1、【名师解析】江苏省泰州市 2015 届高三一模数学试题一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5 分）（2015泰州一模）已知 A=1，3，4，B=3， 4，5，则 AB= 3 ，4 【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解析】： 解：A=1 ，3， 4，B=3 ，4，5 ，AB=3，4 故答案为：3，4【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）（2015泰州一模）函数 f（x）=2sin （3x+ ）的最小正周期 T= 【考点】： 三角
2、函数的周期性及其求法【专题】： 计算题【分析】： 由函数解析式找出 的值，代入周期公式 T= ，即可求出函数的最小正周期【解析】： 解：函数 f（x）=2sin（3x+ ），=3，T= 故答案为：【点评】： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键3（5 分）（2015泰州一模）复数 z 满足 iz=3+4i（i 是虚数单位），则 z= 43i 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则即可得出【解析】： 解：iz=3+4i，iiz=i（3+4i），z=43i，故答案为：43i【点评】： 本题考查了复数的运算法则，属于
3、基础题4（5 分）（2015泰州一模）函数 y= 的定义域为 2 ，+ ） 【考点】： 函数的定义域及其求法【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 由根式内部的代数式大于等于 0，然后求解指数不等式【解析】： 解：由 2x40，得 2x4，则 x2函数 y= 的定义域为2，+）故答案为：2，+）【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题5（5 分）（2015泰州一模）执行如图所示的流程图，则输出的 n 为 4 【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，n 的值，当 S=63 时，不满
4、足条件 S63，退出循环，输出 n 的值为 4【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得S=511，n=1满足条件 S63，S=255，n=2满足条件 S63，S=127，n=3满足条件 S63，S=63，n=4不满足条件 S63，退出循环，输出 n 的值为 4故答案为：4【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环的 S，n 的值是解题的关键，属于基础题6（5 分）（2015泰州一模）若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则 x =2 【考点】： 极差、方差与标准差【专题】： 概率与统计【分析】： 由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之【解析】： 解：因为数据 2，x，2，2
5、的方差为 0，由其平均数为 ，得到=0，解得 x=2；故答案为：2【点评】： 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用，熟记公式是关键，属于基础题7（5 分）（2015泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 【考点】： 古典概型及其概率计算公式【专题】： 排列组合【分析】： 从中任取两个球共有红 1 红 2，红 1 白 1，红 1 白 2，红 2 白 1，红 2 白 2，白 1 白2，共 6 种取法，其中颜色相同只有 2 种，根据概率公式计算即可【解析】： 解：从中任取两个球共有红 1 红 2，红 1 白 1，红 1 白 2，红 2 白 1
6、，红 2 白 2，白1 白 2，共 6 种取法，其中颜色相同只有 2 种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率 P= = ；故答案为： 【点评】： 本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题8（5 分）（2015泰州一模）等比数列 an 中，a 1+32a6=0，a 3a4a5=1，则数列前 6 项和为 【考点】： 等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 根据 a1+32a6=0，求出公比 q 的值，再根据 a3a4a5=1，求出 a4 与 a1，即可计算数列的前 6 项和 S6【解析】： 解：等比数列a n中，a 1+32a6=0，q 5= = ，即公比 q= ；又a
7、 3a4a5=1，a 4=1，a 1= = =8；该数列的前 6 项和为S6= = = 故答案为： 【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和的计算问题，是基础题目9（5 分）（2015泰州一模）已知函数 f（x）= 是奇函数，则 sin= 1 【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】： 由已知中函数 f（x）= 是奇函数，可得cos（x+）=sinx 恒成立，进而 = +2k，kZ，进而可得 sin 的值【解析】： 解：当 x0 时，x0，则 f（x）=x 2+cos（x+），f（x）=（x） 2+sin（x）=x 2sinx，函数
8、f（x）是奇函数，f（x）=f（x），cos（x+）=sinx 恒成立，= +2k，kZ ，sin=1，故答案为：1【点评】： 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数与函数图象和性质的综合应用，难度中档10（5 分）（2015泰州一模）双曲线 =1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 e= 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出 a、b、c 关系式，然后由离心率公式即可计算得到【解析
9、】： 解：双曲线 =1 的右焦点为（c，0），左顶点为（ a，0），右焦点到双曲线渐近线 bxay=0 的距离为： = =b，右焦点（c，0）到左顶点为（a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b= （a+c），即有 4b2=a2+c2+2ac，即 4（c 2a2）=a 2+c2+2ac，即 3c25a22ac=0，由 e= ，则有 3e22e5=0，解得，e= 故答案为： 【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题11（5 分）（2015泰州一模）若 、 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）若直线 m，则在平面 内，一定不
