1、吉林省东北师大附中 2015 届高三上学期第三次摸底考试数学（理科）试卷【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，总分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并
2、贴好条形码，请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试卷上作答无效.第卷（选择题，共 60 分）【题文】一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】 （1）设集合 ， ，则 （ ）|1|2Ax1|4xBAB（A） （B） （C） （D）0,2(,3),3)(1,4)【知识点】集合的运算 A1【答案】【解析】C 解析： ， ， 故选 C.|1x|1x|3x【思路点拨】化简集合 A，B，直接计算即可.【
3、题文】 （2）若命题 ，则 是 ( ) :p200,3Rp（A） （B） 20,1xx2,13xRx（C） （D） 【知识点】特称命题的否定 A3【答案】【解析】B 解析：由定义可得 为 ，故选 B.p2,13xRx【思路点拨】特称命题的否定是全称命题.【题文】 （3）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于 （ ） nanS15,aS6a（A） （B） （C） （D）87 5【知识点】等差数列 D2【答案】【解析】C 解析： ，公差 ，所以 ，15552S1d6故选 C.【思路点拨】由等差数列性质计算可得，也可由 直接求公差.51S【题文】（4）“ ”是数列“ 为递增数列”的 （ ） 1)
4、(2Nn an（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件 A2【答案】【解析】A 解析：由 “ ”可得1，故可推出“数列221 210nann（ ） （ ） 为递增数列”，故充分性成立)(2N 由“数列 为递增数列”可得n，故 ，221 1210ann（ ） （ ） 21n即 ，不能推出“ ”，故必要性不成立3 因此“ ”是 “数列 为递增数列”的充分不必要条件，故选 A.)(2N an【思路点拨】由“ ”可得 ，推出“ 数列 为递增数列”由“ 数列11 0na )(2Nn an为递增数列”，不能推出“ ”，由此得出结论)(2N
5、na1【题文】（5）在等比数列 中，若 ，则数列 的前 8 项和等于 （ ） n452,lgn（A） （B） （C） （D）6 43【知识点】等比数列 D3【答案】【解析】C 解析：因为 ， ，452,a4510a，4412781885lglglg()lg()l()lg10a a 故选 C.【思路点拨】 ，结合对数运算性质得4518a即可求解.44127185lglglg()l()aaa【题文】 （6）设 ， 都是锐角，且 ， ，则 （ ）cos10sincos（A） （B ） （C） 或 （D） 或 【知识点】两22102210角和与差的余弦公式 C5【答案】【解析】A 解析： ，由题意可得
6、cos()cos()sin()，代入得 ，故选 A.25310sin,cs()2s【思路点拨】注意到角的变换 ，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.()【题文】 （7）已知函数 ， 则 的最小正周期 和其图像的一条对称轴方2()2sincosfxxx()fT程是 ( ) （A） （ B） （C ） （D）2,8x3,8,83,8x【知识点】三角函数图像与性质 C3【答案】【解析】D 解析： 2()2sincosin2(1cos)fxxx， ，对称轴 ，当 时， ，故2sin()24xT3,48kk0k38x选 D.【思路点拨】先化简 即可求周期与对称轴方程 .()sin(2)fxx【题文】（8
7、）已知函数 则其导函数 的图像与 轴所围成的封闭l3,f()fx图形的面积为 （ ）（A） （ B） （C） （D） ln2ln243ln2432【知识点】定积分的应用 B13【答案】【解析】B 解析： 令 ,得： 或 ,1 3fx0fx1所以 的图像与 轴所围成的封闭图形的面积为：()fx 1 122()()|()fdxfff,故选 B.133ln(ln1)ln2244【思路点拨】由题可得 的图像与 轴所围成的封闭图形的面积为：fx，代入计算可得结果.1 122()()|()fxdf【题文】 （9）已知 0,lg8lg2xyy，则 13xy的最小值是 ( ) （A）4 （ B）3 (C) 2
8、 (D) 1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：由题得 ，所以333ylg2lg()lgl2xyxyx， ，31xy1(3y)x24当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故选 A.22()1,6xy【思路点拨】由题得 ，做变换 即可利用基本不等31xy13(3y)(2)yxx式求解.【题文】（10）若函数 的定义域为 ， 恒成立， ，则 解集为（ )(xfR2)(xf 2)1(f 42)(xf）（A） （B） （C） （D）(,1)(,1)(,)(1)，【知识点】导数的应用 B12【答案】【解析】D 解析：令 ，要求 ，就是求 ，()(24)gxfx42)(xf ()0gx，所以函数
