1、上海市宝山区 2015 届高三上学期期末质量监测数学试卷一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对 3 分，否则一律得 0 分1. 函数 3tanyx的周期是 2.计算 241= 3.计算 limn23n 4.二项式 展开式中， 的系数为 10(x)8x5设矩阵 4A， 21B，若 BA241，则 x .6现有 6 位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种.7若 cos()2， 3，则 sin 8.若一个球的体积为 ，则它的表面积为 _49.若函数 sin()0)yx是 R上的偶函数，则 的值是 10.正四棱锥 的所有棱长均相等， 是 的中点，ABC
2、DPEPC那么异面直线 与 所成的角的余弦值等于 E11.直线 20xy被曲线 26xy150所截得的弦长等于 12.已知函数的部分图像如图所示，),(),sin()( Axxf则 yf的解析式是 (x)f 二选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3 分，否则一律得 0 分13已知点 (tan,cos)P在第三象限，则角 的终边在（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限ECDPA B14已知函数 yxb， (0,)是增函数，则 （ ）（A） 0， 是任意实
3、数 （B） 0， b是任意实数 （C） b， 是任意实数 （D） ， 是任意实数15在 中，若 asin2，则这个三角形中角 A的值是（ ）（A） 3或 6 （B） 45或 60 （C） 6或 12 （D） 30或 1516.若 ，则（ ）loglab()01()1()()aba17.双曲线 24x- y=1 的焦点到渐近线的距离为（ ）（A） 3 （B）2 （C） 3 （D）118.用数学归纳法证明等式 215()n（ nN*） 的过程中，第二步假设 n=k时等式成立，则当 n=k+1 时应得到（ ）（A） 2135()k （B） 1(（C） 2(2)k （D） 135(319.设 zi（
4、是虚数单位） ，则复数 2z对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 20.圆 在点 处的切线方程为 ( ) 042xy3,1P（A） （B）304yx（C） （D）yx 221.“ ”是“ ”的（ ）1tan)(4Zkx（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件.22. 在四边形 ABCD 中, (1,2)AC, (4,2)BD,则四边形的面积为（ ） （A） 5（B） 5（C）5 （D）1023函数 2(0)yx的反函数是（ ）（A） 2(0)yx（B） 2(0)yx（C） （D） 24曲线 21|y
5、x的部分图像是（ ）（A） （B）(C) （D）三、解答题（本大题满分 48 分）解答下列各题必须写出必要的步骤25.（本题满分 8 分）如图，正四棱柱 的底面边长 ，1DCBA2AB若异面直线 与 所成角的大小为 ，求正四棱A1 arctn柱 的体积.BCD26 （本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分已知点 F为抛物线 2:4Cyx的焦点，点 P是准线 l上的动点，直线 PF交抛物线 C于,AB两点，若点 P的纵坐标为 (0)m，点 D为准线 l与 x轴的交点(1)求直线 的方程；(2)求 面积 S的取值范围27.（本题满分 10 分）
6、本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分已知函数 ()()xafR第 26 题DlPFABOyx（1）写出函数 ()yfx的奇偶性；（2）当 0x时，是否存实数 a，使 ()yfx的图像在函数 2()gx图像的下方，若存在，求 a的取值范围；若不存在，说明理由28.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 5 分已知抛物线 24xy，过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 1P，又过点 1P作斜率为 的直线交抛物线于点 2P，再过 2作斜率为 4的直线交抛物线于点 3， ，如此继
7、续。一般地，过点 n作斜率为 n的直线交抛物线于点 1nP，设点 (,)nxy（1）求 31x的值；（2）令 21nnb，求证：数列 nb是等比数列；（3）记 为点列 的(x,y)P奇 奇 奇 1321,nP极限点，求点 的坐标奇四、附加题（本大题满分 30 分）本大题共有 3 题，解答下列各题必须写出必要的步骤29.（本题满分 8 分）有根木料长为 6 米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为 12，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）. 30.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分在平面
8、直角坐标系 中，点 到两点 、 的距离之和等于 4设点xoyP0,3,的轨迹为 CP(1)写出轨迹 的方程；(2)设直线 1ykx与 交于 、 两点，问 为何值时 此时| |的值是多ABk?OBA少？31 （本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 5 分设数列 na的首项 为常数，且 12(*)naN1x2x（1）证明： 35na是等比数列；（2）若 1， n中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由（3）若 na是递增数列，求 的取值范围1a二选择题13（ B ） 14（A ） 15（D） 16.
