1、第十章 等截面直杆的扭转,要点：,（1）等截面直杆扭转问题的基本方程, 扭转应力函数,（2）按应力求解扭转问题的方法,（3）扭转问题的薄膜比拟理论,10-1 扭转问题中应力和位移,10-2 扭转问题的薄膜比拟,10-3 椭圆截面的扭转,10-4 矩形截面杆的扭转,10-5 薄壁杆的扭转,10-6 扭转问题的差分解,主 要 内 容,10-1 扭转问题中应力和位移,问题：,（1）等截面直杆，截面形状可以任意；,（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ；,求：杆件内的应力与位移？,1. 扭转应力函数,求解方法：,按应力求解；,半逆解法 由材料力学中某些结果出发，求解。,（3）两端无约束，为自由扭转
2、，不计体力 ；,材料力学结果：,（1）,（自由扭转）,（2）,侧表面：,（10-1）,扭转问题的未知量：,为三向应力状态，且不是轴对称问题。,扭转问题的基本方程,平衡方程：,（8-1）,将式（10-1）代入，得：,（a）, 扭转问题的平衡方程,相容方程：,相容方程：,（9-32）, 扭转问题的相容方程,（c）,边界条件：,（1）侧面：,（2）端面：,（n=0, ）,（b）,（d）,（e）,（f）,（a）,（b）, 扭转问题的相容方程, 平衡方程,基本方程的求解,由式（a）的前二式，得, 二元函数,由式（a）的第三式，得,由微分方程理论，可知：一定存在一函数（x，y），使得：,于是有：,（10-
3、2）,（x，y）扭转应力函数,也称普朗特尔(Prandtl)应力函数,将式（10-2）代入相容方程（b），有,（10-3）,由此可解得：, 用应力函数表示的相容方程,式中：C 为常数。,结论：,等直杆的扭转问题归结为：,按相容方程（10-3）确定应力函数（x，y），然后按式（10-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。,定解条件边界条件,（1）侧表面：,将 、 l、m 代入上述边界条件，有,又由式（10-2），应力函数 差一常数不影响应力分量的大小，,表明：在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数 应取常数。,（10-4）, 扭转问题的定解条件之一。,对于多连体（空心杆）问题， 在每一边界上
4、均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取 s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：,于是对单连体（实心杆）可取：,Ci 的值由位移单值条件确定。,（2）上端面：,由圣维南原理转化为：,（c）,（d）,（e）,对式（c），应有,同理，对式（d），应有,对式（e）：,分部积分，得：,同理，得：,将其代入式（e）：,得到：,（10-5）,结论：,等直杆的扭转问题归结为解下列方程：,（10-3）,泛定方程：,定解条件：,（10-4）,（10-5）,应力分量：,2. 扭转的位移与变形,由物理方程，得：,再几何方程方程代入，有,（f）,积分前三式，有,代入后三式，有,又由：,得：,从
5、中求得：,代入 f1、f2 和 u、v 得：,其中： u0、v0 、x、y、z 和以前相同，代表刚体位移。,若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有,（10-6）,将其极坐标表示：,由,将式（10-6）代入，有：,由此可见：,对每个横截面（z =常数）,它在 x y 面上的投影形状不变，而只是转动一个角度 =Kz 。,K 单位长度杆件的扭转角 。,将其代入：,有：,将两式相减，得：,（10-7）,（10-8）,将其对照式（10-3）：,（10-3）,可见：,（10-9）,实际问题中，K 可通过实验测得。,10-2 扭转问题的薄膜比拟,1. 薄膜比拟概念,比拟的概念：,如果两个物理现象，具有
6、以下相似点：,（1）泛定方程；,（2 ）定解条件；,则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。,扭转问题的薄膜比拟：, 由普朗特尔（Prandtl., L.）提出,薄膜在均匀压力下的垂度 z ，与等截面直杆扭转问题中的应力函数 ，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。,因此，可用求薄膜垂度 z,的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，扭转问题的薄膜比拟方法。, 为扭转问题提供了一种实验方法,2. 薄膜比拟方法,设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度 z 。,有关薄膜假定：,不能受弯矩、扭矩、剪力作用，
7、只能受张力 T （单位宽度的拉力）作用。,2. 薄膜比拟方法,方法说明：,取薄膜的一微小部分（ abcd 矩形），其受力如图，,ab 边上拉力：,ab 边上拉力在 z 轴上投影：,cd 边上拉力：,cd 边上拉力在 z 轴上投影：,ad 边上拉力：,ab 边上拉力在 z 轴上投影：,bc 边上拉力：,bc 边上拉力在 z 轴上投影：,在 z 方向上外力：,两边同除以dxdy，整理得：,或：,（10-10）,边界条件：,（10-11）,对于均布压力，有：,式（10-10）和（10-11）变为：,（a）,另一方面，扭转问题有：,（10-8）,（10-4）,将式（10-8）、（10-4）改写为：,（