9、 在 上单调递增，而 ，g()20xfR1g，即 ，故选 D.(1)x【思路点拨】构造函数 ，得 ，得函数 在 上单调递增，()(24)gfx()20xf()gxR又 ，所以 ，可求其解集.()0g01【题文】（11）设 ，函数 ，若对任意的 ，都有agxaf ln)(,)(12,e成立，则 的取值范围为 （ ） 12()fx（A） （ B） （C ） （D） 0,(0,2e2,e,e【知识点】函数综合 B14【答案】【解析】C 解析：令 ， ，2()1axfx1()xgx， ， ，即 在 时单调递增，由对任意的1,ex01a0,fg,f,e，都有 成立，所以 ，即2 2()xminax()(
10、)xg， ，又 ，得 ，故选 C.()fgee121e【思路点拨】由题意可得 在 时单调递增，要使对任意的 ，都有(),fg,e2,xe成立，只需 .12()fxminax()x【题文】（12）定义函数 ，则函数 在区间 内的348,12,()(),.2fxf ()6gxf1,2(n*)N所有零点的和为 ( ) （A） （B） （C） （D） 31()42n312n3(21)4n3(21)n【知识点】根的存在性及根的个数判断 B5【答案】【解析】D 解析：当 时， ，x8fx（ ）所以 ，此时当 时， ；2(8)1gx32x0maxg（ ）当 时， ，所以 ；32 68fx（ ） 281（ ）
11、 （ ） 由此可得 时， 120maxg（ ）下面考虑 且 时， 的最大值的情况nnx（ ）当 时，由函数 的定义知 ,1223fx（ ） 112()(2nxfxff因为 ，所以 ，1n225(18)nng此时当 时， ；2x0max（ ）当 时，同理可知 23nn1225()0nnx， 由此可得 且 时， 1x2maxg（ ）综上可得：对于一切的 ，函数 在区间 上有 1 个零点，*nN（ ） 1n，从而 g（x）在区间 上有 n 个零点，且这些零点为 ，因此，所有这些零点的和为1， 23nx故选 D.3(2)n【思路点拨】函数 是分段函数，要分区间进行讨论，当 是二次函数，当 时，对fx（
12、 ） 1fx， （ ） 2x应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出第卷（非选择题 共 90 分）【题文】二、填空题（本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分）【题文】（13）函数 的最大值为 ；21()(0)xf【知识点】函数的最值 B3【答案】【解析】 解析：令 （ ），原式 ，（1）tx1t2t2t，（1）式 ，故最大值为 .2t122【思路点拨】令 （ ），原式 ，利用基本不等式即可2txt2t1t求解.【题文】（14）在 中，内角 所对的边的长分别为 ，且 ，则 ABC BC、 、 abc、 、2()abcBA；【知识点】余弦定理 C8【答案】【解析】 解析： ，即
13、，122abc（ ） 22aabcb，由正弦、余弦定理化简得： ，22osB2sinAB则 ，即 或 ， ，2sinABA22abcosA且 ， ，即2abcb（ ） 2bccos02cb，故 不成立，舍去， ，cCB ， ， ， 2AB则 故答案为 .12BA12【思路点拨】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为 代入，约分后再将 代2abc2abc入，利用正弦定理化简得到 ，进而得到 ，即可求出所求式子的值sinAiBcosinAB【题文】（15）函数 的递增区间是 ；()l)(0fxa【知识点】函数的单调性 B3【答案】【解析】 解析： ， 定义域为 ， ，当 时，函1(,)e(,0)
14、(ln)1fxa()0fx数 递增，此时 ，故递增区间为 .()fx0ax1ae【思路点拨】求单调区间先求定义域，再根据 解出 的范围即可.()fx【题文】（16）已知数列 中， ，则 .n1212,5,3()nna20193a【知识点】递推公式 D5【答案】【解析】 解析：由 ，得 ，1123nn112nnan（ ） （ ）数列 是以 为首项，以 为公比的等比1225350aa， ， ， 31数列， 是这个数列的第 19 项， ，019 18219()故答案为 . 【思路点拨】把给出的数列递推式变形，得到等比数列 ，求出其通项公式即可.13na【题文】三、解答题（本题共 6 小题, 共 70
15、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】（17）（本小题满分 10 分）已知 是斜三角形，内角 所对的边的长分别为 己知ABCABC、 、 bc、 、accos3sin（I）求角 ；（II）若 = ，且 求 的面积.c21sin()5sin2,CBAABC【知识点】余弦定理 正弦定理 C8【答案】【解析】（I） （II ） 34解析：（I）根据正弦定理 ，可得 ，acsinAC sinAaiC，可得 ，得sinA3co,oc3cos, ；Cta03（ ， ） ，（II） si(B)5sin2,sini()AB， n()Aco25snco为斜三角形， ， ，AC、 、 cos0si
