CQM所以 14 分12证法四：如图 4，分别延长 ，设交点为 S，连结 AC1B）因为 平面 ， 平面 ，CN1AMCNA平面 平面 ，BSS所以 AS 10 分Q 1ANM1C1AC图 3B1BANM1C1AC图 4 S数学试卷 第 13 页（共 25 页）由于 AN=NB，所以 BC=CS又因为 ，同
19、理可得， ， CM1B1SMB所以 14 分2217(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，21(0)xyab顶点B 的坐标为（0，b） ，且BF 1F2 是边长为 2 的等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A，C 两点，记ABF 2，BCF 2 的面积分别为 S1，S 2若 S12S 2，求直线 l 的斜率【解】 （1）由题意，得 a=2c=2，b 2=a2c 2=3，所求椭圆的方程为 4 分143yx（2）设 B 到直线 AC 的距离为 h，由于 S12S 2，所以， ， 即 ， 6 分
20、221AFCAFC所以， 解法一：设 ，又 ，12,xy（ ， ） （ ， ） 210（ ， ）则 ,即 8 分12,（ ） （ ） 123.xy，由 解得， 12 分222431xy，（ ） （ ） 27435.8y，所以，直线 的斜率为 14 分l3587214k解法二：由（1）知， 8 分123xyB OF1CAxl（第 17 题）F2数学试卷 第 14 页（共 25 页）设点 A 到椭圆 右准线 的距离为 d，1xy（ ， ）2143yx4x则 ，所以 ，同理 ， 2Fd21F221CF由 得， ， 即 10 分2C=x（ ） 1=+x所以， （以下同解法一） 12 分74x解法三：椭
21、圆的右准线为直线 ，4x分别过 作准线的垂线，垂足分别为 ，AC） AC）过 C 作 CH ，垂足为 H （如图）由于 ，10 分21F又 ，在 RTCAH 中，2A，所以 ，23CFHC） 25HFC所以 12 分5tan根据椭圆的对称性知，所求直线斜率为 14 分5218(本小题满分 16 分)在长为 20 m，宽为 16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点 C） ，展厅入口位于长方形的长边的中间在展厅一角 B 点处安装监控摄像头，使点 B 与圆 C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示) （1）若圆盘半径为 m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正
22、切值；25（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为 60，求圆盘半径的最大值（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角 ）【解】 （1）解法一：如图，过 B 作圆 C 的切线 BE，切点为 E，设圆 C 所在平面上入口中点为 A，连结 CA，CE，CB，则 ， ，EByB OF1CAxl（第 17 题）F2AH16 m（第 18 题）ggCB20 m入口AE数学试卷 第 15 页（共 25 页）则摄像水平视角为ABE 时，水平摄像视角最小在 中，RtABC， ， ，2 分10AB8C4an5在 中， ， ， ，4 分RtE221E5tan6CBE所以 ，43556tanta()01
23、ABCB所以最小摄像视角的正切值为 8 分 30解法二：过 B 作圆 C 的切线 BE，切点为 E，设圆 C 所在平面上入口中点为 A，连结 CA，CE，CB，则 ， ，EB则摄像视角为ABE 时，摄像视角最小在平面 ABC 内，以 B 为原点，BA 为 x 轴建立直角坐标系，则 ， 108C（ ， ）设直线 BE 的方程为 ，ykx由圆 C 与直线 BE 相切得， 4 分2|108|5=k解得， （其中 不合题意，舍去） 353510k答：所以最小摄像视角的正切值为 8 分（2）解法一：当 = 时，若直线 BE 与圆 C 相切，则圆 C 的半径最大. ABE60在平面 ABC 内，以 B 为