9、（B） 17.（ A ） 18.（ B ）19.（ A ） 20. ( D ) 21.（ B ） 22.（ C ） 23.（D） 24 （ C ）三、解答题25. 所 成 的 角、为 CBA11/且 2tan4 分BC416 分6shV8 分26 解：（1）由题知点 ,PF的坐标分别为 (1,)m， (,0，于是直线 F的斜率为 2m， 2 分所以直线 的方程为 ()yx，即为 2xy 4 分（2）设 ,AB两点的坐标分别为 12,)y，由24(1),yxm得 222(6)0mx，所以 216x， 12x 6 分于是 24|AB 7 分点 D到直线 0mxy的距离 2|4md， 8 分所以2
10、2214()| 12Sd.因为 R且 0，于是 S，所以 DAB的面积 S范围是 (4,)10 分27.解：（1）因为 ()yfx的定义域为 R，所以 1 分当 a时， 2()f是奇函数； 2 分当 0时， ()axx是非奇非偶函数 4 分（2）若 ()yf的图像在函数 2gx图像的下方，则 xa，化简得 4ax恒成立， 6 分因为， 8 分 4所以，当 a时， ()yfx的图像都在函数 2()gx图像的下方10 分第 25 题28. 解：（1 ）直线 的方程为 yx，由 24yx解得 1(,)P，1 分1OP直线 21P的方程为 42y，即 1由 2xy得 2(,1)P，2 分直线 3P的方
11、程为 4yx，即 1342yx由 241xy解得， )9,3(P所以 31x 3 分（2）因为 24(,)nnx， 2114(,)nx，由抛物线的方程和斜率公式得到5 分2114nnnx所以 18n，两式相减得 12nnx6 分用 2代换 得 214bx， 由（1）知，当 时，上式成立，所以 n是等比数列，通项公式为 nb 7 分（3）由 得，214nnx， ， ， 8 分 532214nnx以上各式相加得 ，10 分2184nnx所以 ， lim3奇 29yx奇 奇即点 的坐标为 12 分P奇 86,9四、附加题29. 解：如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料
12、总长= 6 7x窗框的高为 3x，宽为 2 分376x x2x即窗框的面积 y = 3x =7x2 + 6x ( 0 x ) 5 分376x76配方：y = ( 0 x 2 ) 7 分9)(72x当 x = 米时，即上框架高为 米、下框架为 米、宽为 1 米时，光线通过窗框面积37最大. 8 分30. 解：（1）设 P（ x， y）,由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C是以 (0,3)(,为焦点，长半轴为 2 的椭圆. 2 分它的短半轴 22(3)1,b故曲线 C 的方程为 4yx4 分（2）设 12()()AB，其坐标满足214yxk消去 y 并整理得 2(4)30kxk，故 12124x，
13、5 分由 OAB，即 xy 6 分而 21112()yk，于是 2223414kkx 所以 k时， 120xy，故 OAB8 分当 时， 7， 127x2 21 1()()()ABxykx，而 22124x324，所以 4651710 分31 证明：（1）因为11325nna，所以数列 35na是等比数列；3 分（2） 3na是公比为2，首项为 1950a的等比数列通项公式为 111339(2)(2)550n nna， 4 分若 n中存在连续三项成等差数列，则必有 12nna，即 1211 )(0953)(0953)2(09532 nn解得 4n，即 6,a成等差数列 7 分（3）如果 1n成立，即1 1133(2)(2)55n nnaa 对任意自然数均成立化简得9 分nna)2(541当 为偶数时 ,354因为 是递减数列，所以 ，nnp)2(13)( 0)2()(maxpn即 ； 10 分01a当 n为奇数时， ,因为 是递增数列，n)3(541nq)23(154)(所以 ，即 ；11 分)()(minq1a故 的取值范围为 12 分1a,0
