1、【名师解析】四川省遂宁市 2015 届高三第二次诊断考试数学（文）试题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）（2015遂宁模拟）已知集合 A=，B=x| （x+3）（2x 1）0 ，则 AB=（ ）A B C ，A=，AB=，故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）（2015遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生的听力成绩（单位：分）已知甲组数据的众数为 15，乙组数据的中位数为 17，则x、y 的值分别为（ ）A 2，5 B 5，5 C 5，7 D 8，7【考点】： 茎叶图【专题】： 概率
2、与统计【分析】： 根据茎叶图与题意，求出 x、y 的值，即可【解析】： 解：根据茎叶图知，甲组数据是 9，15，10+x，21，27；它的众数为 l5，x=5；同理，根据茎叶图知乙组数据是 9，13，10+y，18，27，它的中位数为 17，y=7故 x、y 的值分别为：5，7【点评】： 本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图提供的数据，求出 x、y 的值，即可解答问题，是基础题3（5 分）（2015遂宁模拟）已知复数 z 满足：zi=2+i（i 是虚数单位），则 z 的虚部为（ ）A 2i B 2i C 2 D 2【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】：
3、把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】： 解：由 zi=2+i，得 ，z 的虚部是2故选：D【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题4（5 分）（2015遂宁模拟）为了得到函数 y= sin3x 的图象，可以将函数 y=sin3x+cos3x 的图象（ ）A 向右平移 个单位长 B 向右平移 个单位长C 向左平移 个单位长 D 向左平移 个单位长【考点】： 函数 y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用
4、平移原则判断选项即可【解析】： 解：函数 y=sin3x+cos3x= sin（3x+ ），故只需将函数 y= sin（3x+ ）的图象向右平移 个单位，得到 y= sin= sin3x 的图象故选：A【点评】： 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查5（5 分）（2015遂宁模拟）设 a、b 是实数，则“ab0”是“a 2b 2”的（ ）A 充分必要条件 B 必要而不充分条件C 充分而不必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若 a
5、b0，则 a2b 2 成立，若 a=2，b=1，满足 a2b 2，但 ab0 不成立，故“a b0”是“a 2b 2”的充分不必要条件，故选：C【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键6（5 分）（2015遂宁模拟）已知向量 ，若，则实数 =（ ）A 1 B 1 C 2 D 2【考点】： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由于 ，可得 于是 =0，解得 即可【解析】： 解： ， =（+2）+1=0，解得 =1故选：B【点评】： 本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题7（5 分）（2015
6、遂宁模拟）在区间上随机选取一个数 M，不变执行如图所示的程序框图，且输入 x 的值为 1，然后输出 n 的值为 N，则 MN2 的概率为（ ）A B C D 【考点】： 几何概型；程序框图【专题】： 计算题；概率与统计；算法和程序框图【分析】： 计算循环中不等式的值，当不等式的值大于 0 时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果 N，再以长度为测度求概率即可【解析】： 解：循环前输入的 x 的值为 1，第 1 次循环，x 24x+3=00，满足判断框条件，x=2，n=1，x 24x+3=10，满足判断框条件，x=3，n=2，x 24x+3=00满足判断框条件，x=4，n=3，x 24x+3=
7、30，不满足判断框条件，输出 n：N=3在区间上随机选取一个数 M，长度为 5，M1，长度为 3，所以所求概率为 ，故选：C【点评】： 本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计算，确定 N 的值是关键8（5 分）（2015遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 4+2 B 2+ C 2+2 D 4+【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为
8、底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD底面 ABC，故 SABC=SASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC= ，SB=2 ，故SAB 和SBC 均是以 2 为底，以 为高的等腰三角形，故 SSAB=SSBC= ，故该几何体的表面积为 4+2 ，故选：A【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5 分）（2015遂宁模拟）过抛物线 y2=2px 的焦点 F 作直线交抛物线于 M，N 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于点 H，若|MN|=40 ，则|HF|=（ ）A 14 B 1
9、6 C 18 D 20【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先求 MN 的垂直平分线，求出 MN 的垂直平分线交 x 轴于 H 的坐标，进而求得|HF|= |MN|，即可得出结论【解析】： 解：设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），弦 MN 的中点为 M（x 0，y 0），则MN 的垂直平分线为 yy0= （xx 0）令 y=0，则 xH=x0+p|HF|=x 0+|MN|=x 1+x2+p=2x0+p|HF|= |MN|=20，故选：D【点评】： 本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础10（5 分）（2
10、015遂宁模拟）函数 f（x）的定义域为 D，若函数 f（x）满足：（1）f （x）在 D 上为单调函数；（2）存在区间D，使得 f（x）在上的值域为，则称函数 f（x）为“取半函数”若 f（x ）=log c（c x+t）（c0，且 c1）为“取半函数” ，则 t 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （0， ） C （0， ） D （ ，1）【考点】： 对数函数的图像与性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据复合函数的单调性，先判断函数 f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论【解析】： 解：若 c1，则函数 y=cx+t 为增函数，y=
11、log cx，为增函数，函数 f（x）=logc（c x+t）为增函数，若 0c1，则函数 y=cx+t 为减函数， y=logcx，为减函数，函数 f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数 f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数 f（x）=log c（c x+t）（c0，c1）是函数 f（x）为“取半函数” ，所以 a，b 是方程 logc（c x+t）= ，两个不等实根，即 a，b 是方程 cx+t=c 两个不等实根，化简得出：c x +t=0，可以转化为：m 2m+t=0 有 2 个不等正数根所以求解得出：0故选：B【点评】： 本题主要考查与指数函数和对数函数有