24、坐标原点，BA 为 x 轴建立平面直角坐标系，所以直线 BE 方程为： ， 12 分3yx所以 ，则圆 C 的最大半径为 m16 分2103854+CE-（ ） 534-16 m（第 18 题）ggCB20 m入口E数学试卷 第 16 页（共 25 页）解法二：设圆盘的最大半径为 r，当 = 时，若直线 BE 与圆 C 相切，则ABE60圆 C 的半径最大在 中， ， ， ，RtAB108C4tan5在 中， ， ，tEr2216BEr， 10 分2an164C由 得， ， 12 分ttan()ABECBE245163r即 ， 2241653(164)rr所以 ，即2(3)r2 291403(
25、54)所以， 15 分54r答：圆 C 的最大半径为 m 16 分534-19(本小题满分 16 分)若函数 在 xx 0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 的极值点(yf ()yfx已知函数 3)ln()faaR（1）当 时，求 的极值；0()fx（2）若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围()fx1e） a（注： 是自然对数的底数 ）e【解】 （1）当 时， ，所以 2 分0a()3lnfx()3ln1)fx令 ，得 ，()f1e当 时， ；当 时， ，0ex）()0fx1()e）()0fx所以 在 上单调递减，在 上单调递减增4 分()f1数学试卷 第 17 页（共
26、 25 页）所以，当 时， 有极小值 6 分1ex()fx13()ef（2）解法一：设 ， 2()3lngfaxeD）由题意， 在 上且只有一个零点 ，且 两侧 异号xD00()gx 当 时， 在 上单调递增，且 ，0a ()g1()e所以 在 上无零点； 8 分()x 当 时，在 上考察 ：0a(,)()gx，令 ，得 162()xag()012xa在 上单调递增，在 上单调递减 10 分10） 1(+x）（i）当 ，即 ，即 时，(e)g22e)0a20e在 上有且只有一个零点 ，且在 两侧异号13 分xD0x0（ii）令 ，得 ，不可能1()0eg23ea（iii ）令 ，得 ，所以 ，
27、1e2Da，1e1()(3ln)3(l)022ga又因为 ，0所以 在 上有且只有一个零点 ，且 两侧 异号 ()gxD0x0()gx综上所述，实数 的取值范围是 16 分a2e）解法二：令 ，得 8 分2()31ln)0fxx21lnxa设 ，由 ，令 ，得 ，21ln()h3(h()0h120e,当 ， ，所以 在 上为减函数；0ex）)0x()x0e）数学试卷 第 18 页（共 25 页）当 ， ，所以 在 上为增函数，01()ex）(hx()hx01)e）所以 为 的极大值点 11 分 又 ， ， ，1()0eh2()e01()ehx所以 或 ，即 或 13 分a 20a 1e2当 时
28、， 1e21()3ln)fxex设 ，则 ，2()lnmx21e()e1() xmx令 ，得 012ex当 ， ，所以 在 上为增函数；12()ex）()0()x12e)）当 ， ，所以 在 上为减函数12）mx12）所以 ，即 在 恒成立，12()e)0x ()0fx e所以 在 上单调递减f）所以当 时， 在 上不存在极值点1e2a()fx1e）所以实数 的取值范围是 16 分2020(本小题满分 16 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn若 ，则称a n是“紧密数列” 1()2na*N （1）若数列a n的前 n 项和 ，证明： an是“紧密数列” ；(34n（2）设数列a n是公比为
29、 q 的等比数列若数列a n与S n都是“紧密数列” ， 求 q 的取值范围【解】 （1）由数列a n的前 n 项和 ，2*1(3)4nSN得 an n+ ( )2 分 S1， n 1，Sn Sn-1，n 2) 12 12 *数学试卷 第 19 页（共 25 页）所以， 1+ ， 4 分an+1an n+2n+1 1n+1因为对任意 nN* ，0 ，即 11+ ，1n+1 12 1n+1 32所以，1 1+ ，an+1an 1n+1 32所以， 2，即 an是“紧密数列” 6 分 12 an+1an（2）解法一：由数列a n是公比为 q 的等比数列，得 q ，an+1an因为a n是“紧密数列
