1、上海市杨浦区 2015 届高三第一学期学业质量调研数学（理）试题一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1已知 ,0,1sin2，则 =_.2设 3Ax， 124,BxmR， AB，则 m 的取值范围是_.3已知等差数列 na中， 37,a，则通项公式为 na_.4已知直线 l经过点 1,2,，则直线 l的方程是_.5. 函数 02xf的反函数 xf16. 二项式91的展开式（按 x 的降幂排列）中的第项是_.7 已知条件 :2px；条件 :qa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围
2、是 8向量 ,31,ab，若 mb与 2平行，则实数 m=_.9一家 5 口春节回老家探亲，买到了如下图的一排 5 张车票：窗口 6 排 A 座 6 排 B 座 6 排 C 座 走廊 6 排 D 座 6 排 E 座 窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有_种。10在底面直径为 6 的圆柱形容器中，放入一个半径为 2 的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_.（相同质量的冰与水的体积比为 10：9）11不等式 2log431x的解集是_.12设 ABC的内角 , , 所对的边长分别为 a,b, c，若30bca，则角
3、_.13已知132i，集合 2*1,nAzN，集合112|,Bxzz、（ 可以等于 2)，则集合 B 的子集个数为_.14如图所示，已知函数 2log4yx图像上的两 1,0is开始 1i否输出 s结束是第 15 题图2s点 A、 B 和函数 2logyx上的点 C，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 ,pq, 则 2q的值为_.二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15程序框图如图所示，若其输出结果是 140，则判断框中填写的是
4、（ ）A 7i B 8i C D 16下列命题中正确的是（ ）A若 x，则方程 32x只有一个根B若 12,z且 120z，则 12zC若 R，则 不成立D若 z，且 20z，那么 z一定是纯虚数17圆心在抛物线 xy上，且与 x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A 0122yxB04122yxC2D 218对数列 ,nab，若区间 ,nab满足下列条件： 1,*,nN； lim0na，则称 ,nab为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）A 12,3nnn； B. 21,31nnabC 1,nnnabD ,nn三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列
5、各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分 第 14 题图A1AC1CB1BD1DOA BCDM N如图，正四棱柱 1ABCD的底面边长为 1，异面直线 与 所成角的大小为 60，求：（1 ）线段 1到底面 的距离；（2 ）三棱椎 1BAC的体积。20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，MON，现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、B 在弧 MN
6、上，且线段 AB 平行于线段 MN（1 ）若点 A 为弧 MN 的一个三等分点，求矩形 ABCD 的面积 S；（2 ）当 A 在何处时，矩形 ABCD 的面积 S 最大？最大值为多少？21 （本题满分 14 分）第一小题 3 分，第二小题 5 分，第三小题 6 分已知函数21axfbc是奇函数， ,abc为常数求实数 c的值；若 ,abZ，且 2,3ff，求 fx的解析式；对于（2）中的 fx，若 2m 对 0,恒成立，求实数 m的取值范围.xyOABF2F1F3 F422 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第一小题 3 分，第二小题 7 分，第三小题 6 分 如图，曲线 由曲线21
7、:0,xyCaby和曲线2:10xyCab组成，其中点 12,F为曲线 1所在圆锥曲线的焦点，点 34,F为曲线 2所在圆锥曲线的焦点，（1 ）若 3,06,，求曲线 的方程；（2 ）如图，作直线 l平行于曲线 2C的渐近线，交曲线 1C于点 A、B，求证：弦 AB 的中点M 必在曲线 2C的另一条渐近线上；（3 ）对于（1 ）中的曲线 ，若直线 1l过点 4F交曲线 1于点 C、D ，求 1F面积的最大值。23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.数列 na各项均不为 0，前 n 项和为 nS，3nba， 的
8、前 n 项和为 nT，且2nS若数列 n共 3 项，求所有满足要求的数列；求证： *naN是满足已知条件的一个数列；请构造出一个满足已知条件的无穷数列 na，并使得 20154a；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个） 。理科评分参考填空题1.56或21,03 *nN4 10xy5. 6 38x7 1a8 29 301016511 2log3,12 313 1614 12二、选择题15 B16 D17 D18 C三、解答题19 （本题 12 分）解：（1） /AB，1为异面直线 AD与 1BC所成角， 160BC 2 分正四棱柱 1， /ADA面 ， 面1B线 段 的长为线段
9、到底面 的距离， 4 分RTC中， ， 160CB， 13BC线段 1A到底面 D的距离为 3 6 分（2） 11BCBV 8 分3210 分6 12 分20 （本题 14 分，第一小题 6 分，第二小题 8 分）（1 ）解：如图，作 OHAB于点 H，交线段 CD 于点 E，连接 OA、OB ，6AB， 2 分2sin,cos11R，i2OEDcosin1HHE CDBNOMA4 分 2 22sincosinsincosin12111SABEHRR2 3ic66 分（2 ）设02AOB7 分则sin,cosRH，1sin2OEABRin2EO9 分22sicosisincosinSABHRR
10、22inc1in1411 分0,，3,412 分42即 时， 13 分max1SR，此时 A 在弧 MN 的四等分点处答：当 A 在弧 MN 的四等分点处时， 2max1SR14 分21 （本题 14 分，第一小题 3 分，第二小题 5 分，第三小题 6 分）（1 ） fxf，22bc1 分bc 2 分0 3 分（2 ） 12,3ff， 1243ab4 分124132abaa5 分 ,0Z或 6 分当 a时，12b（舍） 7 分当 1时， ，21xf8 分（3 ）fx1123mx对 0,恒成立3x，当且仅当时等号成立即时， min1323x2m22 （本题 16 分，第一小题 3 分，第二小题
11、 7 分，第三小题 6 分）（1 ）226041aba2 分则曲线 的方程为206xy和21006xy。 3 分（2 ）曲线 2C的渐近线为ba4 分如图，设直线:lyxm5 分则222 01byxaxa6 分2224402mamam 又由数形结合知 ， a 7 分设点 120,AxyBMxy，则221ma， 8 分120x，02bbmyxa9 分00bya，即点 M 在直线 上。 10 分（3 ）由（1 ）知，曲线21:006xyC，点 46,F设直线 1l的方程为 n 2245864006xyyn10 分22281nn11 分设 34,CxyD由韦达定理：342856ny12 分22343
12、43415nyy11414221434118656452CDFDF nnSSy 13 分令20tn， 2nt，12164564599CDFtSt14 分0t，1t，当且仅当32t即n时等号成立 15 分32n时， 1max1654CDFS16 分23 （本题 18 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分，第三小题 8 分）（1 ） n时， 2321110TSaa舍 去1 分时， 2232221a舍 去或 2 分3n时， 2231213+TSaa当 2时，383330或 舍 去 当 21a时，23-+1-1aa舍 去3 分所以符合要求的数列有： ,； ,2； , 4 分（2 ） n，即证 2333nn ， 用数学归纳法证：1 时， 321成立 6 分2假设 nk， 23312kk 成立 7 分则 1时， 323211k 23242kkk 2111 等式也成立 9 分
