1、2.3 用公式法求解一元二次方程一、选择题1若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk52下列一元二次方程没有实数根的是（ ）Ax 2+2x+1=0Bx 2+x+2=0 Cx 21=0 Dx 22x1=03下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）A2x 26x+1=0 B3x 2x5=0 Cx 2+x=0 Dx 24x+4=04一元二次方程 2x23x+1=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根5一元二次方程 x24x+4=
2、0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 24C无实数根 D无法确定 t6a，b，c 为常数，且（ac） 2a 2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ） pA有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 bC无实数根 D有一根为 0t7若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） zAk1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 h8y= x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况为（ ） VA没有实数根 B有一个实数根 iC有两个不相等的实数根 D有两个相
3、等的实数根 p9关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个相等的实根，则 k 的值为（ ） 2Ak=4 Bk=4 Ck4 Dk4 P10若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k 21=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） RAk1 Bk1 Ck1 Dk1 g二、填空题 p11如果关于 x 的方程 x23x+k=0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是 l12关于 x 的一元二次方程 x2+2xk=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 C13关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= d14关于
4、x 的方程 3kx2+12x+2=0 有实数根，则 k 的取值范围是 915关于 x 的方程 kx24x4=0 有两个不相等的实数根，则 k 的最小整数值为 R16如果关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a+2=0 有两个相等的实数根，那么实数 a 的值为 P三、解答题 n17已知关于 x 的一元二次方程 mx2+mx+m1=0 有两个相等的实数根 A（1）求 m 的值； =（2）解原方程 =18已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根19定义新运算：对于任意实数 m、n 都有
5、mn=m 2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32=（3） 22+2=20根据以上知识解决问题：若 2a 的值小于 0，请判断方程：2x 2bx+a=0 的根的情况20已知关于 x 的方程 x2（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（2m1） 2+（3+m）（3m）+7m5 的值（要求先化简再求值）21已知关于 x 的一元二次方程（x1）（x4）=p 2，p 为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解（直接写出三个，不需说明理由）22嘉淇同学用配方法推导一元二次方
6、程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式时，对于b24ac0 的情况，她是这样做的：由于 a0，方程 ax2+bx+c=0 变形为：x2+ x= ，第一步x2+ x+（ ） 2= +（ ） 2，第二步（x+ ） 2= ，第三步x+ = （b 24ac0），第四步x= ，第五步嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当 b24ac0 时，方程ax2+bx+c=0（aO）的求根公式是 用配方法解方程：x 22x24=02.3 用公式法求解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题 2352181若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
7、Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根， ，即 ，解得：k5 且 k1 23252128故选 B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于 k 的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键2下列一
8、元二次方程没有实数根的是（ ）Ax 2+2x+1=0Bx 2+x+2=0 Cx 21=0 Dx 22x1=0【考点】根的判别式【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断【解答】解：A、=2 2411=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、=1 2412=70，方程没有实数根，此选项正确；C、=041（1）=40，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、=（2） 241（1）=80，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实
9、数根；（3）0方程没有实数根3下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）A2x 26x+1=0 B3x 2x5=0 Cx 2+x=0 Dx 24x+4=0【考点】根的判别式【分析】由根的判别式为=b 24ac，挨个计算四个选项中的值，由此即可得出结论【解答】解：A、=b 24ac=（6） 2421=280，该方程有两个不相等的实数根；B、=b 24ac=（1） 243（5）=610，该方程有两个不相等的实数根；C、=b 24ac=1 2410=10，该方程有两个不相等的实数根；D、=b 24ac=（4） 2414=0，该方程有两个相等的实数根故选 D【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是
10、根据根的判别式的正负判定实数根的个数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负，得出方程解得情况是关键4一元二次方程 2x23x+1=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【考点】根的判别式【分析】代入数据求出根的判别式=b 24ac 的值，根据的正负即可得出结论【解答】解：=b 24ac=（3） 2421=10，该方程有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式=1本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键5一元二次方程 x24x+4
11、=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程 x24x+4=0 中，=（4） 2414=0，该方程有两个相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出=0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键6 a，b，c 为常数，且（ac） 2a 2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实
12、数根 D有一根为 0【考点】根的判别式【分析】利用完全平方的展开式将（ac） 2展开，即可得出 ac0，再结合方程ax2+bx+c=0 根的判别式=b 24ac，即可得出0，由此即可得出结论【解答】解：（ac） 2=a2+c22aca 2+c2，ac0在方程 ax2+bx+c=0 中，=b 24ac4ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出=b 24ac0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键7若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有实数根，则实
13、数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0【考点】根的判别式【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于 k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为 0【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有实数根，=b 24ac0，即：4+4k0，解得：k1，关于 x 的一元二次方程 kx22x+1=0 中 k0，故选：C【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况8 y= x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况为（ ）A没有实数根 B
14、有一个实数根C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根【考点】根的判别式；一次函数的定义【分析】由一次函数的定义可求得 k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案【解答】解：y= x+1 是关于 x 的一次函数， 0，k10，解得 k1，又一元二次方程 kx2+2x+1=0 的判别式=44k，0，一元二次方程 kx2+2x+1=0 无实数根，故选 A【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即0一元二次方程有两个不相等的实数根， =0 一元二次方程有两个相等的实数根，0一元二次方程无实数根9关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=
15、0 有两个相等的实根，则 k 的值为（ ）Ak=4 Bk=4 Ck4 Dk4【考点】根的判别式【分析】根据判别式的意义得到=4 24k=0，然后解一次方程即可【解答】解：一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个相等的实根，=4 24k=0，解得：k=4，故选：B【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根10若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k 21=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk1【考点】根的判别式【分析】直接利用
16、根的判别式进而分析得出 k 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k 21=0 有实数根，=b 24ac=4（k1） 24（k 21）=8k+80，解得：k1故选：D【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出关于 k 的等式是解题关键二、填空题11如果关于 x 的方程 x23x+k=0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是 【考点】根的判别式；解一元一次方程【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：关于 x 的方程 x23x+k=0 有两个相等的实数根，=（3） 241k=94k=0，解得
17、：k= 故答案为： 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出 94k=0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键12（2016新疆）关于 x 的一元二次方程 x2+2xk=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k1 【考点】根的判别式【分析】根据判别式的意义得到=2 2+4k0，然后解不等式即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2xk=0 有两个不相等的实数根，=2 2+4k0，解得 k1故答案为：k1【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等
18、的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根13关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= 3 【考点】根的判别式【分析】根据题意可知判别式=b 280，从而求得 b 的取值范围，然后即可得出答案【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根，=b 280，b2 或 b2 ，b 为 3，4，5 等等，b 为 3（答案不唯一）故答案为 3【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数
19、根14关于 x 的方程 3kx2+12x+2=0 有实数根，则 k 的取值范围是 k6 【考点】根的判别式【分析】由于 k 的取值不确定，故应分 k=0（此时方程化简为一元一次方程）和 k0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答【解答】解：当 k=0 时，原方程可化为 12x+2=0，解得 x= ；当 k0 时，此方程是一元二次方程，方程 3kx2+12x+2=0 有实数根，0，即=12 243k20，解得 k6k 的取值范围是 k6故答案为：k6【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 的关系，同时解答此题时要注意分 k=0 和 k0 两种情况进行讨论15关于 x 的方程 kx24x4=0 有两个不相等的实数根，则 k 的最小整数值为 1 【考点】根的判别式