10、存在与直线 m 平行的直线若直线 m，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直若直线 m，则在平面 内，不一定存在与直线 m 垂直的直线若直线 m，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答【解析】： 解：对于，若直线 m，如果 ， 互相垂直，则在平面 内，存在与直线 m平行的直线故错误；对于，若直线 m，则直线 m 垂直于平面 内的所有直线，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直故正确；对于，若直线 m，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直
11、线故错误；对于，若直线 m，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线故正确；故答案为：【点评】： 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑12（5 分）（2015泰州一模）已知实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c0，则 的取值范围为 【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c0，化为 =1，令=cos， =sin， 0，2）可得 k= = = ，表示点 P（2，0）与圆x2+y2=1 上的点连线的在的斜率利用直线与圆的位置关系即可得出【解析】： 解：实数 a，b，c 满足 a
12、2+b2=c2，c0， =1，令 =cos， =sin， 0，2）k= = = ，表示点 P（2，0）与圆 x2+y2=1 上的点连线的直线的斜率设直线 l：y=k（x2），则 ，化为 ，解得 的取值范围为 故答案为： 【点评】： 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5 分）（2015泰州一模）在ABC 中，A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，若B= C 且 7a2+b2+c2=4 ，则ABC 的面积的最大值为 【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 由B=C
13、 得 b=c，代入 7a2+b2+c2=4 化简，根据余弦定理求出 cosC，由平方关系求出 sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形 ABC 面积的最大值【解析】： 解：由B=C 得 b=c，代入 7a2+b2+c2=4 得，7a2+2b2=4 ，即 2b2=4 7a2，由余弦定理得，cosC= = ，所以 sinC= = = ，则ABC 的面积 S= = = a= = = = ，当且仅当 15a2=8 15a2 取等号，此时 a2= ，所以ABC 的面积的最大值为 ，故答案为： 【点评】： 本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变
14、形、化简能力14（5 分）（2015泰州一模）在梯形 ABCD 中， =2 ， =6，P 为梯形 ABCD 所在平面上一点，且满足 + +4 = ， = ，Q 为边 AD 上的一个动点，则 的最小值为 【考点】： 向量的加法及其几何意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 画图，根据向量的几何意义和 + +4 = ，可求出 =2，| |=4，设ADP= ，根据 = ，求出 cos，继而求出 sin，再根据射影定理得到 的最小值【解析】： 解：取 AB 的中点，连接 PE， =2 ， =2 ， = ，四边形 DEBC 为平行四边形， = ， + =2 ， + +4 = ， =2 ， =6， =2
15、，| |=4，设ADP= ， = ， =| | |cos= ，cos= ，sin= ，当 时， 最小， =|DP|sin|=2 =故答案为：【点评】： 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14 分）（2015泰州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边经过点 P（3，4）（1）求 sin（+ ）的值；（2）若 P 关于 x 轴的对称点为 Q，求 的值【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数【专题】： 平面向量及应用【分析】： （1）由已知的 的三角函数
16、值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出 Q 的坐标，明确 ， 的坐标，利用数量积公式解答【解析】： 解：（1）角 的终边经过点 P（3，4）， ，（4 分） （7 分）（2）P（3，4）关于 x 轴的对称点为 Q，Q（3，4）（9 分） ， （14 分）【点评】： 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算属于基础题16（14 分）（2015泰州一模）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 相交于点 O，EF AB ，AB=2EF，平面 BCF平面 ABCD，BF=CF，点 G 为 BC 的中点（1）求证：直线 OG平面 EF
17、CD；（2）求证：直线 AC平面 ODE【考点】： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可【解析】： 证明（1）四边形 ABCD 是菱形，ACBD=O ，点 O 是 BD 的中点，点 G 为 BC 的中点OGCD，（3 分）又OG平面 EFCD，CD平面 EFCD，直线 OG平面 EFCD（7 分）（2）BF=CF，点 G 为 BC 的中点， FGBC，平面 BCF平面 ABCD，平面 BCF平面 ABCD=BC，FG平面 BCF，FGBCFG 平面ABCD，（9 分）AC平面
18、 ABCDFGAC， ， ，OGEF ，OG=EF，四边形 EFGO 为平行四边形，FG EO，（11 分）FGAC ，FGEO，ACEO，四边形 ABCD 是菱形，ACDO，ACEO，ACDO，EODO=O，EO、DO 在平面 ODE 内，AC平面 ODE（14 分）【点评】： 本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题17（14 分）（2015泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三角形 PRQ 构成，其中 O 为 PQ 的中点现准备在公园里建设一条四边形健康跑道 ABCD，按实际需要，四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR上，另外两个顶点 A、B 在半圆上，ABCDPQ，且 AB、CD 间的距离为 1km设四边形ABCD 的周长为 ckm（1）若 C、D 分别为 QR、PR 的中点，求 AB 长；（2）求周长 c 的最大值