8、b）,比较式（a）、（b）可见：,当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：,与,决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：,（c）,3. 扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系,薄膜与边界平面间的体积为：,由式（c）:,（c）,得到:,代入上式，有:,由式（10-5）：,得到：,（d）,或,扭矩 M 与薄膜体积的关系,截面剪应力与薄膜斜率的关系,由,可得：,其中：,薄膜垂度 z 沿 y方向的斜率。,（e）,（f）,结论：,当薄膜受均布压力q 作用时，使得：,则得：,（1）,（2）,（3）,由于 x、y 轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如
9、下推论：,（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。,（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。,注：最大剪应力的方向，与该薄膜的最大斜率的方向垂直。,10-3 椭圆截面的扭转,1. 问题的描述,椭圆截面直杆：,长半轴为a，,短半轴为b，,受扭矩M作用。,求：杆中的应力与位移。,2. 问题的求解,求应力函数 ,根据：,（10-4）,及椭圆截面方程：,可假设：,（a）,（b）,式中：m为待定常数。将其代入方程（10-3）：,得到：,（c）,利用方程（10-5）：,（c）,利用方程（10-5）：,（d）,式中：,代入式（d）, 有：,可求得：
10、,（e）,（e）,（c）,将其代入式（e）, 得：,（f）,至此， 满足所有的条件：,（10-4）,（10-3）,（10-5）,求剪应力,（1）剪应力分量：,（10-12）,（2）合剪应力：,（10-13）,（3）最大、最小剪应力：,对上式求极值，当,（10-14）,当 a = b 时，与材料力学中圆截面结果相同。,求杆的形变与位移,由,得到：,（10-15）, 杆件单位长度的扭转角,单位长度的扭转角,位移分量,由,（10-16）,可求得：,由式（10-7）和式（f） :,（f）,比较两式，得：,对其分别积分，得：,式中：w0 为常数，代表刚体位移。,若不计刚体位移，则有：,（10-17）,表
11、明：,扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。,曲面的等高线在 xy 面上的投影为双曲线，其渐近线为 x、y 轴。,仅当 a = b 时（圆截面杆），才有 w = 0，横截面保持平面。,10-4 矩形截面杆的扭转,1. 问题：,图示矩形截面杆：,a、b、M,（1）,（2）,两种情形：,a b；,求：杆的应力与位移。,2. 问题的求解,（1）a b 情形：, 狭长矩形,一般情形；,求应力函数 , a b，,由薄膜比拟可以推断，,应力函数 绝大部分截面几乎不随 x 变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。,可以近似地取：,而：,变为：,对上式积分，有,利用边界条件：,可求得：,（a）,
12、利用式（10-5）：,积分求得：,（b）,（c）,求剪应力,（1）剪应力分量：,（10-18）,（2）最大剪应力：,（10-19）,杆件的变形,单位长度扭转角：,由式（10-9）：,（10-20）,此时应力函数 可表示为：,（d）,（2）任意情形（ a /b=任意值 ）：,求应力函数 ,基本方程与边界条件：,此时应力函数 为一般函数：,求解思路：,对狭长矩形结果，进行修正。,将 分解成两部分，即：,其中： 1为狭长矩形的应力函数，即：,（e）,（f）,（g）,（g）,调整函数F，使其满足边界条件：,将式（g）代入方程：,得到：,因为：,有：,（h）,表明：F 应为一调和函数。,原问题转化为：,
13、（i）,由问题的对称性，F 应为 x、y 的偶函数。,满足上述条件的函数只能是：,（j）,将式（j）代入式（i）第二式，得：,将上式右边为,级数，,并比较两边系数，有,代入函数F，有,最后确定应力函数 为：,（k）,求最大剪应力：,由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点A：x = 0 , y = b/2）,其大小为：,（l）,单位长度扭转角K：,应用式（10-5）：,（m）,代入式（l）, 得最大剪应力公式：,（n）,将上述两公式表示成：,（10-21）,（10-22）,式中：、1仅与a / b 有关。,扭转问题解题小结：,（1）,求应力函数 ,（10-3）,（10-4