12、关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，将答案填答题卷指定横线上）11（5 分）（2015遂宁模拟）圆心在原点且与直线 y=2x 相切的圆的方程为 x 2+y2=2 【考点】： 圆的切线方程【专题】： 计算题；直线与圆【分析】： 可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程【解析】： 解：圆心到直线的距离：r= = ，所求圆的方程为 x2+y2=2故答案为：x 2+y2=2【点评】： 本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题12（5 分）（2015遂宁模拟）已知偶函数 f（x）在= ；（
13、2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1 2sin2x= ，xR 则：sinx ，当 sinx= 时，函数 f（x）的最大值为 【点评】： 本题考查的知识要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题属于基础题型17（12 分）（2015遂宁模拟）某学校有男老师 45 名，女老师 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的学科攻关小组（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个学科攻关小组决定选出 2 名老师做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名老师做实验，该老师做完后，再从小组内剩下的老
14、师中选 1 名做实验，求选出的 2 名老师中恰有 1 名女老师的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： （1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是 45：15，4 人中的男女抽取比例也是 45：15，从而解决；（2）先算出选出的 2 名老师的基本事件数，有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b），（a 2，b），（a 3，b），共 6 种；再算出恰有 1 名女老师事件事件数，两者比值即为所求概率【解析】： 解：（1）由题意知，该校共有老师 60 名，故某老师被抽到的概率为 = 设该学科
15、攻关小组中男老师的人数为 x，则 ，解得 x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为 3，1（2）由（1）知，该 3 名男老师和 1 名女老师分别记为 a1，a 2，a 3，b，则选取 2 名老师的基本事件有：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b），（a 2，b），（a 3，b），共 6 种，其中恰有 1 名女老师的基本事件有 3 种，所以选出的 2 名老师中恰有 1 名女老师的概率为 P= = 【点评】： 本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简单的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估计的方法，属基础题18（12 分）（2015
16、遂宁模拟）如图，ABCD 为梯形，PD平面ABCD，AB CD，BAD=ADC=90，DC=2AB=2a，DA= a，PD= a，E 为 BC 中点（）求证：平面 PBC平面 PDE；（）线段 PC 上是否存在一点 F，使 PA平面 BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由【考点】： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）连结 BD，由已知得 BCDE，BCPD，从而 BC平面 PDE，由此能证明平面 PBC平面 PDE（）连结 AC，BD 交于 O 点，ABCD，从而AOBCOD，AB= DC，进而 CPA 中，AO=
17、AC，由 PF= ，得 OFPA，由此得到当点 F 位于 PC 三分之一分点（靠近 P 点）时，PA平面 BDF【解析】： （本小题满分 12 分）（）证明：连结 BD，BAD=ADC=90，AB=a，DA= ，所以 BD=DC=2a，E 为 BC 中点，所以 BCDE，（3 分）又因为 PD平面 ABCD，所以 BCPD ，因为 DEPD=D，（4 分），所以 BC平面 PDE，（5 分）因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PDE（6 分）（）解：当点 F 位于 PC 三分之一分点（靠近 P 点）时，PA平面 BDF，（7 分）连结 AC，BD 交于 O 点，ABCD，所以AOBC
18、OD ，AB= DC，所以CPA 中， AO= AC，（10 分）而 PF= ，所以 OFPA ， （11 分）而 OF平面 BDF，PA平面 BDF，所以 PA平面 BDF（12 分）【点评】： 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题19（12 分）（2015遂宁模拟）已知数列a n为等差数列，其中 a1=1，a 7=13（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 bn= ，T n 为数列b n的前 n 项和，当不等式 Tnn+8（n N*）恒成立时，求实数 的取值范围【考点】： 数列的求和；等差数列
19、的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出an；（2）由（1）化简 bn= ，利用裂项相消法求出 Tn，代入不等式 Tnn+8 分离出 ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于 nN*恒成立求出实数 的取值范围【解析】： 解：（1）设等差数列a n的公差为 d，a 1=1，a 7=13，a 1+6d=13，解得 d=2，所以 an=a1+（n1）d=2n 1（5 分）（2）由（1）得，b n= = （ ），T n= （1 ）= （8 分）要使不等式 Tnn+8（nN *）恒成立，只需不等式 = +17 恒成立即可（
20、10 分） ，当且仅当 时，即 n=2 取等号， 25（12 分）【点评】： 本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题20（13 分）（2015遂宁模拟）已知定点 A（2，0），F（1，0），定直线 l：x=4 ，动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 设点 P 的轨迹为 C，过点 F 的直线交 C 于 D、E 两点，直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、N 两点（1）求 C 的方程；（2）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【
21、分析】： （1）设 P（x，y）为 E 上任意一点，依题意有 = ，化简即可得出；（2）设 DE 的方程为 x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t 2+4）y 2+6ty9=0，设 D（x 1，y 1），E（x 2，y 2），由 A（2，0），可得直线 AD 的方程为 y= ，点 M，同理可得 N 利用根与系数的关系只要证明 =0 即可【解析】： 解：（1）设 P（x，y）为 E 上任意一点，依题意有 = ，化为 （2）设 DE 的方程为 x=ty+1，联立 ，化为（3t 2+4）y 2+6ty9=0，设 D（x 1，y 1），E（x 2，y 2），则 ，t 1t2= 由 A（2，0），可得直线 AD 的方程为 y= ，点 M ，同理可得 N =99=0以线段 MN 为直径的圆恒过定点 F【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题