30、” ，所以 q2 8 分12 当 q1 时，S n=na1， = =1+ ，Sn+1Sn n+1n 1n所以， 1 = =1+ 2，12 Sn+1Sn n+1n 1n故 q1 时，数列S n为“紧密数列” ，故 q1 满足题意 10 分 当 q1 时，S n ，则 = a1(1 qn)1 q Sn+1Sn 1 qn+11 qn因为数列S n为“紧密数列” ，所以， = 2 对于任意 恒成立12 Sn+1Sn 1 qn+11 qn *nN（i）当 q1 时， (1q n)1q n+12(1 q n)即 对于任12 12 qn(2q 1) 1，qn(q 2) 1)意 恒成立*nN因为 0q nq1
31、，02q11， q21，32所以 qn(2q 1)q1， qn(q2) q(q2) ( ) 1，12 32 34所以，当 q1 时， 对于任意 恒成立13 分12 qn(2q 1) 1，qn(q 2) 1) *nN（ii）当 1q2 时， (qn1) q n+112(q n1)，即 对12 qn(2q 1) 1，qn(q 2) 1)于任意 恒成立*nN数学试卷 第 20 页（共 25 页）（第 21-A 题）AACyxOAB MONNDC因为 qnq1，2q11，1q20所以 ，解得 q=1，又 1q2，此时 q 不存在 q(2q 1) 1，q(q 2) 1)综上所述， q 的取值范围是 16
32、 分）解法二：因为a n是“紧密数列” ，所以 q28 分12 当 q1 时，S n=na1， = =1+ ，所以， 1 = =1+ 2，Sn+1Sn n+1n 1n 12 Sn+1Sn n+1n 1n故 q1 时，数列S n为“紧密数列” ，故 q1 满足题意 10 分 当 q1 时，S n ，则 = a1(1 qn)1 q Sn+1Sn 1 qn+11 qn因为数列S n为“紧密数列” ，所以， = 2 对于任意 恒成立12 Sn+1Sn 1 qn+11 qn *nN（i）当 q1 时， (1q n)1q n+12(1 q n)，12 12即 对于任意 恒成立 qn(2q 1) 1，qn(
33、2 q) 1 ) *所以 解得 q1 13 q(2q 1) 1，q(2 q) 1.) 12分（ii）当 q1 时，同理可得 无解12 q(2q 1) 1，q(2 q) 1.)综上所述， q 的取值范围是 16 分1）数学（附加题）参考答案及评分建议 21. 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，已知 AB 是O 的直径， CD 是O 的弦，分别延长 AB，CD 相交于点 M， N 为O 上一点，AN=AC ，数学试卷 第 2
34、1 页（共 25 页）证明：MDN=2OCA【解】连结 ON，因为 AN=AC，ON= OC，OA 是公共边，所以ANOACO，故OAC=OAN3 分又OAC=OCA，所以NAC=OAC+ OAN=OCA +OAC=2OCA因为 A，C，D，N 四点共圆，所以 MDN=NAC，所以，MDN=2OCA 10 分B选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵 的逆矩阵 ，求实数 ， 273mM127nmMn【解】由 ， 5 分124010713nn所以 ，解得 10 分472103mn53mC选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，已知曲线 C 的参数方
35、程为 （t 为参数） ，曲线与直xOy 214xy，线 ： 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长l12y【解】解法一：将曲线 C 的参数方程 化为普通方程为 ，3 分214xty， 28xy方程组 解得 或 6 分28xy， 0x124y所以 ， ，所以 10 分(0)A， 1()24B， 251()4AB（第 21-A 题）AACyxOAB MONNDC数学试卷 第 22 页（共 25 页）CBADE第 22 题图解法二：将曲线 C 的参数方程为 代入直线 ，得 ，214xty， l214t解得 ， 3 分10t2t可得 ， ， 6 分()A， 1()4B，所以 10 分25D选修 45