14、）,（10-5）,由式（10-4）及边界的几何形状设定应力函数 ，然后由式（10-3）、（10-5）确定待定常数。,对多连体截面杆：,（10-3）,（10-4）,（10-5）,其中：,（1）Ai 为第 i 个内边界所围的面积;,（2） i 为 第 i 个内边界的值;,（3）,求变形与位移,单位长度扭转角：,（10-9）,位移分量：,（2）,求应力分量和最大剪应力,合剪应力：,例：,图示空心圆截面杆件，外半径为a，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。,解：,求应力函数 ,为使 在外边界上的值为零，内边界上的值为常数，可取：,（1）,由端部边界条件式（10-5）得：,于是，得,（2）,（3）,求剪
15、应力,（4）,（5）,求变形与位移,单位长度扭转角：,位移分量：,（10-7）,由：,刚体位移,由于变形引起的轴向位移：,即平面保持平面假设成立。,10-5 薄壁杆的扭转,1. 开口薄壁杆件扭转,分类：,（1）,开口薄壁杆件；,（2）,闭口薄壁杆件。, 仅讨论其自由扭转。,假定：,（1）由于杆件壁厚 b 很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；,（2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。,扭转剪应力与变形：,设 ai、bi 分别为扭杆横截面的第 i 个狭长矩形的长度和宽度，Mi 为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i 代表该 矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的
16、单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有,扭转剪应力与变形：,设 ai、bi 分别为扭杆横截面的第 i 个狭长矩形的长度和宽度，Mi 为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i 代表该 矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有该 矩形长边中点附近的剪应力及杆件的扭转角：,（a）,（b）,由式（b）得：,（c）,整个横截面上的扭矩为：,（d）,比较式（c）与式（d），有：,将上式代回式（a）（b），有：,（10-23）,（10-24）,由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的抗扭刚度为：,说明：,（1） 式（10-23）给出的狭长矩形中点处
17、的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。 应力集中。,（2） 连接处应力随连接圆角的半径 而变化，图中给出胡斯（J. H. Huth）用差分法计算得到的结果。,2. 闭口薄壁杆件扭转,扭转剪应力：, 由薄膜比拟方法分析。,方法说明：,在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；,为使薄壁杆横截面的内边界上的垂度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变形的平板，平板的大小、形状与横截面的内边界相同；,由于杆壁的厚度 很小， 可以预料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，如图所示。,于是，杆壁厚度为 处的剪应力大小（等于薄膜的斜率）为：,（e）,由
18、杆横截面上的扭矩 M 与薄膜、杆横截面所围的体积间关系，有：,（f）,式中 ：A 为横截面内外界所围面积的平均值。,由此得：,将其代入式（e），有：,（10-25）,（10-25）,显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：,扭转变形 单位长度扭转角K,考虑平板CD的平衡：,在杆壁中线取一微小长度ds，该微段薄膜对平板的拉力为：Tds ，它在 z 轴方向的投影：,平板所受的压力（ z 轴方向）为：,由 z 轴方向力的平衡，即,由式（f）可得：,而：,由此可得：,因而，可求得：,（10-26）,对于均匀厚度的闭口薄壁杆， 为常驻量，上式即变为：,（10-27）,式中：s为杆壁中线的全长。,说明：,（1
19、） 在截面的凹角处，局部的最大应力max可能发生远大于 式（10-25）给出的应力值。,（2）局部最大应力随凹角处的圆弧半径 的增大而减小。,杆的抗扭刚度：,小结：,（1）开口薄壁杆件：,（10-23）,（10-24）,剪应力：,单位长度扭转角：,抗扭刚度：,（2）闭口薄壁杆件：,剪应力：,（10-25）,单位长度扭转角：,（10-26）,（10-27）,抗扭刚度：,对于均匀厚度的闭口薄壁杆：,对于均匀厚度的闭口薄壁杆：,例：,如图所示，开口和闭口薄壁杆件，两者的壁厚相同，试比较受扭时的剪应与抗扭刚度。,解：,（1）开口薄壁杆件,剪应力：,由式（10-23）：,得：,抗扭刚度：,由式：,（2）闭口薄壁杆件,剪应力：,由式（10-25）：,由式（10-25）：,抗扭刚度：,（3）两者比较：,剪应力：,设：,抗扭刚度：,可见：,对于截面积大致相同的两种薄壁杆，开口剪应力是闭口的15倍；,闭口的抗扭刚度是开口的75倍；,结论：开口薄壁杆件比闭口薄壁杆件的抗扭能力差。,作业：,104,作业：,101,选做：,102,