16、i由正弦定理可知 （1）5ba由余弦定理 .（2）22cC21ab由（1）（2）解得 ., 35sin4ABS【思路点拨】（I）根据正弦定理算出 ，与题中等式比较可得 ，结合 C 为三角 ciai3tan形内角，可得 C 的大小；（II）余弦定理 的式子，列式解出 ，再利用22cosbC5,1b三角形的面积公式加以计算，即可得到 的面积ABC【题文】（18）（本小题满分 12 分）已知等比数列 na为递增数列，且 251021,()5nnaa， N.（）求 ；（）令 1()nnc，不等式 24(,)kck的解集为 M，求所有 ()ka的和.【知识点】数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和
17、D5 D3 D4【答案】【解析】（I） （II ）na14510248()3解析：. （）设 n的首项为 ，公比为 ， ，解得 ，1q42911()aq1aq又 ,则 ， 解得 （舍）或221(55)nnnaa（ ） ， 5（ ） 2012 qn（）由（I）可得： ，12nnnc当 n 为偶数， ，即 ，不成立1204nnc2013n当 n 为奇数 ，即 ，101248549m， ， ，组成首项为 ，公比为 4 的等比数列kaM（ ） 12则所有 的和 k（ ） 451028()3【思路点拨】（）设 na的首项为 ，公比为 ，由 ，可得 ，解得 再1q2510a42911()aq1aq利用 ，
18、可得 ，即可得出 215na（ ） qn（II）由（I）可得 当 n 为偶数，不成立当 n 为奇数，2nnc，可得 ，得到 的取值范围可知 组成首项为 211，公比为 4 的104nncmkaM（ ）等比数列,求出即可【题文】(19)（本小题满分 12 分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.课 程
19、来 初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步合格的概率 32433221（）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（）记 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求 的分布列及期望 E【知识点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 K6 K2 K8【答案】【解析】（I） （ II）5124解析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A，B，C，D，且事件 A，B，C，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： PPABCD（ ） （ ） （ ）3221354421（2）由题设知 的所有可能取值为 0，1，2
20、，3， ， ，5312B （ ， ） 0374128()（ ）， ，21357()8PC（ ） 27()8PC（ ）， 的分布列为：3512()78PC（ ） , 5312B （ ， ） 51234E【思路点拨】（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A，B ，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为 ，由事件 A，B，C，D 相互独立能求出结果PACDBP（ ） （ ） （ ）（II）由题设知 的所有可能取值为 0，1，2，3， ，由此能求出 的分布列和数学期望 5312 （ ， ）【题文】(20) （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 为棱 上的动点，1
21、AB1AB90AF1A14,2C（）当 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值；F1C1F（）当 的值为多少时，二面角 的大小是 45 1A1B【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角 G12 G10【答案】【解析】（I） （II ）63153AF解析：（1）如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 ， 为 中点， ，1102020402ABCAC（ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） F1A02()F， ，1()()(24)BF， ， ， ， ， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，nxyz， ， 1F
22、则 ，得 , 取 ，得 ，1024BCzAxyz1x)1(n， ，设直线 与平面 的法向量 的夹角为 ，11)(n， ， 则 ，63|2ncosA直线 BC 与平面 BFC1 所成角的正弦值为 （5 分）（2）设 ， ，0,(4)Ft1()2,04()2BFtC， ， ，设 是平面 的一个法向量，nxyz， ， 1C则 ，1240BtCz取 ，得 , 是平面 的一个法向量，z)(nt， ， (2)AB， ， 1BFC，得 ，|cosAB ， 224t52t即 ，1532F，当 时，二面角 的大小是 （10 分）1A1BFC45【思路点拨】（I）以点 A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 BC 与平面 所成角的1BFC正弦值