36、：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知 a，b，c 均为正数求证： 1abcabc【解】因为 a，b，c 都是为正数，所以 3 分12()ac=同理可得 ， cb b将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 10 分1abcac【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，平面 平面 ，ABCDEBEBECD，ABE， 90D=（1）求异面直线 与 所成角的大小；ABE（2）求二面角 的余弦值C【解】设 BE 的中点为 O，连结 AO，DO，由于 AB=AE，B
37、O=OE，所以 AOBE，同理 DBE又因为平面 ABE平面 BCDE，平面 平面 BCDE=BE，所以 AO平面A数学试卷 第 23 页（共 25 页）BCDE，由题意， ，所以 222BEADBABDEA解法一：（1）不妨设 ，以 O 为坐标原点，a建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz，则 (0)a， ， ， ，(0)Ba， ， (20)Ca， ， 3 分D， ， (E， ，所以 ， ，0)ABa， ， (0)Da， ，因为 ，21cosABE，所以 与 的夹角为 120，AB所以异面直线 AB 与 DE 所成角为 605 分（2）设平面 ACE 的法向量为 ，1()nxyz， ，因为
38、， ，(0)AEa， ， 30ECa， ，所以 ， ，所以， 且 ，取 ，得 ，1n1nyz3xy1z3x所以， ，又平面 的法向量为 ，(3)， ， AB2(10)n， ，设二面角 的平面角为 ，由 ，BAEC1231cos因此，二面角 的余弦值为 10 分3解法二：（1）不妨设 ，以 B 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 B-xyz，1则 ， ，则 ， ， ，3 分(0)B， ， (0)C， ， (0)D， ， (10)E， ， 21()A， ，则 ， ，21A， ， 1E， ，CBADE第 22 题图OxEyEzECBADE第 22 题图OxEyEzE数学试卷 第 24 页（共 25
39、页）因为 ，12cos4ABDE，所以 与 的夹角为 120，AB所以异面直线 AB 与 DE 所成角为 60 5 分（2）设平面 ACE 的法向量为 ，1()nxyz， ， ，1()AB， ， (10)BE， ，所以 ， ，解得1nA1n1(0)n， ，设平面 的法向量为 ， ， ，2()xyz， ， 21)EA， ， (10)EC， ，所以 ， ，解得20nE0nC2(n， ，设二面角 的平面角为 ，则 ，BA1231cosn因此，二面角 的余弦值为 10 分EC323设 an 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为 n ( )，且每数位上的*N数字只能是 1 或 2（1）求
40、a1，a 2，a 3，a 4 的值；（2）求证：a 5n1 ( )是 5 的倍数*N【解】 （1）当 n=1 时，只有自然数 1 满足题设条件，所以 a1=1；当 n=2 时，有 11，2 两个自然数满足题设条件，所以 a2=2；当 n=3 时，有 111，21，12 三个自然数满足题设条件，所以 a3=3；当时 n=4，有 1111，112，121，211，22 五个自然数满足题设条件，所以 a4=5综上所述，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=5； 4 分（2）证明：设自然数 X 的各位数字之和为 n+2，由题设可知，X 的首位为 1 或 2 两种情形当 X 的首位为 1 时，则其
41、余各位数字之和为 n+1，数学试卷 第 25 页（共 25 页）故首位为 1 的各位数字之和为 n+2 的自然数的个数为 an+1；当 X 的首位为 2 时，则其余的各位数字之和为 n，故首位为 2 的各位数字之和为 n+2 的自然数的个数为 an，所以各位数字之和为 n+2 的自然数为 an+1+an，即 an+2a n+1+an7 分下面用数归纳法证明：a 5n1 是 5 的倍数证明：（i）当 n=1 时，a 4=5，所以 a4 是 5 的倍数，命题成立；（ii）假设 n=k 时，命题成立，即 a5k1 是 5 的倍数则 a5k+4a 5k+3+ a5k+22a 5k+2+ a5k+12(a 5k+1+ a5k)+ a5k+13a 5k+1+ 2a5k3(a 5k+ a5k-1 )+2a5k5a 5k +3
